Unidad 3 La mejor acción posible: escasez, bienestar y horas de trabajo
3.7 El efecto renta y el efecto sustitución en las horas de trabajo y el tiempo libre
Cuando utilizamos el modelo de elección restringida para analizar los efectos de un incremento salarial (como en el caso de Karim en la sección 3.6), observamos que siempre aumenta el nivel de vida (representado por la utilidad en el modelo). Las horas de trabajo pueden aumentar o disminuir dependiendo de cuál de dos efectos opuestos predomine. En esta sección analizamos con más detalle estos dos efectos recurriendo a otro ejemplo para explicarlos.
Imagina que quieres planificar cómo pasarás las diez semanas de vacaciones que tienes en verano antes de empezar tu próximo curso universitario. Tienes la posibilidad de trabajar en una tienda local, donde te pagarían 90 dólares al día. Pero también quieres tener tiempo para quedar con amigos, tomarte unas vacaciones y estudiar las asignaturas del año que viene. ¿Cuántos días tendrías que trabajar durante las vacaciones?
Supongamos que, igual que a Karim, solo te importan dos bienes: el consumo que puedes disfrutar con tus ingresos y el número de días libres que tendrás a tu disposición. Como estás planificando todas las vacaciones de verano, nos centraremos en las cantidades totales de consumo y tiempo libre, y no en los promedios diarios o semanales.
Cuentas con un total de 70 días que puedes dedicar a trabajar o a tener tiempo libre. Si w es el salario diario, y te tomas d días de tiempo libre durante ese periodo vacacional, entonces trabajarás \((70 − d)\) días, y tu nivel máximo de consumo, c, vendrá dado por la restricción presupuestaria:
\[c = w(70 - d)\]La figura 3.10 ilustra tu restricción presupuestaria con un salario de 90 dólares al día, así como tu conjunto factible.
La pendiente de la restricción presupuestaria se corresponde con el salario: cada día libre adicional obliga a restar 90 dólares al consumo total. El área que queda debajo de la restricción presupuestaria es el conjunto factible. Tu problema es muy parecido al de Karim: la relación marginal con la que puedes transformar días de tiempo libre en consumo, que es también el coste de oportunidad de un día libre, es constante e igual a tu salario: 90 dólares por cada día de trabajo.
¿Qué elegirás? Eso dependerá de tus preferencias, y estas dependerán a su vez de tu situación particular. Por ejemplo, si puedes vivir con tu familia y ahorrarte el pago de un alquiler, los ingresos tendrán menos importancia para ti que para un estudiante que tiene que pagarse un alojamiento, y darás un valor bastante elevado al tiempo libre. Si necesitaras una parte de tus ingresos para financiar tu próximo semestre en la universidad, es posible que mostraras menos disposición a sustituir consumo por tiempo libre. Tu elección preferida de tiempo libre y consumo será la combinación en la frontera factible que se encuentre en la curva de indiferencia más alta posible. En la figura 3.10 hemos trazado curvas de indiferencia con la forma típica. Sigue los pasos para encontrar tu opción preferida.
| Días de trabajo | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
| Días libres | 70 | 60 | 50 | 40 | 30 | 20 | 10 | 0 |
| Consumo ($) | 0 | 900 | 1800 | 2700 | 3600 | 4500 | 5400 | 6300 |
Figura 3.10 Tu combinación preferida de tiempo libre y consumo.
| Días de trabajo | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
| Días libres | 70 | 60 | 50 | 40 | 30 | 20 | 10 | 0 |
| Consumo ($) | 0 | 900 | 1800 | 2700 | 3600 | 4500 | 5400 | 6300 |
La restricción presupuestaria y el conjunto factible
| Días de trabajo | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
| Días libres | 70 | 60 | 50 | 40 | 30 | 20 | 10 | 0 |
| Consumo ($) | 0 | 900 | 1800 | 2700 | 3600 | 4500 | 5400 | 6300 |
La relación marginal de transformación
| Días de trabajo | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
| Días libres | 70 | 60 | 50 | 40 | 30 | 20 | 10 | 0 |
| Consumo ($) | 0 | 900 | 1800 | 2700 | 3600 | 4500 | 5400 | 6300 |
Tu plan ideal
Si tus curvas de indiferencia tienen la misma forma que las de la figura 3.10, entonces elegirás el punto A, con 34 días libres durante ese periodo de descanso vacacional. Planearás pasar 36 días trabajando en la tienda, lo que te reportará unos ingresos totales de 3240 dólares.
Al igual que Karim, estás sopesando dos opciones: tu RMS, es decir, la relación a la que estás dispuesto a cambiar días de tiempo libre por consumo adicional; y tu RMT, la relación a la que puedes transformar días libres en consumo, que es igual al salario diario. La combinación de consumo y tiempo libre que maximiza la utilidad es el punto de la restricción presupuestaria en el que:
\[\text{RMS} = \text{RMT} = w\]Mientras te planteas esta decisión, recibes un mensaje electrónico de un misterioso benefactor que quiere darte 1000 dólares para que los gastes a tu antojo (lo único que tienes que hacer es darle tus datos bancarios). Al instante reparas en que esto afectará a tu plan. La nueva situación se muestra en la figura 3.11: para cada nivel de tiempo libre, tus ingresos totales (el salario más la donación misteriosa) serán 1000 dólares más elevados que antes. De modo que la restricción presupuestaria se desplaza 1000 dólares hacia arriba: el conjunto factible se ha ampliado. Ahora tu restricción presupuestaria es:
\[c = 90(70 - d) + \text{1000}\]
Figura 3.11 Efecto del ingreso extra en tu elección de tiempo libre y consumo.
El ingreso extra de 1000 dólares no cambia el coste de oportunidad del tiempo: cada hora de tiempo libre sigue reduciendo el consumo 90 dólares (el salario). Tu opción ideal se sitúa ahora en el punto B, con 39 días de tiempo libre. B es el punto de la CI3 en que la RMS es igual a 90 dólares. Con las curvas de indiferencia que se muestran en este gráfico, tu respuesta al ingreso adicional no se limita a gastar 1000 dólares más; aumentas el consumo en menos de 1000 dólares y te tomas más tiempo libre. Un estudiante con preferencias diferentes podría no optar por aumentar su tiempo libre. La figura 3.12 muestra un caso en el que la RMS para cada valor de tiempo libre es igual en ambas curvas de indiferencia. Este estudiante elegirá mantener igual su tiempo libre y consumir 1000 dólares más.
Figura 3.12 Estudiante con preferencias diferentes: la RMS no cambia cuando el consumo aumenta.
- efecto renta
- Efecto que ejerce el aumento de los ingresos en la demanda de un bien por parte de un individuo (en la cantidad que esa persona decide comprar) porque amplía el conjunto factible de compras. Cuando cambia el precio de un bien, se produce un efecto renta porque se amplía o reduce el conjunto factible y también se da un efecto sustitución. Véase también: efecto sustitución.
Las figuras 3.11 y 3.12 muestran ejemplos del efecto renta: el efecto de unos ingresos adicionales en la elección del tiempo libre. Tu efecto renta, ilustrado en la figura 3.11, es positivo: el ingreso extra incrementa el nivel de tiempo libre que eliges. Para el estudiante de la figura 3.12, el efecto renta vale cero. Hemos asumido que para la mayoría de los bienes, el efecto renta será positivo o nulo, pero no negativo: si tus ingresos aumentan, no eliges tener menos cantidad de algo que valoras.
- efecto sustitución
- Cuando cambia el precio de un bien, el efecto sustitución es la variación del consumo del bien que se produce por el cambio del precio relativo del bien. La modificación del precio también tiene un efecto renta, ya que aumenta o disminuye el conjunto factible. Véase también: efecto renta.
La donación de 1000 dólares es un ingreso que no se ha ganado con el trabajo, de modo que solo tiene un efecto renta. Puesto que la RMT no ha variado, no hay un incentivo mayor para trabajar. Por tanto, no hay efecto sustitución: el coste de oportunidad de un día libre sigue siendo de 90 dólares, y no tienes ningún motivo para sustituir consumo por tiempo libre.
De repente caes en la cuenta de que tal vez no sea prudente darle al misterioso desconocido los datos de tu cuenta bancaria (podría ser una estafa). Aunque te pese, recuperas el plan inicial y decides trabajar 34 días durante las vacaciones. Pero de pronto tu suerte mejora. Te enteras de que hay un puesto libre en el supermercado, donde te pagarían 130 dólares al día. Ahora tu restricción presupuestaria es:
\[c = 130(70 - d)\]La figura 3.13a muestra cómo cambia la restricción presupuestaria cuando el salario aumenta de 90 a 130 dólares al día. Por cada día de tiempo libre al que renuncies, tu consumo podrá crecer 130 dólares en lugar de 90, de modo que la restricción presupuestaria se vuelve más pronunciada. Pivota en torno al punto (70, 0) (sea cual sea el salario, tu consumo será cero si no trabajas). El conjunto factible se ha ampliado. Y ahora consigues la mayor utilidad posible en el punto D, con solo 30 días libres, pero con un consumo total de 5200 dólares. Así que envías tu solicitud para optar al puesto del supermercado.
Figura 3.13a Efecto de un aumento de sueldo en tu elección de tiempo libre y consumo.
Compara los resultados de la figura 3.11 y de la 3.13a. Con un aumento de los ingresos no derivados del trabajo, prefieres trabajar menos días, pero el aumento del salario de la figura 3.13a te anima a incrementar tus días de trabajo. ¿Por qué pasa esto? Porque el efecto sustitución del aumento salarial es mayor que el efecto renta:
- El conjunto factible se amplía, lo que incrementa la utilidad potencial: Para cada nivel de tiempo libre, puedes permitirte más consumo. Para un nivel determinado de tiempo libre, tu RMS es mayor en puntos con ingresos más elevados: ahora tienes más disposición a sacrificar consumo a cambio de tiempo libre adicional. Este es el efecto renta que se muestra en la figura 3.11: reaccionas a los ingresos adicionales tomándote más tiempo libre e incrementando el consumo.
- La restricción presupuestaria es más pronunciada: El coste de oportunidad del tiempo libre es más alto ahora. En otras palabras, ha aumentado la relación marginal a la que puedes transformar tiempo en ingresos (la RMT). Y eso significa que tienes un incentivo para trabajar más, es decir, para reducir tu tiempo libre. Este es el efecto sustitución, y en la figura 3.13a supera al efecto renta.
Usando el diagrama podemos medir los efectos renta y sustitución con más precisión. Antes de la subida salarial, estás en el punto A de la CI2. El salario más alto te permite llegar al punto D de la CI4. La figura 3.13b ilustra cómo descomponer el cambio de A a D en dos partes correspondientes a estos dos efectos.
Figura 3.13b Efecto de un incremento salarial en tu elección de tiempo libre y consumo.
Aumento salarial
Ahora puedes alcanzar una curva de indiferencia más alta
Si no cambiara el coste de oportunidad del tiempo libre
El efecto renta
El efecto sustitución
La suma del efecto renta y el efecto sustitución
El efecto renta y el efecto sustitución
Ya podemos describir con más precisión el efecto renta y el efecto sustitución. Un incremento salarial:
- eleva tus ingresos para cada nivel de tiempo libre, lo que supone un aumento del nivel de utilidad que puedes lograr
- incrementa el coste de oportunidad del tiempo libre.
De modo que tiene dos efectos sobre la elección de tiempo libre:
- El efecto renta (porque la restricción presupuestaria se desplaza hacia fuera): el efecto que tendría un ingreso adicional si no hubiera ningún cambio en el coste de oportunidad.
- El efecto sustitución (porque aumenta la pendiente de la restricción presupuestaria, la RMT): el efecto de la variación del coste de oportunidad de acuerdo con el nuevo nivel de utilidad.
La figura 3.13b muestra que con curvas de indiferencia de esta forma típica, el efecto sustitución será siempre negativo: con un coste de oportunidad del tiempo libre más alto eliges un punto de la curva de indiferencia con una RMS más alta, que equivale a un punto con menos tiempo libre (y más consumo). El efecto global de un aumento salarial depende de la suma de los efectos renta y sustitución. En la figura 3.13b, el efecto de sustitución negativo es más grande que el efecto renta positivo, por eso se reduce el tiempo libre.
El hecho de que el efecto sustitución sea lo bastante grande como para compensar el efecto renta dependerá de lo fácil que resulte sustituir tiempo libre por consumo. Es posible que un estudiante tenga bastante flexibilidad a la hora de decidir a qué dedicar su tiempo durante las vacaciones de verano y, por tanto, que también la tenga para cambiar consumo por tiempo libre. Esto se reflejará en la forma de sus curvas de indiferencia. Incluso un cambio modesto en el salario disponible podría tener un efecto considerable en su elección de tiempo libre.
A una persona con muchas responsabilidades domésticas le resultará más difícil renunciar a tiempo libre. El incentivo adicional para trabajar debido a un pequeño cambio salarial puede tener, por tanto, un efecto minúsculo en su decisión: el efecto sustitución será menor, y es más probable que predomine el efecto renta.
Pregunta 3.9 Elige las respuestas que sean correctas
La figura 3.14 plasma el consumo y el tiempo libre diarios factibles para una persona con un salario de 15 dólares la hora.
Figura 3.14 Conjunto factible para una persona con un salario de 15 dólares la hora.
Lee los siguientes enunciados y elige las opciones que sean correctas.
- Por cada hora adicional de tiempo libre, el trabajador dispone de 15 dólares menos para gastar en consumo, de modo que la pendiente de la restricción presupuestaria es igual a −15.
- Una donación desplazaría la restricción presupuestaria hacia fuera de forma paralela, puesto que esta persona consumiría 60 dólares más con cualquier nivel dado de tiempo libre.
- Una disminución del salario haría que la restricción presupuestaria pivotara hacia dentro en torno al punto (24, 0). El conjunto factible sería menor, y el trabajador no sería capaz de alcanzar los niveles de utilidad que le permitía un salario de 15 dólares.
- Con una reducción salarial, el coste de oportunidad del tiempo libre sería más bajo, pero sin ver las curvas de indiferencia es imposible decir cómo cambiarían las horas de trabajo. Podrían aumentar o reducirse dependiendo del tamaño relativo del efecto renta y del efecto sustitución.
Ejercicio 3.7 El problema de Zoë: El aumento de precio de una entrada de cine
En el ejercicio 3.4 averiguaste la mejor combinación de actividades sociales y entretenimiento para Zoë con un presupuesto de 240 libras y un coste de 10 libras por cada entrada de cine y de 16 libras por cada noche de ocio. La siguiente figura muestra su restricción presupuestaria y un conjunto posible de curvas de indiferencia; con estas preferencias, su mejor opción se sitúa en el punto A, que equivale a 13 entradas de cine y (alrededor de) siete noches de ocio.
Supón que descubre que es probable que las entradas de cine en Londres sean más caras que en el resto de Reino Unido: cuestan 15 libras, en lugar de 10. El aumento de precio hace que su restricción presupuestaria pivote en torno al punto (0, 15): aún puede permitirse el punto (0, 15), pero ahora, si gasta todo su presupuesto en entradas de cine, solo podrá consumir 16 entradas.
- ¿Cómo ha cambiado la relación marginal de transformación de Zoë? ¿Ha aumentado o disminuido el coste de oportunidad de una entrada de cine?
- ¿Cómo ha cambiado el poder adquisitivo de Zoë: puede permitirse más o menos noches de ocio y entradas de cine?
- El punto C es ahora el punto que maximiza su utilidad. ¿Qué ha sucedido con su utilidad y con el número de entradas que elige adquirir?
- Para descomponer el efecto del cambio de precio en un efecto renta y un efecto sustitución, copia el diagrama y traza en él una recta tangente a CI2 con la pendiente más plana de la restricción presupuestaria original. Etiqueta el punto de tangencia como B.
- El cambio de A a B es el efecto renta: el aumento de precio reduce el poder adquisitivo de Zoë casi como si tuviera menos ingresos para gastar. ¿Cómo afecta esto al número de entradas que compra Zoë?
- El cambio de B a C es el efecto sustitución: el efecto de la variación del coste de oportunidad de las entradas de cine a partir del nuevo nivel de utilidad. ¿Cómo repercute esto en la cantidad de entradas que compra?
- Explica por qué el efecto sustitución funciona de la misma manera para Zoë y para Karim, mientras que el efecto renta funciona de maneras opuestas?
Ampliación 3.7 Las matemáticas del efecto renta y el efecto sustitución
En el texto principal de esta sección resolvimos el problema de elección restringida del periodo vacacional mediante un diagrama y descompusimos el efecto de un cambio salarial en el efecto renta y el efecto sustitución. Aquí aplicamos el análisis matemático descrito en la ampliación 3.5 para resolver este problema, y luego expresamos en términos matemáticos los efectos de las variaciones salariales o de renta. Por último, explicamos un método numérico para descomponer el cambio salarial en efecto renta y efecto sustitución.
En el problema de la elección restringida de la parte principal de esta sección, decidiste qué cantidad de los 70 días de tus vacaciones de verano dedicarías a trabajar. Elegías la cantidad de consumo, c, y los días de tiempo libre, t, de manera que te reportaran la mayor utilidad posible dentro de tu conjunto factible.
Aquí llamaremos t en lugar de d a los días de tiempo libre para evitar confusiones con el símbolo de derivada.
Tu salario equivale a \(w\), y es posible que también tengas algunos ingresos no derivados del trabajo, \(I\).
El problema de elección restringida de las vacaciones de verano
Eliges \(t\) y \(c\) para maximizar \(u(t, c)\) de acuerdo con la restricción \(c=w(70 - t) + I\).
Representamos tus preferencias empleando la función de utilidad:
\[u(t, c) = t(c+600)\]Incluso si se recurre al análisis matemático es útil trazar un diagrama para no perder de vista la interpretación económica. La figura A3.4 ilustra la descomposición en los efectos renta y sustitución con esta función de utilidad cuando el salario aumenta de 96 a 150 dólares. La función de utilidad es distinta de la que utilizamos para trazar la figura 3.13b, de modo que la forma de las curvas de indiferencia y los números exactos varían un tanto, pero se trata de un problema muy similar.
Figura A3.4 Un incremento salarial de 96 a 150 dólares reduce tu elección de tiempo libre de 38 días (punto A) a 37 días (punto D).
En la figura A3.4, partes de un salario de 96 dólares diarios y cero ingresos no derivados del trabajo. Eliges la combinación de consumo y tiempo libre que maximiza tu utilidad, que se sitúa en el punto A. Si el salario aumenta a 150 dólares, tu elección se desplaza al punto D. En el diagrama, el efecto global del incremento salarial se corresponde con una pequeña reducción del tiempo libre, que se descompone en un efecto renta positivo y un efecto sustitución negativo.
Ahora demostraremos estos resultados en términos matemáticos. Para ello:
- resolvemos el problema de elección restringida para esta función de utilidad
- analizamos cómo afectan a la solución los cambios en \(w\) e \(I\)
- calculamos el efecto sobre el tiempo libre en el caso de que \(I=0\) y el salario aumente de 96 a 150 dólares
- y después descomponemos este cambio en un efecto renta y un efecto sustitución.
Resolución del problema de elección restringida
Recuerda que tu mejor elección se sitúa en un punto de la restricción presupuestaria donde RMS = RMT. La RMS es el cociente de las utilidades marginales:
\[\text{RMS} = \left| \frac{\partial u}{\partial t} \left/ \frac{\partial u}{\partial c} \right.\right| = \frac{c+600}{t}\]y la RMT es el salario, w (el valor absoluto de la pendiente de la frontera factible). De ahí que el punto que eliges \((t^*,\ c^*)\) satisfaga el siguiente par de ecuaciones simultáneas:
\[\begin{align} \frac{c+600}{t}&=w \\ c&=w(70-t)+I \end{align}\]Si usamos la segunda ecuación para sustituir c en la primera ecuación y despejamos t, obtenemos:
\[t^*=35+\frac{I+600}{2w}\]y si utilizamos esta última para sustituirla en la primera ecuación, obtenemos \(c^*\):
\[c^*=wt^*-600=35w+\frac{I-600}{2}\]Para los cálculos que aparecen a continuación conviene señalar que la utilidad que obtienes con tu mejor elección es \(u=(c^*+600)t^*\). Como (a partir de la primera de las ecuaciones simultáneas) \(c^*+600=wt^*\), podemos escribir tu utilidad solamente en términos de \(t^*\):
\[\begin{align} u=w{t^*}^2 \end{align}\]Cómo cambia la solución si varía w o I
Las ecuaciones anteriores muestran que la solución \((t^*,\ c^*)\), es decir, la elección de c y t que da la máxima utilidad, son funciones del salario, w, y de los ingresos no derivados del trabajo, I. Para saber qué pasaría si cambiara w, podemos diferenciar las funciones con respecto a w manteniendo I constante y actuar de manera análoga para los cambios en I.
Cuando aumenta w:
Consideremos en primer lugar el efecto sobre el tiempo libre:
\[\begin{align*} t^*(w, I)&= 35 + \frac{I+600}{2w} \\ \Rightarrow \frac{\partial t^*}{\partial w}&= - \frac{I+600}{2w^2} \end{align*}\]El signo de derivada indica la dirección del efecto sobre \(t^*\) de un incremento pequeño (infinitesimal) de w. En este caso es negativo para todos los valores de w e \(I>0\). Esto permite inferir que, con esta función de utilidad, cualquier incremento salarial reducirá la elección del tiempo libre.
¿Y qué hay del consumo?
\[\begin{align} c^{*}(w, I) &= 35w + \frac{I - 600}{2} \\ \Rightarrow \frac{\partial c^{*}}{\partial w} &= 35 \end{align}\]Esta derivada parcial es positiva para cualquier valor de w y de I, por lo que un incremento salarial siempre aumenta el consumo elegido.
Cuando aumenta I:
Si empleamos el mismo método para I:
\[\begin{align} t^{*}(w, I) &= 35 + \frac{I + 600}{2w} \Rightarrow \frac{\partial t}{\partial I} = \frac{1}{2w} > 0 \\ c^{*}(w, I) &= 35w + \frac{I - 600}{2} \Rightarrow \frac{\partial c}{\partial I} = \frac{1}{2} \end{align}\]Ambas derivadas parciales son positivas para cualquier valor de I y de \(w>0\), por lo que cualquier incremento de los ingresos no derivados del trabajo dará como resultado más tiempo libre y consumo.
¿En qué medida son generales estos resultados?
Las expresiones de las derivadas parciales son específicas de la función de utilidad concreta que hemos empleado. Pero para la mayoría de las funciones de utilidad verosímiles, el incremento de los ingresos supone un aumento tanto del consumo como del tiempo libre, y los incrementos salariales aumentan el consumo. Sin embargo, el efecto del salario sobre el tiempo libre depende del equilibrio entre los efectos renta y sustitución.
¿Cómo cambia el tiempo libre cuando I = 0 y el salario aumenta de 96 a 150 dólares
En un principio \(w=96\) y \(I=0\). Al introducir estos valores en las ecuaciones que nos llevaron a la solución anterior, encontramos que la mejor elección en este caso se corresponde con el punto A de la figura A3.4:
\[t_A=35+600/192 = 38,125 \text{ y } c_A=35\times 96-300=3060\]Cuando el salario aumenta, \(w=150\) e \(I=0\), la mejor opción se sitúa en el punto D:
\[t_D=35+600/300 = 37 \text{ y } c_D=35\times 150-300=4950\]El efecto global del incremento salarial sobre el tiempo libre se corresponde con un descenso del mismo de 38,125 días a 37 días.
Descomposición del efecto global del incremento salarial sobre el tiempo libre
El efecto global del incremento salarial da como resultado una disminución del tiempo libre:
\[t_D-t_A=37-38,125=-1,125\]Procedemos a la descomposición en cuatro pasos:
1. ¿Cuál es la utilidad tras el incremento salarial?
Tras el incremento salarial, te sitúas en el punto D, donde \(t_D= 37\). Tu utilidad es:
\[u_D=150t_D^2=205\,350\]En la figura A3.4, este es el nivel de utilidad de la curva de indiferencia que pasa por D.
2. ¿Qué cambio en los ingresos tendría el mismo efecto sobre la utilidad que el incremento salarial?
Supón que el salario se mantiene en \(w=96\), pero que los ingresos no derivados del trabajo aumentan de 0 a J. Tu mejor opción de tiempo libre sería entonces:
\[t=35+\frac{J+600}{192} \text { con una utilidad } u=96t^2\]Si esto te aporta la misma utilidad que el incremento salarial, te situarás en el punto C del diagrama con:
\[t_C=35+\frac{J+600}{192} \text { con una utilidad } u_C=96t_C^2=u_D=150t_D^2.\]Para hallar el valor de \(J\), resolvemos la ecuación \(96t_C^2=150t_D^2\) empleando las expresiones anteriores para \(t_C\) y \(t_D\). En primer lugar, fíjate en que (como los números se han elegido a propósito) la ecuación se puede simplificar:
\[\begin{gather*} 96t_C^2=150t_D^2 \Rightarrow 16t_C^2=25t_D^2 \Rightarrow (4t_C)^2 = (5t_D)^2 \\ \text {y, por tanto:} \ 4t_C = 5t_D \end{gather*}\](La otra posibilidad algebraica, \(4t_C = -5t_D\), carece de sentido en términos económicos). Si sustituimos \(t_C\) y \(t_D\) y resolvemos para hallar \(J\):
\[\begin{align*} 4 \left (35+\frac{J+600}{192}\right)&= 5\times 37 \\ \Rightarrow J&= 1560 \end{align*}\]De modo que el aumento de los ingresos no derivados del trabajo de 0 a 1560 dólares manteniendo el salario en 96 dólares tendría el mismo efecto sobre la utilidad que el aumento del salario de 96 a 150 dólares.
3. Cómo hallar el efecto renta
El efecto renta del incremento salarial es el cambio que se produciría en el tiempo libre si alcanzaras el mismo nivel de utilidad con un aumento de los ingresos no derivados del trabajo, es decir, si obtuvieras unos ingresos adicionales de \(J\) = 1560 dólares. Esto se corresponde con la variación del tiempo libre entre los puntos A y C:
\[\begin{gather*} t_A=38,125 \text{ y } t_C = 35 + \frac{600+J}{192} =46,25 \\ \Rightarrow \text{ efecto renta }= t_C-t_A = 8,125 \end{gather*}\]Por tanto, si solo consideraras el efecto renta de un incremento salarial de 96 a 150 dólares, te tomarías 8,125 días adicionales de tiempo libre.
4. Cómo hallar el efecto sustitución
Sin embargo, tu elección también se ve afectada por el aumento del coste de oportunidad del tiempo libre, que provoca un efecto sustitución. El tiempo libre cuesta más, por lo que cambias consumo por tiempo libre.
Como el efecto global de la subida salarial es la suma de los efectos renta y sustitución, y conocemos tanto el efecto global como el efecto renta, podemos inferir con facilidad el efecto sustitución:
| Efecto global | \(t_D-t_A\) | = 37 − 38,125 = −1,125 |
| Efecto renta | \(t_C -t_A\) | = 46,25 − 38,125 = +8,125 |
| Efecto sustitución | \(t_D -t_C\) | = −1,125 − 8,125 = −9,25 |
El efecto sustitución es el efecto de la variación del salario sobre la elección de tiempo libre mientras la utilidad se mantiene constante.
Los efectos renta y sustitución sobre el tiempo libre actúan en direcciones opuestas
En nuestro ejemplo, el efecto renta es positivo (un incremento salarial aumenta el tiempo libre), mientras que el efecto sustitución es negativo. Esto es así para la mayoría de las funciones de utilidad creíbles. El hecho de que el efecto global sobre el tiempo libre sea positivo o negativo depende de cuál de los dos efectos domine.
Con anterioridad hemos mostrado que con la función de utilidad \(u(t, c) = t(c+600)\), un incremento salarial siempre reduce el tiempo libre: \(\frac{\partial t^*}{\partial w}=-\frac{I+600}{2w^2}<0\). Pero con otras funciones de utilidad obtenemos resultados diferentes. Por ejemplo, si \(u(t, c) = t(c-200)\):
\[\begin{equation*} \frac{\partial t^*}{\partial w} = -\frac{I -200}{2w^2} \begin{cases} < 0 & \text{si} \ I > 200 \\ = 0 & \text{si} \ I = 200 \\ > 0 & \text{si} \ I < 200 \end{cases} \end{equation*}\]En este caso, el efecto renta positivo domina cuando los ingresos no derivados del trabajo I son bajos; y el efecto sustitución negativo domina cuando I tiene un valor elevado.
Ejercicio A3.5 El efecto renta y el efecto sustitución
Supón que tu amigo tiene la función de utilidad, \(u(t,c) = tc\), y tiene la restricción presupuestaria, \(c = w(24-t) + I\).
- Si el salario es de 16 dólares e \(I\) = 160 dólares, ¿cuántas horas de tiempo libre elegirá tu amigo? ¿Qué nivel de consumo le correspondería?
- Supón que el salario aumenta a 25 dólares mientras los ingresos se mantienen en 160 dólares. ¿Cuántas horas de tiempo libre elegirá tener ahora tu amigo, y cuál sería el nivel de consumo correspondiente?
- Calcula los efectos renta y sustitución (medido en horas de tiempo libre) correspondientes a este incremento salarial.
Más información: Apartados 14.1, 17.1 y 17.3 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau, Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 o 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
