7단원 기업과 소비자

7.4 생산과 비용: 뷰티풀 카의 비용함수 사례

기업의 생산량 결정과 가격 설정에 대해 분석하려면, 기업의 생산비용이 생산량에 따라 어떻게 변하는지, 즉 기업의 비용함수를 알아야한다. 7.2절에서 다룬 애플 시나몬 치리오스의 예에서는 가장 단순한 가정을 했다. 치리오스 1파운드당 단위 비용은 생산 규모와 무관하게 동일하다는, 다시 말해, 기업은 규모수익불변이라는 가정을 했다.

하지만 7.3절에서 설명한 것처럼 산출물 당 단위 비용은 생산량 수준에 따라 달라질 수 있다. 이런 기술적 요인이 기업의 가격과 생산량 결정에 어떻게 영향을 미치게 될까?

자동차를 제조하는 기업을 생각해보자. 연간 900만 대 이상의 차량을 생산하는 폭스바겐에 비해, 이 기업은 특수 차량을 생산하는 비교적 소규모 기업이다. 이 기업을 뷰티풀 카라고 부를 것이다.

자동차를 생산하고 판매하는 데 드는 비용에 대해 생각해보자. 이 기업은 자동차 차체 부품을 주조, 가공, 프레스, 조립 및 용접하기 위한 기계 설비를 갖춘 공장이 필요하다. 기업은 이 설비를 다른 기업로부터 임대할 수도 있고 또는 자본을 조달하여 자체 설비와 장비에 투자할 수도 있다. 이후 원자재와 부품을 구매하고, 장비를 운영할 생산 노동자들에게 임금을 지급한다. 또한 생산 과정을 관리하고, 완성된 자동차를 마케팅하고 판매하기 위한 노동자들도 필요하다.

개념 확인하기

기회비용에 대한 소개는 2.2절을 읽어 보라.

비용함수: 기업의 총비용과 수량 또는 산출물 간의 관계. 비용 함수 C(Q)는 Q 단위의 산출물을 생산하는 데 드는 총비용을 나타낸다(자본의 기회비용을 포함).
기회비용: 어떤 행동을 선택할 때 차선의 대안을 선택하지 않음으로써 잃게 되는 것. 예: ‘나는 여름 동안 일을 하는 것보다 휴가를 가기로 결정했다. 그 일자리는 지루하고 급여도 적었다. 즉 휴가를 가는 것의 기회비용은 낮았다.

기업의 소유주들, 즉 주주들은 다른 곳에 투자하여 더 높은 수익을 올릴 수 있다면, 기업에 투자하려 하지 않을 것이다. 그들이 다른 곳에 투자함으로써 얻을 수 있는 수익은 투자금의 기회비용이 된다. 투자금 1달러당 기회비용을 자본의 기회비용이라고 한다. 자동차를 생산하는 비용의 일부는 자본의 기회비용을 충당하기 위해 주주들에게 지급해야 하는 금액이다. 이는 주주들로 하여금 기업이 자동차를 생산하는 데 필요한 자산에 계속 투자하도록 유도하기 위해 필요한 금액이다.

자본의 기회비용: 자본의 기회비용이란 투자자가 다른 곳에 투자했더라면 투자지출 한 단위당 얻을 수 있었을 소득의 크기이다.
가변비용: 생산량에 따라 변동하는 생산비용.
평균비용: 기업의 총 생산비용을 총 생산량으로 나눈 값.
한계비용: 생산량이 한 단위 추가로 생산될 때 총비용의 증가분. 이 크기는 각 생산량 수준에서 총비용곡선의 기울기와 같다.

기업이 직면하는 다양한 생산비용은 고정비용과 가변비용으로 분류될 수 있다. 생산하고 판매하는 자동차의 수와 관계없이 기업이 반드시 지불해야 하는 비용은 고정비용이다. 뷰티풀 카의 경우, 공장의 크기가 고정되어 있다고 가정하면, 이와 관련된 비용도 역시 고정된다고 볼 수 있다. 즉 다른 기업과 장기 계약을 맺고 지불하는 임대료 또는 공장에 투자된 자본의 기회비용 등이 여기에 포함된다. 이러한 비용은 자동차를 많이 생산하든, 전혀 생산하지 않든 동일하다. 마찬가지로, 향후 모델 개발을 위한 연구개발(R&D)에도 고정비용이 수반된다. 반면에 임금, 원자재, 장비사용 비용과 같은 비용들은 생산량이 증가함에 따라 증가한다고 가정할 수 있다. 기업이 하루에 생산하는 자동차 수를 늘리기로 결정하면, 모든 가변 투입요소도 늘어나야 하기 때문에 총가변비용이 증가한다. 여기에는 임금 지급액과 장비 투자에 따른 기회비용이 포함된다.

뷰티풀 카의 고정비용은 F이고 가변비용은 생산하는 자동차 수량에 비례한다고 가정하자. Q대의 자동차를 생산하는데 드는 총비용을 나타내는 비용함수는 다음과 같다.

\[C(Q) = F + cQ\]

위의 수식에서 c는 단위당 비용을 의미한다.

그림 7.7의 상단 그림은 뷰티풀 카의 총비용함수 C(Q)를 그래프로 나타낸 것이다. 그래프는 고정비용(F)이 하루에 $80,000이고, 단위당 가변비용(c)이 자동차 한 대당 $14,400일 때, 하루에 생산되는 자동차 수(Q)에 따라 총비용이 어떻게 달라지는지를 보여준다. 총비용으로부터 자동차 한 대당 평균비용과 Q가 변할 때 평균비용이 어떻게 변화하는지 알 수 있다. 평균비용(AC) 함수는 하단 패널에 그려졌다.

두 개의 그림이 있다. 그림 1에서는, 가로축이 자동차의 수량 Q를 나타내며, 범위는 0에서 60까지이다. 세로축은 총비용을 달러로 나타내며, 범위는 0에서 900,000까지이다. 좌표는 (수량, 총비용)이다. 우상향하는 직선이 점 (0, 80,000)에서 시작하여, A점 (10, 224,000), B점 (30, 512,000), C점 (50, 800,000)를 지난다. 그림 2에서는, 가로축이 자동차의 수량 Q를 나타내며, 범위는 0에서 60까지이다. 세로축은 평균비용을 달러로 나타내며, 범위는 0에서 300,000까지이다. 좌표는 (수량, 평균비용 )이다. 우하향하는 볼록한 곡선은 A점 (10, 22,400), B점 (30, 17,067), C점 (50, 16,000)을 지난다.

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그림 7.7 뷰티풀 카: 총비용과 평균비용

비용함수: 그림 1에서는, 가로축이 자동차의 수량 Q를 나타내며, 범위는 0에서 60까지이다. 세로축은 총비용을 달러로 나타내며, 범위는 0에서 900,000까지이다. 좌표는 (수량, 총비용)이다. 그림 2에서는, 가로축이 자동차의 수량Q를 나타내며, 범위는 0에서 60까지이다. 세로축은 평균비용을 달러로 나타내며, 범위는 0에서 300,000까지이다. 좌표는 (수량, 평균비용)이다.

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비용함수

위쪽 그림은 비용함수 C(Q)를 나타낸다. 이는 각 생산량 수준 Q에 대한 총비용을 보여준다.

고정비용: 이 그림에서는 가로축이 자동차의 수량 Q를 나타내며, 범위는 0에서 60까지이다. 세로축은 총비용을 달러로 나타내며, 범위는 0에서 900,000까지이다. 좌표는 (수량, 총비용)이다. 우상향하는 직선이 점 (0, 80,000)에서 시작한다.

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고정비용

뷰티풀 카의 고정비용은 하루에 $80,000이다. 기업은 생산량과 상관없이 이 비용을 부담한다. Q=0일 때, 유일한 비용은 고정비용으로 C(0)=80,000이다.

총비용은 증가한다.: 이 그림에서는 가로축이 자동차의 수량 Q를 나타내며, 범위는 0에서 60까지이다. 세로축은 총비용을 달러로 나타내며, 범위는 0에서 900,000까지이다. 좌표는 (수량, 총비용)이다. 우상향하는 직선이 점 (0, 80,000)에서 시작하여 A점(10, 224,000)을 지난다.

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총비용은 증가한다.

Q가 증가하면, 기업은 더 많은 생산 노동자를 고용해야 하고 더 많은 원자재를 구매해야 한다. 총비용은 생산된 자동차 한 대 당 $14,400만큼 증가하므로 비용곡선은 직선의 형태를 띈다. A점에서 10대의 자동차가 생산되며 비용은 $224,000이다.

평균비용: 이 그림에서는 가로축이 자동차의 수량 Q를 나타내며, 범위는 0에서 60까지이다. 세로축은 총비용을 달러로 나타내며, 범위는 0에서 900,000까지이다. 좌표는 (수량, 총비용)이다. 우상향하는 직선이 점 (0, 80,000)에서 시작하여 A점(10, 224,000)을 지난다.

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평균비용

자동차 생산의 평균비용은 총비용을 자동차 생산량으로 나눈 값이다. 기업이 하루에 10개의 자동차를 생산하면, 평균비용은 AC = $224,000/10 = $22,400이다. 하단 패널에 평균비용을 A점에 표시한다.

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평균비용은 하락한다

생산량이 A점보다 많아지면, 평균비용은 하락한다. B점에서 총비용은 $512,000이고 평균비용은 $17,067이다. D점에서, 평균비용은 더 낮아진 $16,000이다.

평균비용함수: 두 개의 그림이 있다. 그림 1에서는, 가로축이 자동차의 수량 Q를 나타내며, 범위는 0에서 60까지이다. 세로축은 총비용을 달러로 나타내며, 범위는 0에서 900,000까지이다. 좌표는 (수량, 총비용)이다. 우상향하는 직선이 점 (0, 80,000)에서 시작하여, A점 (10, 224,000), B점 (30, 512,000), C점 (50, 800,000)를 지난다. 그림 2에서는, 가로축이 자동차의 수량 Q를 나타내며, 범위는 0에서 60까지이다. 세로축은 평균비용을 달러로 나타내며, 범위는 0에서 300,000까지이다. 좌표는 (수량, 평균비용)이다. 우하향하는 볼록한 곡선은 A점 (10, 22,400), B점 (30, 17,067), C점 (50, 16,000)을 지난다.

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평균비용함수

Q의 모든 값에서 평균비용을 계산하여 하단 패널에 평균비용(AC) 함수를 그릴 수 있다.

비용함수의 기울기는 추가로 자동차를 한 대 더 생산할 때 총비용이 얼마나 증가하는지를 알려준다. 생산량이 한 단위 증가할 때 발생하는 비용의 증가를 한계비용(MC)이라고 한다. 뷰티풀 카의 경우, 기울기, 즉 한계비용은 c로 일정하다. 즉, 기업이 몇 대의 자동차를 생산하든지 간에 자동차 한 대당 한계비용(즉, 한 대를 더 생산하는 데 추가되는 비용)은 c = $14,400이다.

Average and marginal cost

비용함수 C(Q)에서 각 Q 점에서의 평균비용(AC)은 Q 단위의 생산량을 생산하는 데 드는 총비용을 생산량으로 나눈 값이다.

\[\text{AC} = \frac{C(Q)}{Q}\]

한계비용(MC)은 생산량을 한 단위 더 증가시킬 때 추가로 발생하는 비용으로, 비용함수의 기울기에 해당한다. 만약 생산량이 ΔQ만큼 증가할 때 비용이 ΔC만큼 증가한다면, 한계비용은 다음과 같이 계산될 수 있다.

\[\text{MC} = \frac{\Delta C}{\Delta Q}\]

(Δ는 “변화량”을 나타내는 수학적 기호이다.)

기업이 고정비용과 일정한 한계비용을 가진 비용함수를 가질 때, 생산량이 증가함에 따라 단위당 평균비용은 감소한다. 그림 7.7은 뷰티풀 카의 경우를 예시로 보여주고 있다. 평균비용은 다음과 같이 수식으로 유도할 수 있다.

\[\text{AC}(Q) = \frac{C(Q)}{Q} = \frac{F + cQ}{Q} = c + \frac{F}{Q}\]

따라서 자동차 한 대당 평균비용은 한계비용에 고정비용의 일부가 더해진 값이다. 한계비용이 일정하고 고정비용이 존재할 때 평균비용은 항상 한계비용보다 크지만, 생산량이 증가함에 따라 고정비용이 더 많은 자동차에 나눠지게 되므로 평균비용은 감소한다. 그림 7.8은 뷰티풀 카의 평균비용과 한계비용함수, 즉 AC 곡선과 MC 곡선을 모두 보여준다. 그림에서 평균비용은 우하항하며 한계비용인 $14,400에 점점 가까워진다.

이 그림에서 가로축은 자동차의 수량 Q를 나타내며 범위는 0에서 60까지이다. 세로축은 평균비용과 한계비용을 달러로 나타내고 있다. 그 범위는 0에서 300,000까지이다. 각 좌표는 (수량, 총비용)으로 읽는다. 우하향하며 아래로 볼록한 곡선이 A점인 (10, 22,400), B점인 (30, 17, 067) 그리고 C점인 (50, 16,000)을 지나고 있다. 이 곡선이 평균비용곡선이다. $14,400에서 수평으로 그려진 직선이 한계비용곡선이다.

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그림 7.8 뷰티풀 카: 평균비용과 한계비용

확인문제 7.5 다음 중 옳은 것을 모두 골라라.

시리얼 생산자의 비용함수가 C(Q) = 2Q이고, Q는 시리얼의 파운드라고 하자. 이 정보를 토대로 다음 진술을 읽고 옳은 것을 모두 골라라.

생산의 고정비용이 존재하지 않는다.
생산의 한계비용은 2이다.
생산자의 평균비용은 생산량이 증가하면 낮아진다.
어떤 생산량에서도, 한계비용과 평균비용은 같다.

Q = 0일 때, 총생산비용은 0이다. 생산의 고정비용이 있다면 Q = 0일 때 총생산비용은 양수일 것이다(기업은 생산량과 무관하게 이 비용을 부담한다)
총비용곡선의 기울기가 한계비용이고 2의 값을 갖는다.
평균비용은 모든 생산량에서 2이다. 고정비용이 없으므로 생산량이 증가해도 평균비용이 낮아지지 않는다.
평균비용과 한계비용은 모든 Q의 값에서 2이다.

단기와 장기에서의 비용

단기: 이 용어는 시간의 길이를 의미하지는 않고, 모형에서 무엇이 고정되었고 무엇이 변하는지와 관련된 개념이다. 단기는 일부 변수들(가격, 임금, 혹은 자본재의 양, 기술, 혹은 제도) 등이 변하지 않는다고 가정되는 기간이다. 이렇게 고정되었다고 가정되는 변수들은 외생변수들이 된다. 예를 들어 기업의 자본재 양은 단기적으로는 고정될 수 있으나 장기에는 기업이 그 양을 변화시킬 수 있다(더 사들일 수도 있고 일부를 팔 수도 있다).

기업의 한계비용이 항상 일정한 것은 아니다. 특히, 일부 투입요소를 변경하기 어려운 경우에는 더욱 그러하다. 한계비용이 한 단위의 생산량을 추가로 늘리는 데 드는 비용을 의미한다는 점을 기억해보자. 자동차 제조업체의 경우, 현재 보유하고 있는 설비로 생산량을 증가시키기 위해서는 조립 라인에서 초과 근무를 도입해야 하는 상황에 직면할 수 있다. 초과 근무에 지불되는 임금이 더 높다면, 자동차 한 대의 한계비용도 그만큼 더 높아질 것이다. 이러한 경우, 단기에는 즉, 설비가 고정되어 있는 동안에는 생산량이 증가함에 따라 한계비용이 증가하며, 한계비용은 평균비용보다 높아질 수 있다.

경제 모형에서 단기와 장기는 특정한 시간의 길이를 의미하는 것이 아니다. 단기균형에서는 하나 이상의 변수가 외생적(즉, 고정된 상태)으로 유지된다. 일반적으로 조정하는 데 시간이 더 많이 걸리는 요소가 여기에 해당한다. 이러한 변수가 내생적(즉, 조정 가능한 상태)이 될 때 무엇이 일어날지를 모형화하면 장기균형을 분석할 수 있다.

외생적: 외생적이라는 말은 “모형의 외부에서 만들어졌다” 는 것을 의미한다. 어떤 변수의 값이 모형 내부에서 결정되지 않고, 모형을 만든 사람에 의해 정해지는 경우, 그 변수는 외생적이다. 이와 관련하여 내생적을 참조하라.
내생적: 내생적이라는 말은 “모형에 의해 생성되었다는 것”을 의미한다. 경제모형에서 변수의 값이 모형을 만든 사람에 의해서 결정되는 것이 아니라 모형의 작동에 의해 결정될 때 그 변수를 내생적이라고 말한다. 이와 관련하여 외생적을 참조하라.
장기: 이 용어는 시간의 길이를 의미하지는 않고, 모형에서 무엇이 고정되었고 무엇이 변하는지와 관련된 개념이다. 단기는 일부 변수들(가격, 임금, 혹은 자본재의 양) 등이 변하지 않는 동안(즉 외생적 요인으로 간주되는 동안) 일어나는 일과 관련된다. 장기는 단기에서 고정되었던 변수들이 변화하고 모형 내에서 내생적으로 결정되는 동안 일어나는 일과 관련된다. 예를 들어 장기비용곡선은 기업이 자본재를 포함해 모든 요소들을 변화, 조정할 수 있을 때의 비용을 가리킨다.
범위의 경제: 두 개 이상의 제품이 개별 기업에서 생산되는 대신 하나의 기업에 의해서 생산될 때 발생하는 비용 절감.

우리가 뷰티풀 카에 대해 설명하면서 사용한 비용함수는 장기비용함수이다. 이때에는 생산량을 늘리고자 할 때, 기업이 설비와 노동력의 규모를 모두 증가시킬 수 있다고 가정했고, 따라서 한계비용이 일정하게 유지된다고 가정했다.

물론 기업이 공장 비용을 포함한 상당한 고정비용을 가지고 있다고 가정했다. 그런데 매우 장기적 관점이라고 부를 수 있는 상황에서 기업은 공장의 크기도 조정할 수 있다. 뷰티풀 카와 같은 제조업체의 경우, 장기에서는 총비용의 상당 부분이 가변비용이 될 것이다. 하지만 다른 유형의 기업들 중에는 높은 장기 고정비용을 가지고 있는 경우가 있는데, 이에 대한 몇 가지 예시는 7.11절에서 다룰 것이다.

Author note: please translate the English heading below.

An example: The cost function of a university

비용에 대한 흥미로운 논의를 좀 더 살펴보려면 경제학자 조지 스티클러(George Stigler)의 저서 <가격이론>(The Theory of Price)의 7장을 읽어 보길 바란다.¹

경제학자 라진다 코샬(Rajindar Koshal)과 만주리카 코샬(Manjulika Koshal)은 미국 대학들의 비용함수를 연구했다.² 이들은 1990–91학년도 미국의 171개 공립대학에서 대학원생과 학부생 교육에 드는 한계비용과 평균비용을 추정했다(연습문제 7.2를 풀면서 대학원생과 학부생 수에 따라 평균비용과 한계비용이 어떻게 변하는지 살펴볼 수 있다). 이들은 대학들이 범위의 경제라고 불리는 현상으로부터 이익을 얻고 있다는 사실을 발견했다. 대학원 교육, 학부 교육, 연구라는 여러 가지 제품을 함께 생산함으로써 비용 절감 효과를 누리고 있었다.³

연습문제 7.2 대학 교육의 비용함수

라진다 코샬과 만주리카 코샤이 연구를 통해 계산한 1990–91학년도 학생 1인당 평균비용과 한계비용이 아래 표에 나타나 있다.

	학생수	MC ($)	AC ($)	총비용 ($)
학부과정	2,750	7,259	7,659	21,062,250
	5,500	6,548	7,348	40,414,000
	8,250	5,838	7,038
	11,000	5,125	6,727	73,997,000
	13,750	4,417	6,417	88,233,750
	16,500	3,706	6,106	100,749,000
	학생수s	MC ($)	AC ($)	총비용 ($)
대학원과정	550	6,541	12,140	6,677,000
	1,100	6,821	9,454	10,339,400
	1,650	7,102	8,672
	2,200	7,383	8,365	18,403,000
	2,750	7,664	8,249	22,684,750
	3,300	7,945	8,228	27,152,400

평균비용 데이터를 사용하여 총비용 열에서 누락된 값을 채워 보자.
학부 교육의 한계비용과 평균비용곡선을 그래프로 그려 보자. 세로축에는 비용을, 가로축에는 학생 수를 표시하라. 또 하나의 그래프를 그려 대학원 교육에 해당하는 한계비용곡선과 평균비용곡선을 그려보자(힌트: 비용곡선을 Excel에서 그리는 방법에 대한 도움은 튜토리얼의 1~4단계를 참고할 수 있다).
학부생과 대학원생의 한계비용 및 평균비용곡선의 모양을 설명해 보자. 자신의 설명이 이 단원에서 설명된 저자들의 연구 결과와 일치하는지 확인해 보자.
학부생과 대학원생 곡선 사이의 유사점과 차이점을 설명해 보자. 이러한 유사점과 차이점에 대한 설명을 제시해 보라.

심화학습 7.4 한계비용이 증가하는 경우의 비용함수

이 절에서는 뷰티풀 카가 선형 가변비용을 가지고 있다고 가정했다. 즉, 비용이 생산량 $Q$에 비례하여 증가한다고 가정했다. 이번 심화학습에서는 보다 일반적인 경우의 비용함수를 설명하려고 한다. 미적분(미분)을 사용하여 생산량이 증가함에 따라 비용이 어떻게 변화하는지 분석할 것이다.

이 절에서는 뷰티풀 카의 총비용함수가 다음과 같이 가정했었다.

\[C(Q) = F + cQ\]

총비용함수에서 매개변수 $F$는 고정비용을 나타내고, $c$는 고정된 한계비용을 나타낸다. 그러나 설명한 바와 같이, 한계비용은 특히 단기에서는 일정하지 않을 수도 있다. 예를 들어, 생산량을 늘리기 위해 더 강도 높은 생산이 필요하다면, 기계가 고장나고 작업자가 피로해질 수 있으며, 초과 근무 수당을 지불해야 할 수도 있다. 이러한 효과는 한계비용을 증가시킬 수 있다. 혹은 다른 경우에는 생산 규모가 커짐에 따라 투입요소를 더 효율적으로 사용할 수 있게 됨에 따라 $Q$가 증가함에 따라 한계비용이 감소할 수도 있다.

심화학습 3.3에서처럼, 모든 심화학습에서는 한계 변화를 측정하기 위해 도함수를 사용한다.

이 절에서 한계비용을 추가로 한 단위의 생산량을 생산하는 데 드는 총비용의 증가분으로 정의했다. 비용함수를 더 일반적으로 설명하기 위해, $Q$를 연속변수로 취급하면 비용함수 $C(Q)$를 미분할 수 있다. 그러면 한계비용은 비용함수의 도함수, 즉 $Q$가 매우 작게 증가할 때 비용의 변화율로 계산할 수 있다. 일반적으로 총비용은 생산량이 늘어나면서 증가하므로 한계비용은 양수이다.

\[\text{MC} = C'(Q) > 0\]

그림 E7.1의 위쪽 그림은 뷰티풀 카의 비선형적 비용함수를 보여준다. 이 그림은 다음을 보여준다.

기업은 고정비용을 가지고 있으며, 이는 비용함수가 세로축과 만나는 점의 높이로 나타난다. 자동차가 생산되지 않는 경우 비용은 $C(0) = F > 0$이다.
$Q>0$일 때, $C$는 증가하며 볼록하다. 비용곡선의 기울기는 $Q$가 증가함에 따라 증가한다.

비용곡선의 볼록성은 한계비용이 생산량에 대한 증가함수라는 것을 의미한다.

\[\text{MC} = C'(Q) \Rightarrow \frac{d\text{MC}}{dQ} = C''(Q) > 0\]

아래쪽 그림은 윗 부분 그림에서 그려진 총비용함수에 대응하는 우상향하는 한계비용함수를 보여주고 있다. 기업의 한계비용은 생산된 자동차의 수가 증가함에 따라 빠르게 증가한다.

두 개의 그림이 있다. 그림 1에서는, 가로축이 자동차의 수량 Q를 나타내며, 범위는 0에서 60까지이다. 세로축은 총비용C를 달러로 나타내며, 범위는0에서 900,000까지이다. 좌표는 (수량, 총비용)으로 표시된다. 총비용은 우상향하는 곡선으로 점 (0, 118,750), A점 (5, 131,000), B점 (25, 275,000), D점 (55, 776,000)를 지난다. (0, 0)으로부터 A, B, D점으로 나아가는 선분은 각 해당 점에서의 평균생산비용을 나타낸다. 그림 2에서는, 가로축이 자동차의 수량 Q를 나타내며, 범위는 0에서 60까지이다. 세로축은 한계비용과 평균비용을 달러로 나타내며, 범위는 0에서 30,000까지이다. 좌표는 (수량, 한계 또는 평균비용)이다. 평균비용은 U자형 곡선으로, (5, 26,200), (25, 11,000), (50, 13,375)를 지난다. 한계비용은 우상향하는 직선으로, (0, 1,500)에서 시작하여 (25, 11,000)에서 평균비용곡선과 교차한다.

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https://www.core-econ.org/microeconomics/ko/07-firm-and-customers-04-beautiful-cars.html#그림-e7-1

그림 E7.1 뷰티풀 카의 비용함수

평균비용(AC)는 총비용을 생산된 차의 수로 나눈 값이다. 즉 차가 $Q$만큼 생산되었다면

\[\text{AC} = \frac{C(Q)}{Q}\]

상단 그림에서, $Q$대의 자동차를 생산하는 경우의 평균비용은 원점에서 $(Q, C(Q))$점을 이은 선의 기울기로 나타난다. 그림을 보면 이 기울기가 $Q$에 따라 달라진다는 것을 알 수 있다. 즉 평균비용 역시 $Q$의 함수이다. 하단 그림에서는 비용함수의 각 점에 대응하는 평균비용 즉, $AC(Q)$ 함수의 그래프가 그려져 있다.

그림 E7.1에 표시된 특정 비용함수는 $C = 118,750 + 1,500Q + 190Q^2$이다. 이 특정한 수치예에서 위에서 설명한 성질을 확인할 수 있다. 비용함수는 이차 함수이므로, 일반적인 경우에는 성립하지 않을 수 있는 한 가지 성질을 가지고 있다. 한계비용함수는 다음과 같다.

\[\text{MC} = C'(Q) = 1,500 + 380Q\]

이 함수는 우상향할 뿐만 아니라 직선이다.

그림 E7.1은 생산량이 증가함에 따라 한계비용이 상승하는 경우를 보여준다. 그러나 동일한 접근 방식을 사용하여 한계비용이 감소하는 경우도 살펴볼 수 있는데, 예를 들어 연습문제 7.2에서와 같이 기업의 비용곡선을 그릴 수도 있다.

평균비용함수의 형태와 한계비용과 평균비용의 관계

일반적으로 어떤 지점 $Q$에서든,

한계비용은 비용함수 $C(Q)$의 기울기에 대응하며,
평균비용은 원점에서 $C(Q)$까지를 이은 직선의 기울기에 대응한다.

그림 E7.1의 상단 그림에는 $Q$가 낮을 때 평균비용이 높고 그 후 점차 감소하다가 $Q = 25$인 B점부터 다시 증가하는 식으로 나타나 있다. 이를 하단 그림에서 보면 $Q = 25$에서 최소값을 가지는 U자형 AC 곡선으로 나타난다.

이제 하단 그림에서 한계비용과 평균비용을 비교해보자.

$Q < 25$일 때는 $\text{MC} < \text{AC}$이다.
$Q > 25$일 때는 $\text{MC} > \text{AC}$이다.
$Q = 25$일 때는 $\text{MC} = \text{AC}$이다.

이는 비용함수의 일반적인 성질이다. $\text{MC} − \text{AC}$의 차이는 항상 AC 곡선의 기울기와 동일한 부호를 갖는다. 그림 7.8처럼 비용함수가 세로축에 절편을 갖고 선형으로 그려지면, AC 곡선은 모든 $Q$ 값에 대해 우하향한다. 이에 따라 수평선인 한계비용은 AC 곡선 아래에 위치하게 된다. 즉, 모든 $Q$에 대해 $\text{MC} < \text{AC}$이다.

이제 모든 비용함수에서, 그 형태와 관계없이 $\text{MC} − \text{AC}$는 AC 곡선의 기울기와 동일한 부호를 가진다는 일반적인 성질을 증명해보자. 총비용을 생산량으로 나눈 값으로 AC를 정의하고, 몫을 미분하는 규칙을 적용하면, AC 곡선의 기울기는 다음이 나타낼 수 있다.

\[\frac{d}{dQ} \left( \frac{C(Q)}{Q} \right) = \frac{QC'(Q)- C(Q)}{Q^2}\]

여기서 $C'(Q)= \text{MC}$이고, $C(Q) = Q \times \text{AC}$이다. 따라서,

\[\begin{align*} \frac{d}{dQ} \left( \frac{C(Q)}{Q} \right) &= \frac{\text{MC}}{Q} - \frac{C(Q)}{Q^2} \\ &= \frac{\text{MC}}{Q} - \frac{Q(\text{AC})}{Q^2} \end{align*}\] \[\Rightarrow \frac{d}{dQ} (\text{AC} ) = \frac{\text{MC}-\text{AC}}{Q}\]

이 때 $Q>0$이므로, 각 $Q$ 값에서 AC 곡선의 기울기는 $\text{MC} − \text{AC}$와 동일한 부호를 갖는다.

이 결과로부터 얻을 수 있는 한 가지 결론은, 기업의 평균비용곡선이 그림 E7.1처럼 U자형인 경우, 한계비용곡선은 평균비용곡선이 최소화되는 지점에서 교차한다는 것이다($\text{MC} = \text{AC}$).

확인문제 E7.1 다음 중 옳은 것을 모두 골라라

고정비용이 있는 기업을 고려하자. 이 정보를 토대로 기업의 평균비용과 고정비용에 대한 다음 진술을 읽고 옳은 것을 모두 골라라.

$\text{AC} = \text{MC}$일 때, AC 곡선은 0의 기울기를 갖는다.
$\text{AC} > \text{MC}$일 때, MC 곡선은 우하향한다.
$\text{AC} < \text{MC}$일 때, AC 곡선은 우하향한다.
MC 곡선은 수평일 수 없다

$\text{AC} = \text{MC}$이면, 추가되는 생산비용은 기존 생산량의 평균비용과 동일하다. 따라서, 새로운 평균비용도 동일할 것이고 그 기울기는 0일 것이다.
MC곡선은 AC와 MC의 상대적 크기와 무관하게 우상향하거나, 수평선이거나, 우하향할 수 있다.
$\text{AC} < \text{MC}$이면, 추가 생산비용은 기존 생산량의 평균비용보다 크다. 따라서, 새로운 평균비용은 증가하고 평균비용은 우상향한다.
MC가 일정하면, MC 곡선은 수평이다.

연습문제 E7.1 비선형 비용함수를 그려 보자.

다음과 같은 두개의 비용함수가 주어져 있다고 하자.

비용함수 #1: $C(Q) = 5Q^2 + 3Q + 3,600$
비용함수 #2: $C(Q) = -2Q^2 + 4Q + 19,600$

각각의 비용함수에 대해서 다음 작업을 수행해 보라.

(i) 한계비용곡선의 식과, (ii) 평균비용곡선의 식을 각각 도출해 보라. (두 식 모두 $Q \geq 0$에서 정의된다.)
질문 1에서 도출한 답을 사용하여 그림 E7.1과 같이 두 개의 그림을 그려 보라. 하나는 총비용곡선을 나타내고, 다른 하나는 한계비용과 평균비용곡선을 나타내도록 그려라. 곡선을 그릴 때는 $Q \geq 0$에 대해서만 그리면 된다.
총비용곡선의 형태와 한계비용 및 평균비용곡선의 형태 간의 관계를 설명해 보라.

더 읽어보기: 나눗셈 규칙은 다음 책의 7.1절, 그리고 곡선 그리기와 볼록성에 대해서는 다음 책의 8.1절, 8.2절, 8.4절을 참고할 수 있다. Malcolm Pemberton and Nicholas Rau, Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 또는 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.

George J. Stigler. 1987. The Theory of Price. New York, NY: Collier Macmillan. ↩
Rajindar K. Koshal and Manjulika Koshal. 1999. ‘Economies of Scale and Scope in Higher Education: A Case of Comprehensive Universities’. Economics of Education Review 18 (2): pp. 269–77. ↩
Economies of Scale and Scope. The Economist. Updated 20 October 2008. ↩