10단원 시장의 성공과 실패: 사적 결정의 사회적 효과

심화학습 10.2 오염의 외부효과

우리는 그림 10.2를 그림 E10.1로 다시 사용해, 바나나 생산의 사적 한계비용과 사회적 한계비용을 보여주고자 한다. 플랜테이션 농장이 산출량을 선택할 때, 자신의 사적 비용만 고려하므로, 균형은 파레토효율적이지 않은 A점에서 결정된다. 파레토효율적인 생산량은 B점으로 바나나의 사회적 한계비용이 세계가격과 같은 지점이다.

이는, 특히 오염과 같은 환경 문제를 이해하기 위해 외부효과를 분석하는 방법으로 널리 사용된다. 그러나 이 방법은 오염 수준에 영향을 받는 기업이나 소비자가 준선형적 선호를 갖는다는 가정에 결정적으로 기대고 있다.

우리는 5단원 (특히 심화학습 5.4)에서 준선형적 선호를 어느 정도 자세히 논의했다. 설명한 바와 같이, 준선형적 선호는 효용(편익과 비용)을 화폐소득으로 측정할 수 있게 해주므로 유용한 단순화이다. 준선형 효용함수의 일반적인 형태는 다음과 같다.

\[u(m, x)=m+f(x)\]

여기서 x는 재화(또는 효용에 미치는 영향이 부정적이라면 비재화)이고, m은 개인이 다른 재화에 지출하는 기타 소득이다. 이 함수는 m에 대해 선형이며, 재화 x의 한계효용이 소득에 대해 독립적이라는 중요한 특성을 갖는다.

\[\frac{\partial u}{\partial x}=f'(x)\]

다시 말해(소득의 한계효용이 1이므로), 소득과 x 간의 한계대체율(MRS)은 오직 x의 수준에만 의존한다.

따라서, 예를 들어, x가 한 도시의 대기 오염 수준을 나타내고, 모든 시민이 동일한 준선형 효용함수를 갖는다면, 오염 한 단위의 한계효용은 음의 값을 갖지만, 오염과 소득에 대한 시민들의 한계대체율은 그들이 부유한지 또는 가난한지와 무관하게 된다. 물론 이는 의문의 여지가 있는 가정이다. 우리는 부유한 사람들이 대기질 개선을 위해 더 많은 소득을 포기할 준비가 되어 있다고 예상할 수 있기 때문이다.

위보킬 모형에서 선호, 이윤, 그리고 파레토효율성

위보킬 모형에서, 우리는 실질적으로 준선형적 선호를 채택했다. 플랜테이션 농장 소유주와 어민이 위보킬에 관심을 갖는 이유를 오직 바나나 재배와 어류 포획에서 발생하는 이윤에 미치는 영향 때문만이라고 가정했기 때문이다. 두 집단 모두 효용은 오직 화폐적 순보수에만 의존한다. 따라서 우리는 순보수를 준선형 형태로 나타낼 수 있다.

먼저 어민에게 중요한 것이 무엇인지 생각해 보자. 그들의 생계는 어업으로부터의 이윤에 의존하지만, 동시에 바나나 생산으로 인한 오염으로부터 영향을 받는다. 우리는 어민의 효용을 두 항, 즉, 바나나 산출량 Q에 의존하는 항과 그렇지 않은 항의 합으로 쓸 수 있다.

\[u(m_f, Q)=m_f -C_e(Q)\]

여기서, C_e(Q)는 플랜테이션 농장이 어민에게 부과하는 비용을, 즉 바나나 생산의 외부비용을 나타낸다. 그리고 m_f 는 ‘다른 소득’을 나타낸다. 이는 Q의 함수가 아닌 모든 순소득을 포함한다. 우리는 \(C^{\prime}_e(Q)>0\)을 가정하는데, 이는 Q에 따라 어민의 효용이 감소함을 의미한다. 즉, 어민에게 바나나는 “비재화”이다.

설명을 단순화하기 위해, 우리는 섬에 Q의 수준을 선택하는 단 한 명의 플랜테이션 농장주가 있다고 가정할 것이다. 바나나는 세계시장가격 P^W 에 판매되고, 농장주는 가격수용자이지 독점 생산자가 아니라는 것에 주의하자. 이 가정은 결과의 차이를 만들지 않는다. 단지, 각 플랜테이션 농장의 이윤극대화 산출량을 찾고 이를 합산할 필요가 없게 만든 장치일 뿐이다. 플랜테이션 농장의 바나나 재배에 대한 사적 비용을 C_p(Q)로 쓰자. 그리고 위에서와 같이, 소유주가 받는 어떠한 순소득에 대한 항 m_f 을 양함수 형태로 포함하는 것이 도움이 된다. 그렇다면, 우리는 플랜테이션 농장주의 순보수를 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[y(m_p, Q)= m_p + (P^W Q-C_p(Q))\]

이제 우리는 모형의 구성 요소를 그림 E10.1에서 보여준 상황과 대응시킬 수 있다. 바나나의 세계시장가격 P^W 는 400달러이고, 플랜테이션 농장의 바나나 재배에 대한 사적 한계비용은 다음과 같다.

\[\text{MPC} = C^{\prime}_p(Q)\]

그림에서 MPC는 Q에 따라 증가하는데, 이는 \(C_p''(Q) > 0\)이라는 성질에 대응한다. 바나나의 외부적 한계비용은 어민이 겪는 한계비용으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[\text{MEC} = C^{\prime}_e(Q)\]

그리고 사회적 한계비용은 두 비용의 합이다.

\[\text{MSC}=\text{MPC}+\text{MEC} = C^{\prime}_p(Q) + C^{\prime}_e(Q)\]

그러므로 MSC를 나타내는 선은 MPC 선의 위에 위치한다. 우리는 MEC도 Q에 따라 증가한다고 가정(\(C_e''(Q)>0\))했으므로, MSC는 MPC보다 가파르게 우상향한다.

바나나 산출량 결정의 사적 선택은 파레토효율적이지 않다

플랜테이션 농장주는 이윤을 극대화하는 Q를 선택한다. 농장주의 보수에 대한 위의 식을 미분하고 이를 0으로 놓으면, 우리는 다음의 1계 조건을 만족하는 농장주의 이윤극대화 선택 Q_p 를 찾을 수 있다.

\[\begin{align*} \frac{\partial y}{\partial Q} = P^W-C^{\prime}_p(Q)&=0\\ \Rightarrow P^W&=C^{\prime}_p(Q_p) \end{align*}\]

이는 그림 E10.1의 A점에서 일어나는 일이다. MPC가 바나나 재배의 사회적 한계편익 P^W 와 일치한다. 2계 조건을 확인해보면, \(-C_p''(Q)<0\) 이므로 A점이 극대점임을 확인할 수 있다.

우리는 이 절의 본문에서 A점의 산출량인 \(Q=Q_p\)가 파레토개선이 가능하기 때문에 파레토효율적이지 않다고 했다. 이 주장의 수학적 버전을 위해, 산출량이 다소(미소량) 증가한다고 가정하자. 이에 상응하는 이윤 변화는 다음과 같다.

\[\frac{\partial y}{\partial Q} = P - C^{\prime}_p(Q_p)\]

이는 (미소량의 변화에 대해) 0과 같다. 그러나 어민에 대한 영향은 다음과 같다.

\[\frac{\partial u}{\partial Q} = - C^{\prime}_e(Q_p) < 0\]

Q가 미소량만큼 감소하는 효과는 반대의 부호를 가질 것이다. 따라서 어민은 \(C^{\prime}_e(Q_p)>0\) 만큼 처지가 개선되며, 플랜테이션 농장주에게는 아무런 영향을 미치지 않는다. 어민이 Q의 작은 감소에 대한 보상으로 농장주에게 \(\tau\)를 지불하고, \(0<\tau< C^{\prime}_e(Q_p)\)라면, 모두의 후생은 개선된다.

• 플랜테이션 농장의 이득 = \(\tau\)
• 어민의 이득 = \(C^{\prime}_e(Q_p)- \tau\)

동일한 분석을 B점의 산출량에 적용해보면, 즉 사회적 한계비용이 가격과 같은 점(\(C^{\prime}_p(Q) +C^{\prime}_e(Q) = P^W\))에서는 Q의 미소 변화로 인한 한 집단의 이득이 다른 집단의 손실과 정확히 일치하는 것을 알 수 있다. 따라서 이 경우에는, 이득을 보는 쪽이 손실을 보는 쪽에게 보상을 위한 이전 지불을 함으로써 개선을 이루어낼 수 없다, 이 산출량은 더 이상이 개선이 불가능한 상태, 즉 파레토효율적이다.

이 분석과 이에 상응하는 이 절의 본문에서 제시한 그래프를 이용한 설명은 준선형성을 필요로 한다. 준선형성이 없다면, 어민이 이전 지불을 하거나 받게 될 때, 그들이 고통받는 외부적 한계비용은 변화한다. 외부적 한계비용의 변화는 사회적 한계비용 선을 이동시키므로, 이 그림은 더 이상 파레토효율적 배분을 찾는데 도움을 줄 수 없을 것이다.

파레토효율적인 배분 찾기

적어도 한 개인의 후생을 개선시킬 수 있으면서 다른 누구의 후생이 악화되지 않는다면 그 배분은 파레토비효율적이다. 파레토효율적인 배분을 찾는 일반적인 방법은 다른 모두의 보수 수준이 주어진 상태에서 한 개인의 보수를 늘릴 수 있도록 재화의 배분을 재조정할 수 있는지 검토해 보는 것이다. 이때 그 개인의 보수를 극대화하는 배분이 파레토효율적이다.

우리의 모형에서는 모든 사람이 두 가지, 즉, 특정 재화나 비재화의 양 그리고 다른 소득을 고려한다. 배분의 재조정은 영향을 받는 사람들 간에 이 두 가지를 재분배하는 것을 의미한다.

구체적으로, 우리는 한 집단(어민 또는 바나나 생산자)의 보수를 변화시키지 않으면서, 생산되는 바나나의 양을 변화시키고 동시에 두 집단 간에 소득을 이전시킴으로써 다른 한 집단의 보수를 어떻게 극대화할 수 있는지 고려한다. 우리는 다음의 제약 상황에서의 선택 문제를 풀어 이 질문에 대해 답할 수 있다. 여기에서 \(\tau\)는 어민으로부터 플랜테이션 농장주로의 화폐적 이전으로 정의된다. 만일 \(\tau\)의 값이 음수라면 이전이 반대 방향으로 나타난다는 것, 즉 플랜테이션 농장주로부터 어민에게 지불이 일어나는 것을 의미한다는 것을 기억해 두자.

이 문제를 푸는 것은 플랜테이션 농장주가 특정 보수 수준 y₀를 받는다는 조건에서, 어민의 보수 u를 극대화할 수 있는 \(\tau\) 와 Q 의 가능한 값을 찾는 것을 의미한다. 우리는 \(\tau\) 와 Q 모두가 0인 상황, 즉 바나나를 생산하지 않을 때 어민의 소득을 \(m^0_f\)로 썼고, 이 상황에서 플랜테이션 농장주는 소득이 없다고 가정했다(편의상 그런 것이며, 이 가정은 우리의 결론에 영향을 미치지 않는다).

가능한 모든 수준의 y₀에 대한 해를 구하면 모든 파레토효율적인 배분을 찾을 수 있다. 대입법을 사용하면 이 문제를 간단히 풀 수 있다. 제약식을 다음과 같이 재정리해 보자.

\[\tau =y_0 - P^W Q + C_p(Q)\]

어민의 보수에 이를 대입하면 우리는 Q 항으로만 이루어진 목적함수(즉, 우리가 극대화하고자 하는 함수)를 얻게 된다.

\[u=m_f^0 - y_0 +P^WQ - C_p(Q) - C_e(Q)\]

위 식을 미분하면 Q에 대한 1계 조건을 얻는다.

\[\begin{align*} \frac{du}{dQ} = P^W - C^{\prime}_p(Q) - C^{\prime}_e(Q) &= 0 \\ \Rightarrow C^{\prime}_p(Q) + C^{\prime}_e(Q)& = P^W \end{align*}\]

1계 조건은 모든 파레토효율적 배분에서의 Q* 수준이 다음 조건을 만족함을 알려준다.

\[\text{MPC} + \text{MEC} = P^W\]

즉, 사회적 한계비용이 사회적 한계편익과 같다. 비용함수에 대한 우리의 가정 하에서, 2계 조건을 만족하고, 오직 하나의 파레토효율적인 Q 값만이 존재할 수 있음을 확인할 수 있다. 이 값은 그림 E10.1의 B점에서의 값으로 우리는 Q^*로 부를 것이다.

이전 지불 \(\tau\)의 크기는 어떻게 되는가? 파레토효율적인 Q를 다시 대입하면 우리는 다음 식을 얻는다.

\[\tau^* =y_0 - P^WQ^* + C_p(Q^*)\text{또는 이와 동등한 } y_0 =\tau^* + P^W Q^* - C_p(Q^*)\]

따라서 필요한 이전 지불은 \(Q=Q*\)에서 플랜테이션 농장의 이윤과 함께 농장주의 총보수가 y₀가 되도록 보장하는 지불이다. 이전 지불은 y₀에 따라 달라지며, 양수나 음수가 될 수 있다.

요약하면, 이 모형에서 파레토효율성을 위해서는 다른 소득 수준과 관계없이 바나나 산출량 수준은 반드시 \(Q=Q^*\)이어야 한다. 그리고 \(Q=Q^*\)는 우리가 구체화한 농장주의 보수 y₀의 값에 의존하지 않는다. y₀의 특정한 값은 어민과 농장주 간의 이전을 통해 달성될 수 있다.

다시 말해, (비록 모든 관련 당사자에게는 매우 중요하지만) 소득은 바나나 생산의 파레토효율성에 중요하지 않다. 이러한 특성은 준선형성 가정의 직접적인 결과이다. 모든 사람은 단순히 자신의 금전적 보수를 극대화하기를 원하며, 바나나 생산의 한계비용은 소득에 따라 변하지 않는다.

파레토효율성 문제를 왜 플랜테이션 농장주의 특정 보수가 주어졌을 때 어민의 효용을 극대화하는 것으로 표현했는 지 궁금했을 것이다. 왜 반대로 하지 않았을까? 어민의 특정 효용 수준이 주어졌을 때 플랜테이션 농장주의 보수를 극대화하는 것으로도 표현할 수 있다. 그리고 결론도 동일하다.

파레토 개선

우리는 이러한 접근법을 사용해, 주어진 특정 초기 배분에서, 모두의 후생이 개선된 파레토효율적인 배분에 도달하는 방법을 도출할 수 있다.

농장주가 선택한 산출량 수준의 배분에서 시작한다고 가정해보자. 즉, \(Q=Q_p\)인 그림 E10.1의 A점이다. 이 점에서 농장주의 보수는 다음과 같다.

\[y_0= P^W Q_p - C_p(Q_p)\]

이 값 y₀에 대한, 제약하에서의 선택 문제를 풀면, 바나나 산출량이 \(Q^*\)로 감소하더라도, 어민이 농장주에게 바나나로부터의 이윤 감소와 정확히 일치하는 보상을 이전 지불한다면, 농장주의 보수를 낮추지 않으면서도 어민의 후생을 최대한 개선할 수 있다는 것을 알 수 있다. 이는 파레토효율적인 산출량이며 그러한 합의는 파레토개선이다.

대안으로, 우리는 위보킬 없이 바나나르르 재배할 수 없고, 어민의 동의 없이 위보킬을 사용할 수 없는 상황을 고려해 보자. 합의가 없다면, 농장주의 보수는 0이다. \(y_0=0\)인 이 경우에 대한 문제를 풀면, 우리는 \(Q=Q^*\)와 \(\tau^*= - (P^W Q^*-C_p(Q^*))\)를 구할 수 있다. 이는 플랜테이션 농장주가 Q^*를 생산하고 모든 이윤을 어민에게 이전하는 합의를 나타낸다. 다시 한 번, 이 산출량 수준은 파레토효율적인 산출량이며 그러한 합의는 파레토 개선이다.

이 두 가지 예에서 플랜테이션 농장주의 보수는 변하지 않는다. 하지만, 더 높은 수준의 y₀를 선택함으로써, 우리는 양측 모두의 후생을 개선하는 파레토효율적 산출량을 찾을 수 있다.

만약 선호가 준선형이 아니라면?

파레토효율적 산출량 수준이 유일하다는 결과는 준선형성 가정에 의존하지만, 플랜테이션 농장의 사적인 Q의 선택이 파레토효율적이지 않다는 것은 일반화된 사실이다. 더 일반적인 모형을 위해, 어민의 효용을 다음과 같이 가정해 보자.

\[u(m_f, Q) \text{, } \frac{\partial u}{\partial m_f}>0 \text{ 그리고 } \frac{\partial u}{\partial Q} < 0 \text{일 때}\]

이전과 같이, 바나나 생산의 외부적 한계비용은 \(-\frac{\partial u}{\partial Q}\)으로 주어진다. 이는 Q의 한계적 증가로 인한 효용의 한계적 감소이다. 그러나 일반적으로 이는 m_f 와 Q 모두의 함수가 될 것이다.

\[\text{MEC} = -\frac{\partial u}{\partial Q}(m_f, Q)\]

다시 말해, 외부적 한계비용은 어민의 다른 소득이 높은지 낮은지에 달려 있다.

이는 우리의 분석에 어떤 영향을 미치는가? 위에서 설명한 파레토효율적인 배분을 찾는 방법은 매우 일반적이다. 우리는 선호가 준선형적이지 않더라도 사용할 수 있다. 제약하에서의 선택 문제는 다음과 같이 된다.

이전과 같이, 우리는 대입법을 사용해 이를 풀 수 있지만, 미분 절차에 주의를 기울여야 한다. 어민의 효용에 \(\tau =y_0 - P^W Q + C_p(Q)\)를 대입하면, 우리는 목적함수를 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[u(m_f, Q) \text{, } m_f= m_f^0 - y_0 +P^W Q - C_p(Q) \text{일 때 }\]

함수 u의 두 변수가 Q에 의존함에 주목하라. (첫 번째 변수에 대해 연쇄법칙을 사용해) 미분하면, 우리는 다음과 같은 1계 조건을 얻는다.

\[\begin{align*} \frac{du}{dQ} =\frac{\partial u}{\partial m_f}\frac{dm_f}{dQ}+ \frac{\partial u}{\partial Q}&= 0 \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial m_f}(P^W - C^{\prime}_p(Q)) + \frac{\partial u}{\partial Q}&= 0 \end{align*}\]

이전과 같이, 파레토효율적 배분 \((Q,\tau)\)는 이 식과 \(\tau =y_0 - P^W Q + C_p(Q)\)를 만족한다. 그러나 1계 조건의 편미분이 Q뿐만 아니라 m_f 에도 의존한다는 것을 기억하라. 따라서 이 경우 Q와 \(\tau\) 모두의 파레토효율적인 수준은 우리가 y₀로 선택하는 값에 의존한다.

즉 우리는 서로 다른 y₀에 대응하는 \((Q,\tau)\)의 집합이 존재한다고 결론내릴 수 있다.

우리는 위의 식을 사용해, 많은 파레토효율적 배분이 존재할 때조차도, 플랜테이션 농장이 선택하는 Q 수준이 파레토효율적일 수 없음을 증명할 수 있다. \(Q=Q_p\)에서

\[P^W=C^{\prime}_p(Q) \Rightarrow \frac{dm_f}{dQ}=0\]

따라서 목적함수의 도함수는 다음과 같다.

\[\frac{du}{dQ} =\frac{\partial u}{\partial Q} <0\]

따라서 \(q=Q_p\)에서는 파레토효율성을 위한 1계 조건이 만족될 수 없다. 플랜테이션 농장은 자신들의 이윤만을 고려할 뿐, 어민에게 미치는 부정적 영향은 고려하지 않기 때문이다.

2계 도함수를 계산함으로써, 우리는 더 많은 것을 추론할 수 있다. 플랜테이션 농장의 선택 Q_p 는 항상 너무 높다(준선형 모형에서처럼 MEC가 Q에 따라 증가한다고 할 때). 이 점에서는 \(\frac{d^2u}{dQ^2}<0\) 임을 확인할 수 있다. 더 나아가 이 점에서 \(\frac{du}{dQ}\)이 음수이므로, 파레토효율성의 1계 조건을 만족시키기 위해서는 산출량이 감소되어야 한다는 것도 확인할 수 있다.