3단원 할 수 있는 한 최선을 다하기 : 희소성, 웰빙, 그리고 노동시간
3.7 노동시간과 자유시간에서의 소득효과와 대체효과
제약하의 선택 모형을 사용하여 임금 상승의 효과를 분석할 때(3.6절에서 본 카림의 경우처럼) 생활수준은 항상 상승한다는 것을 알 수 있었다(모형에서는 효용이 생활수준을 나타낸다). 노동시간이 증가할지 감소할지 여부는 두 가지 상반된 효과 중 어느 것이 더 지배적인가에 따라 달라진다. 이 절에서는 두 가지 효과를 좀 더 자세히 분석하고, 사례를 통해 두 효과를 분리해는 작업도 진행해 볼 것이다.
여러분이 다음 학기 개강 전 10주간의 여름방학을 어떻게 보낼 지 계획 중이라고 가정해 보자. 동네 편의점에서 하루에 $90을 받고 일할 수 있는 기회가 있다. 하지만 친구들을 만나고, 휴가를 보내고, 내년에 수강할 과목들을 공부하고 싶기도 하다. 방학 동안 일을 얼마나 해야 할까?
카림처럼 소득을 얻어 누릴 수 있는 소비와 자유시간이라는 두 가지 재화에만 가치를 둔다고 가정해 보자. 여름방학 전체를 계획 중이므로 일별 혹은 주별 평균보다는 전체 방학 동안의 소비 금액과 자유시간을 결정하기로 하자.
총 70일 동안 일하거나 자유시간을 가질 수 있다. 하루 임금을 \(w\)라 하고, 방학 동안 일하지 않는 날의 수를 \(d\)라고 하자. 그렇게 되면 일하는 날수는 \((70-d)\)일이 되고 최대 소비금액 \(c\)는 예산제약에 따라 다음과 같이 주어질 것이다.
\[c = w(70 - d)\]그림 3.10은 하루 임금이 $90일 때의 예산제약과 실행가능집합을 보여 준다.
예산제약의 기울기는 임금과 같다. 즉, 휴일이 하루 추가될 때마다 총소비는 $90씩 감소한다. 예산제약 아래의 영역이 실행가능집합이다. 여기서 결정해야 하는 문제는 카림이 직면했던 문제와 매우 유사하다. 자유시간을 소비로 변환시킬 수 있는 한계변환율(이는 하루치 휴일의 기회비용에 해당한다)은 일정하고 그 크기는 임금과 동일하다. 즉, 일하는 기간 동안 그 크기는 1일당 $90이다.
어떤 선택을 할 것인가? 그것은 선호에 의해 결정될 것이며, 선호는 처한 상황에 따라 달라진다. 예를 들어, 가족과 함께 살기 때문에 집세를 내지 않는다면, 숙소비용을 지불해야 하는 학생보다 소득이 덜 중요할 것이며 자유시간에 상대적으로 높은 가치를 부여할 것이다. 만약 방학 동안의 소득 일부를 다음 학기 소비 비용을 지불하는 데 써야하는 경우라면 소비 대신 자유시간을 누리려는 의향은 줄어들 것이다. 어떤 경우라도, 여러분이 선호하는 자유시간과 소비의 선택은 실행가능경계에 있는 조합일 것이며, 가장 높은 무차별곡선 위에 있을 것이다. 그림 3.10에 전형적인 모양의 무차별곡선을 그렸다. 가장 선호하는 조합을 찾기 위해 그림의 각 단계를 따라가 보자.
| 노동일 수 | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
| 휴일 수 | 70 | 60 | 50 | 40 | 30 | 20 | 10 | 0 |
| 소비($) | 0 | 900 | 1,800 | 2,700 | 3,600 | 4,500 | 5,400 | 6,300 |
그림 3.10 선호하는 자유시간과 소비의 선택
| 노동일 수 | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
| 휴일 수 | 70 | 60 | 50 | 40 | 30 | 20 | 10 | 0 |
| 소비($) | 0 | 900 | 1,800 | 2,700 | 3,600 | 4,500 | 5,400 | 6,300 |
예산제약과 실행가능집합
| 노동일 수 | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
| 휴일 수 | 70 | 60 | 50 | 40 | 30 | 20 | 10 | 0 |
| 소비($) | 0 | 900 | 1,800 | 2,700 | 3,600 | 4,500 | 5,400 | 6,300 |
한계변환율
| 노동일 수 | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
| 휴일 수 | 70 | 60 | 50 | 40 | 30 | 20 | 10 | 0 |
| 소비($) | 0 | 900 | 1,800 | 2,700 | 3,600 | 4,500 | 5,400 | 6,300 |
이상적인 계획
무차별곡선의 모양이 그림 3.10의 곡선과 같다면, 방학 동안 34일의 휴일을 갖는 A점을 선택할 것이다. 36일간 동네 편의점에서 일하고 총 $3,240의 수입을 올릴 계획을 한다.
카림과 마찬가지로 여러분도 A점에서 두 가지 상충관계의 균형을 맞추고 있다. 즉, MRS는 추가적인 휴일을 위해 기꺼이 포기할 용의가 있는 휴일의 비율이고, MRT는 휴일을 소비로 전환할 수 있는 비율로서 하루 임금과 동일하다. 소비와 자유시간의 효용극대화 조합은 아래와 같은 조건을 만족하는 예산제약 위의 점이다.
\[\text{MRS} = \text{MRT} = w\]이 결정을 고려하는 동안 여러분이 이메일을 받게 되었다고 해 보자. 미지의 후원가가 여러분에게 맘대로 지출할 수 있는 $1,000를 주려고 한다(여러분이 할 일은 은행계좌 정보를 제공하는 일 뿐이다). 이것이 계획에 영항을 줄 것임은 당연하다. 새로운 상황이 그림 3.11에 나와 있다. 자유시간의 각 수준에 대해 총수입(소득과 미스터리한 선물의 합)은 이전 보다 $1,000 증가했다. 따라서 예산제약은 $1,000만큼 위로 평행 이동하고, 실행가능집합은 확장된다. 이제 새로운 예산제약식은 다음과 같다.
\[c = 90(70 - d) + \text{1,000}\]
그림 3.11 추가 소득이 자유시간과 소비의 선택에 미치는 영향
$1,000의 추가 소득은 시간의 기회비용을 바꾸지는 않는다. 즉, 휴일을 하루 늘리면 여전히 소비를 $90(임금)만큼 감소시킨다. 그림에서 새로운 이상적인 선택은 39일의 휴일을 갖는 B점이다. B점은 IC3 위에 있으며 MRS는 $90이다. 그림에 있는 무차별곡선에 따르면, 추가적 소득에 대한 반응은 단순히 $1,000를 더 소비하는 것이 아니다. 위의 경우라면 소비는 $1,000보다 작게 늘어나고 대신 추가적인 자유시간을 갖는다. 다른 선호를 가진 학생이라면 자유시간을 증가시키는 선택을 하지 않을 수도 있다. 그림 3.12는 자유시간 값이 같다면 MRS가 두 무차별곡선에서 동일한 경우를 보여주고 있다. 이런 경우라면 이 학생은 자유시간을 동일하게 유지하고, 소비를 $1,000 더 늘리는 선택을 하게 된다.
그림 3.12 다른 선호를 가진 학생: 소비가 증가해도 MRS가 변하지 않는 경우
- 소득효과
- 소득의 증가가 구매 가능한 집합을 확장시킴으로 인해 상품(구매하고자 하는 수량)에 대한 수요에 미치는 영향. 상품의 가격이 변하는 경우도 실행가능집합을 확장시키거나 축소시키기때문에 소득효과를 가진다. 가격변화는 또한 대체효과를 갖는다. 이와 관련하여 대체효과를 참조하라.
그림 3.11과 그림 3.12는 소득효과의 예를 보여준다. 즉, 추가 소득이 자유시간 선택에 미치는 영향이다. 그림 3.11에서 소득효과는 양수이다. 추가 소득은 자유시간을 늘리는 쪽으로 선택을 변화시킨다. 그림 3.12가 보여주는 학생의 경우에는 자유시간에 대한 소득효과는 0이다. 대부분의 재화에서 소득효과는 양수이거나 0이지만, 음수는 아니라고 가정하곤 한다. 다시 말하면, 소득이 증가했을 때 가치가 있다고 여기는 것을 적게 가지는 선택은 하지 않는다는 것이다.
- 대체효과
- 대체효과는 재화의 가격이 변할때 생기는 것으로, 그 재화의 상대가격이 변함으로 인해 발생하는 소비의 변화를 말한다. 가격의 변화는 실행가능집합을 확장시키거나 축소시키기 때문에 소득효과도 갖는다. 이와 관련하여 소득효과를 참조하라.
$1,000의 선물은 일하지 않고 얻은 것이므로 오직 소득효과만 가진다. MRT는 변경되지 않았으므로 일하는 것에 대한 인센티브가 변한 것은 아니다. 따라서 대체효과는 존재하지 않는다. 여전히 휴일 하루의 기회비용은 $90이며, 소비를 자유시간으로 대체할 이유가 없다.
그런데 미지의 낯선 사람에게 은행계좌 정보를 알려주는 것이 현명하지 않다는 것을 불현듯 깨닫게 되었다고 해 보자(사기일수도 있으니). 아쉽지만 다시 원래의 계획으로 돌아가서 34일을 일하기로 한다. 하지만 갑작스러운 또 다른 행운이 도래해서, 하루에 $130을 받는 슈퍼마켓에 일자리가 생겼다는 소식을 듣게 되었다고 하자. 새로운 일자리를 얻게 되면 예산제약은 다음과 같이 변한다.
\[c = 130(70 - d)\]그림 3.13a는 임금이 하루 $90에서 $130으로 증가했을 때 예산제약이 어떻게 변하는 지 보여준다. 이제 휴일 하루를 포기할 때마다 소비는 $90이 아니라 $130이 증가하므로, 예산제약의 기울기가 가파르게 변한다. 점 (70,0)을 중심으로 예산제약 선이 회전하는데, (70,0)은 일을 하지 않으므로 임금이 얼마이든 상관없이 소비가 0인 점이다. 실행가능집합은 확장된다. 이제 30일만 일해도 $5,200의 소비를 할 수 있는 D에서 가장 높은 효용을 달성한다. 당연히 그 슈퍼마켓에 이력서를 제출한다.
그림 3.13a 임금의 상승이 자유시간과 소비의 선택에 미치는 영향
그림 3.11과 그림 3.13a의 결과를 비교해 보자. 일하지 않고 얻은 소득이 증가했을 때는 일을 더 적게 하길 원했지만, 그림 3.13a에서처럼 임금이 상승한 경우에는 일하는 날을 늘리는 결정을 했다. 왜 이런 결과가 생겨날까? 임금 인상으로 인해 생기는 대체효과가 소득효과보다 더 컸기 때문이다.
- 실행가능집합이 확장되면, 잠재적인 효용은 증가한다: 자유시간의 각 수준에서 더 많은 소비를 할 수 있다. 자유시간이 주어진 상태에서, MRS는 소득이 높을 수록 더 커지며, 이는 추가적인 자유시간을 위해 더 많은 소비를 포기할 의향이 있음을 의미한다. 이것이 그림 3.11에 나타난 소득효과이다. 즉, 추가적인 소득에 대해 소비를 늘릴 뿐만 아니라 자유시간도 더 많이 갖는 것으로 반응한다.
- 예산제약이 가파라진다: 이제 자유시간의 기회비용이 더 커졌다. 다시 말해서 시간을 소비로 변환시킬 수 있는 한계변환율(MRT)이 증가한 것이다. 달리 말하면, 일을 더 할 유인(자유시간을 줄이는 유인)이 생겼음을 의미한다. 이것이 대체효과이며 그림 3.13a에서 대체효과는 소득효과보다 더 크다.
그림을 이용해 소득효과와 대체효과를 보다 정확하게 측정할 수 있다. 임금이 오르기 전, IC2의 A점에 있었다. 높아진 임금으로 인해 IC4의 D에 도달할 수 있게 되었다. 그림 3.13b는 A에서 D로의 변화를 두 효과에 상응하는 두 부분으로 분해하는 방법을 보여준다.
그림 3.13b 임금의 상승이 자유시간과 소비의 선택에 미치는 영향
임금 인상
이제 더 높은 무차별곡선에 도달할 수 있다.
자유시간의 기회비용이 변하지 않는다면
소득효과
대체효과
소득효과와 대체효과의 합
소득효과와 대체효과
이제 소득효과와 대체효과를 좀 더 엄밀하게 설명해 보자. 임금 상승은
- 동일한 자유시간 값에 대응하는 소득을 증가시키고, 달성할 수 있는 효용수준을 높인다.
- 자유시간의 기회비용을 증가시킨다.
따라서 임금의 상승은 자유시간의 선택에 두 가지 영향을 미친다.
- 소득효과(예산제약이 바깥쪽으로 이동하기 때문에): 기회비용에 변화가 없을 때 추가적인 소득이 가져올 효과
- 대체효과(예산제약의 기울기, 즉 MRT가 증가하기 때문에): 새로운 효용수준에서 기회비용의 변화가 가져올 효과
그림 3.13b는 전형적인 형태의 무차별곡선 하에서는 대체효과가 언제나 음수임을 보여준다. 자유시간의 기회비용이 클수록 동일한 무차별곡선에서 더 높은 MRS를 갖는 점(자유시간은 더 적고 소비는 더 많은 점)을 선택하게 된다. 임금 상승의 전반적인 효과는 소득효과와 대체효과의 합에 의해 결정된다. 그림 3.13b에서는 음의 대체효과가 양의 소득효과보다 더 크기 때문에 최종적으로 자유시간은 감소한다.
대체효과가 소득효과를 능가할 정도로 충분히 클지 여부는 노동시간과 소비 사이의 대체가 얼마나 쉬운지에 달려있다. 여름방학을 어떻게 보낼 지 고민하고 있는 학생에게는 시간을 어떻게 보낼지에 대해서, 즉 소비와 자유시간을 사이의 대체 의향을 둘러싸고 융통성 있게 접근할 수 있다. 이는 무차별곡선의 모양에도 반영된다. 경우에 따라서는 임금이 조금만 변해도 자유시간의 선택에 상당한 영향을 미칠 수도 있다.
하지만 가사일이 많은 사람이라면 자유시간을 포기하는 것이 상대적으로 더 어려울 것이다. 임금의 작은 변화로부터 생기는 일할 유인의 변화는 그런 상황의 사람에게는 그렇게 크지 않을 것이다. 즉, 그런 사람들에게는 대체효과는 작아지고 소득효과가 더 지배적일 가능성이 크다.
확인문제 3.9 다음 중 옳은 것을 모두 골라라.
그림 3.14는 시간당 임금이 $15인 노동자의 1일 소비와 자유시간의 실행가능한 조합을 보여준다.
그림 3.14 시간당 임금이 $15인 노동자의 실행가능집합
아래 진술을 읽고 옳은 것을 모두 골라라.
- 자유시간을 1시간 추가할 때마다 노동자는 $15만큼 소비지출을 줄여야 하기 때문에 예산제약의 기울기는 -15가 된다.
- 상품권은 모든 자유시간에 대해 소비자가 $60만큼 더 소비할 수 있게 하므로 예산제약을 바깥으로 평행 이동시킨다.
- 임금의 하락은 예산제약을 (24,0)을 중심으로 안쪽으로 회전시킨다. 실행가능집합은 작아지고 노동자는 임금이 $15였을 때 가능했던 효용수준을 달성할 수 없게 된다.
- 임금이 하락하면 자유시간의 기회비용은 감소하지만, 무차별곡선의 모양을 알기 전에는 노동시간이 어떻게 변할지 말할 수 없다. 노동시간은 소득효과와 대체효과의 상대적 크기에 따라 증가할 수도 있고 감소할 수도 있다.
연습문제 3.7 조이의 문제: 영화티켓의 가격이 오를 경우
연습문제 3.4에서 조이의 예산이 £240이고 영화티켓의 가격과 밤 외출 비용이 각각 £10 와 £16인 경우에, 사교와 취미활동에 관한 조이의 최선의 선택이 어떻게 결정되는지를 보았다. 아래 그림에는 조이의 예산제약과 무차별곡선이 그려져 있다. 이러한 선호하에서 그녀의 최선의 선택은 13매의 영화티켓과 (대략) 7번의 밤 외출로 이루어진 A점이다.
이제 런던의 영화티켓 가격이 영국 어느 곳보다도 비싸져서 £15가 되었다고 가정해 보자. 가격 상승은 조이의 예산제약을 (0,15)를 중심으로 안쪽으로 회전시킨다. (0,15)점은 여전히 가능하지만, 이제는 모든 예산을 영화티켓을 사는 데 지출하더라도 16매밖에 구매하지 못한다.
- 조이의 한계변환율은 어떻게 변했는가? 영화티켓의 기회비용은 상승했나 아니면 하락했나?
- 조이의 소비 능력은 어떻게 변했는가? 사교와 취미활동에 대한 조이의 지불 능력은 늘었나 아니면 줄었나?
- 이제 C점이 조이의 효용극대화 선택이 되었다. 그녀의 효용과 구매할 영화티켓의 수는 어떻게 되었는가?
- 가격 변화의 효과를 소득효과와 대체효과로 분해하기 위해 그림을 다시 그려서 영화티켓이 £10인 예산제약과 같은 기울기를 가지면서 IC2에 접하는 직선을 그려 넣어보자. 이때 접점을 B로 표시하자.
- 이때 A에서 B까지의 이동이 소득효과에 해당한다. 가격 인상으로 인해 조이의 소비 능력이 낮아진다. 마치 지출할 소득이 줄어든 것과 같은 효과이다. 이는 조이가 구매하는 티켓 수에 어떤 영향을 미치는가?
- B에서 C로의 이동은 대체효과에 해당한다. 새로운 효용수준을 유지한다는 전제 하에서 영화티켓의 기회비용의 변화가 미치는 영향이다. 그녀가 구매하는 티켓 수에 어떤 영향을 미치는가?
- 조이와 카림의 경우에 대체효과는 동일한 방식으로 작용하지만, 소득효과는 반대로 작용하는 이유를 설명할 수 있는가?
심화학습 3.7 소득효과 및 대체효과를 수리적으로 접근해 보자
이 절의 본문에서는 그림을 이용해 여름방학 계획을 제약하의 선택 문제로 풀었고, 임금 상승의 효과를 소득효과와 대체효과로 분해해 보았다. 여기서는 심화학습 3.5에서 공부했던 미분법을 적용하여 선택 문제를 풀어보고, 임금 혹은 소득 변화의 효과를 수학적으로 확인해 보려고 한다. 마지막으로 임금 변화를 소득효과와 대체효과로 분해하는 수치 계산법을 설명할 것이다.
이 절의 제약하의 선택 문제에서 여러분은 70일 간의 여름방학 동안 며칠을 일하면서 보낼 것인지를 결정하였다. 실행가능집합 내에서 가능한 가장 높은 효용을 주는 소비 \(c\)와 휴일 \(t\)를 선택했다.
여기서는 미분 기호화의 혼동을 피하기 위해 자유시간을 \(d\)가 아닌 \(t\)로 쓴다.
현재 임금률은 \(w\)이고, 비노동소득 \(I\)도 가지고 있다고 해 보자.
여름방학 계획에 관한 제약하의 선택 문제
주어진 제약 \(c=w(70 - t) + I\)하에서, 효용 \(u(t,c)\)을 극대화하는 \(t\)와 \(c\)를 선택하기.
선호를 다음과 같은 효용함수로 나타내 보자.
\[u(t, c) = t(c+600)\]수학적 분석을 하더라도 경제학적 이해를 따라가기 위해 그림을 그려보는 것은 도움이 된다. 그림 E3.4는 이 효용함수를 가지고 임금이 $96에서 $150으로 인상되었을 때의 효과를 소득효과와 대체효과로 분해해서 보여준다. 이 효용함수는 그림 3.13b에서 사용한 것과 다르기 때문에 무차별곡선의 모양과 정확한 수치는 조금 다르지만, 직면하고 있는 선택 문제는 비슷하다.
그림 E3.4 임금이 $96에서 $150으로 인상되어 자유시간에 대한 선택은 38일(A점)에서 37일(D점)로 감소한다.
그림 E 3.4는 하루 임금이 $96이고 비노동소득 0인 상태에서의 선택을 나타내고 있다. 효용을 극대화하기 위해 소비와 자유시간의 조합인 A점을 선택한다. 만약 임금이 $150으로 인상되면, 선택은 D점으로 이동한다. 그림에서 임금 인상이 자유시간에 미치는 총효과는 자유시간을 약간 감소시키는 것으로 나타난다. 이때 총효과를 양의 소득효과와 음의 대체효과로 분해할 수 있다.
이제 이 결과를 수학적으로 증명해 보자. 다음의 단계를 밟아갈 것이다.
- 이 효용함수를 가지고 제약하의 선택 문제의 해를 구한다.
- \(w\)와 \(I\)의 변화가 방금 구한 해에 어떤 영향을 주는지 확인한다.
- 비노동소득 \(I=0\)이고 임금이 $96에서 $150으로 인상된 경우 자유시간에 대한 효과를 계산한다.
- 그러고 나서 이 변화를 소득효과와 대체효과로 분해한다.
제약하의 선택 문제 풀기
최선의 선택은 예산제약 위의 점 중 MRS=MRT를 만족하는 점이라는 것을 기억하자. MRS는 한계효용의 비율이다.
\[\text{MRS} = \left| \frac{\partial u}{\partial t} \left/ \frac{\partial u}{\partial c} \right.\right| = \frac{c+600}{t}\]그리고 MRT는 임금 \(w\)(실행가능경계의 기울기의 절대값)이다. 따라서 효용극대화 선택인 \((t^*,\ c^*)\)은 다음의 연립방정식을 만족시킨다.
\[\begin{align} \frac{c+600}{t}&=w \\ c&=w(70-t)+I \end{align}\]두 번째 식을 첫 번째 식의 \(c\)에 대입하고 \(t\)에 관해 풀면 다음을 얻는다.
\[t^*=35+\frac{I+600}{2w}\]그리고 이 식을 다시 처음 식에 대입하면 \(c^*\)를 구할 수 있다.
\[c^*=wt^*-600=35w+\frac{I-600}{2}\]최선의 선택으로 얻게 되는 효용은 \(u=(c^*+600)t^*\) 이며, 연립방정식의 첫 번째 식으로부터 \(c^*+600=wt^*\)이므로, 이 둘을 이용하여 효용을 \(t^*\)의 식으로 표현하면 간단히 다음의 식을 얻을 수 있다.
\[\begin{align} u=w{t^*}^2 \end{align}\]w나 I가 변하면 해는 어떻게 달라지나?
위의 식은 해인 \((t^*,\ c^*)\), 즉 효용을 극대화하는 \(c\)와 \(t\)가 임금 \(w\)와 비노동소득 \(I\)의 함수임을 보여준다. \(w\)가 변할 때 어떤 효과가 나타나는지 알아보려면 \(I\)를 상수로 두고 이 함수를 \(w\)에 관해 미분해 보면 된다. 같은 방식으로 \(I\)의 변화의 효과도 확인할 수 있다.
w가 증가하는 경우
먼저, \(w\)의 변화가 자유시간에 미치는 영향을 알아보자.
\[\begin{align*} t^*(w, I)&= 35 + \frac{I+600}{2w} \\ \Rightarrow \frac{\partial t^*}{\partial w}&= - \frac{I+600}{2w^2} \end{align*}\]도함수의 부호는 \(w\)가 아주 조금 상승했을 \(t^*\)에게 나타나는 효과가 어느 방향인지 알려준다. 모든 \(w\)와 \(I>0\)에 대하여 도함수 부호는 음수이다. 이 효용함수를 사용하는 경우 임금의 상승은 자유시간을 줄일 것임을 유추할 수 있다.
소비는 어떻게 될까?
\[\begin{align} c^{*}(w, I) &= 35w + \frac{I - 600}{2} \\ \Rightarrow \frac{\partial c^{*}}{\partial w} &= 35 \end{align}\]모든 \(w\)와 \(I\)에 대하여 편미분값이 양수이기 때문에, 임금 인상은 언제나 소비를 증가시킨다.
I가 증가하는 경우
같은 방법을 \(I\)에 적용해 보자.
\[\begin{align} t^{*}(w, I) &= 35 + \frac{I + 600}{2w} \Rightarrow \frac{\partial t}{\partial I} = \frac{1}{2w} > 0 \\ c^{*}(w, I) &= 35w + \frac{I - 600}{2} \Rightarrow \frac{\partial c}{\partial I} = \frac{1}{2} \end{align}\]모든 \(I\) 와 \(w>0\)에 대해 두 편미분이 모두 양수이기 때문에 비노동소득의 증가는 자유시간과 소비를 모두 늘리는 결과로 이어진다는 것을 알 수 있다.
이 결과는 일반적으로 성립하는가?
물론 편미분을 통해 얻은 결과는 어떤 효용함수를 사용했는가에 따라 다르게 나올 것이다. 그러나 대부분의 적절한 효용함수에서 소득의 증가는 소비와 자유시간을 모두 증가시키며, 임금의 증가는 소비를 증가시킨다. 하지만 임금의 변화가 자유시간에 미치는 효과는 소득효과와 대체효과의 크기에 따라 달라진다.
\[t_A=35+600/192 = 38.125 \\ c_A=35\times 96-300=3,060\]임금이 올라 \(w=150\)이고 \(I=0\)이라면, 이제 최선의 선택은 D점이다.
\[t_D=35+600/300 = 37 \\c_D=35\times 150-300=4,950\]임금 인상이 자유시간에 미치는 총효과는 휴일을 38.125에서 37로 감소시키는 것으로 나타난다.
임금 인상이 자유시간에 미친 총효과의 분해
임금 인상이 가져오는 총효과는 자유시간의 감소로 나타났다.
\[t_D-t_A=37-38.125=-1.125\]다음 네 단계를 차례대로 밟아가면서 분해 과정을 살펴보자.
1. 임금 인상 후 효용은 어떻게 되는가?
임금 인상 후 선택은 \(t_D= 37\)인 D점이며, 이때 효용수준은
\[u_D=150t_D^2=205,350\]이다. 이 값은 그림 E3.4에서 D점을 통과하는 무차별곡선의 효용수준이다.
2. 임금 인상과 동일한 효과를 효용에 미치려면 소득은 얼마나 변해야 하는가?
임금이 \(w=96\)으로 유지된다고 가정해 보자. 대신 비노동소득이 0에서 \(J\)로 증가하였다고 해 보자. 최선의 선택에서 자유시간은 다음과 같을 것이다.
\[t=35+\frac{J+600}{192} \text { 그리고 이때 효용의 크기는 } u=96t^2\]이 자유시간이 임금 인상의 결과로 얻었던 효용과 동일한 효용을 주려면, 그림의 C점에 있어야 한다.
\[t_C=35+\frac{J+600}{192} \text { 그리고 이때 효용의 크기는 } u_C=96t_C^2=u_D=150t_D^2.\]\(J\)값이 얼마인지 찾으려면 위에서 구한 \(t_C\)와 \(t_D\)의 식을 이용하여 \(96t_C^2=150t_D^2\) 식을 풀면 된다. 먼저, 식을 다음과 같이 간단히 정리할 수 있다(숫자들이 계산하기 쉽게 선택되었기 때문에).
\[\begin{gather*} 96t_C^2=150t_D^2 \Rightarrow 16t_C^2=25t_D^2 \Rightarrow (4t_C)^2 = (5t_D)^2 \\ \text {이로부터 } \ 4t_C = 5t_D \end{gather*}\](\(4t_C = -5t_D\)가 될 수도 있지만 이 경우는 경제학적으로 의미가 없다.) 방금 구한 \(t_C\)와 \(t_D\)에 위의 결과를 대입한 후 \(J\)에 대해 풀면 다음을 얻는다.
\[\begin{align*} 4 \left (35+\frac{J+600}{192}\right)&= 5\times 37 \\ \Rightarrow J&= 1,560 \end{align*}\]따라서 임금이 $96으로 유지되면서 비노동소득이 0에서 $1,560으로 증가하면, 비노동소득의 증가가 효용에 미치는 효과와 임금이 $96에서 $150으로 인상되었을 때 효용에 미치는 효과가 같아진다.
3. 소득효과 찾기
임금 상승이 가져오는 소득효과는 비노동소득의 증가를 통해 동일한 효용수준을 얻을 수 있었다고 한다면 자유시간이 얼마나 변했을까를 나타낸다. 즉, \(J\)=$1,560이라는 추가 소득을 얻었다면 생겼을 자유시간의 변화이다. 소득효과는 A와 C사이 자유시간의 변화에 해당한다.
\[\begin{gather*} t_A=38.125 \text{ 그리고 } t_C = 35 + \frac{600+J}{192} =46.25 \\ \Rightarrow \text{ 소득효과 }= t_C-t_A = 8.125 \end{gather*}\]그러므로 임금이 $96에서 $150으로 인상된 것의 소득효과만을 고려한다면, 자유시간을 추가로 8.125일 더 갖고자 할 것이다.
4. 대체효과 찾기
하지만 임금 상승은 자유시간의 기회비용을 증가시키고 이러한 기회비용의 증가도 최선의 선택에 영향을 준다. 즉 임금의 상승은 대체효과를 발생시킨다. 자유시간이 더 비싸질수록, 자유시간을 소비로 대체하고자 할 것이다.
임금 인상의 총효과는 소득효과와 대체효과의 합이므로, 총효과와 소득효과를 알면 대체효과는 쉽게 유도할 수 있다.
| 총효과 | \(t_D-t_A\) | = 37 − 38.125 = −1.125 |
| 소득효과 | \(t_C -t_A\) | = 46.25 − 38.125 = +8.125 |
| 대체효과 | \(t_D -t_C\) | = −1.125 − 8.125 = −9.25 |
대체효과는 효용을 일정하게 유지한 상태에서 임금 인상이 자유시간의 선택에 미치는 효과이다.
소득효과와 대체효과는 자유시간에 대해 반대 방향으로 작용한다
이 예에서 소득효과는 양(+)인 반면, 대체효과는 음(-)이다. 이는 대부분의 효용함수에서 나타나는 결과이다. 자유시간에 대한 총효과가 양인지 음인지는 두 효과 중 어느 것이 지배적인지에 달려 있다.
위에서 사용한 효용함수 \(u(t, c) = t(c+600)\)에서는 임금 인상은 항상 자유시간을 감소시켰다. 즉, \(\frac{\partial t^*}{\partial w}=-\frac{I+600}{2w^2}<0\). 하지만 다른 효용함수의 경우에는 결과가 다를 수 있다. 예를 들어, 만약 효용함수가 \(u(t, c) = t(c-200)\)로 주어졌다면 다음과 같은 결과가 나온다.
\[\begin{equation*} \frac{\partial t^*}{\partial w} = -\frac{I -200}{2w^2} \begin{cases} < 0 & \text{if} \ I > 200 \\ = 0 & \text{if} \ I = 200 \\ > 0 & \text{if} \ I < 200 \end{cases} \end{equation*}\]이 경우에는 비노동소득 \(I\)가 낮을 때는 양의 소득효과가 더 큰 반면, \(I\)가 높을 때는 음의 대체효과가 더 크게 나타난다.
연습문제 E3.5 소득효과와 대체효과
친구의 효용함수가 \(u(t,c) = tc\)이고, 예산제약은 \(c = w(24-t) + I\)라고 가정해 보자.
- 임금이 $16이고, \(I\) =$160이라면, 이 친구는 자유시간을 얼마나 선택하겠는가? 그리고 이에 상응하는 소비 수준은 얼마인가?
- 비노동소득은 여전히 $160인데, 임금이 $25로 인상되었다고 하자. 이 친구는 이제 몇 시간의 자유시간을 선택할 것이며, 그에 상응하는 소비는 얼마일지 계산해 보자.
- 이러한 임금 상승이 가져오는 소득효과와 대체효과의 (자유시간으로 측정된) 크기를 계산하여라.
더 읽어보기: 다음 책의 14.1절, 17.1절, 그리고 17.3절이 도움이 된다. Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
