Unidad 3 La mejor acción posible: escasez, bienestar y horas de trabajo

Ampliación 3.3 Curvas de indiferencia, variaciones marginales y la relación marginal de sustitución

En la figura 3.4 (reproducida aquí como figura A3.1) trazamos el gráfico de las preferencias de Karim hallando los puntos que le dan la misma utilidad y uniéndolos con curvas de indiferencia. Podemos comparar distintos puntos de la figura y decir cuál prefiere. Pero eso no aporta una descripción completa de sus preferencias; por ejemplo, si tomáramos dos puntos cualesquiera del área situada entre dos curvas de indiferencia de la figura A3.1, no podríamos decir cuál prefiere.

La función de utilidad

función de utilidad

Representación matemática de las preferencias que alguien tiene por uno o más bienes. Permite asignar un valor numérico a la cantidad de utilidad que la persona obtiene de cada posible combinación de bienes.

Para la descripción completa de las preferencias usamos una función de utilidad, la cual revela cómo dependen de los bienes disponibles las «unidades de utilidad» de una persona. A Karim solo le importan dos bienes: el tiempo libre y el consumo. Si tiene t horas de tiempo libre y c unidades de consumo, su utilidad se puede describir mediante una función:

\[u(t, c)\]

Puesto que tanto el tiempo libre como el consumo son bienes —Karim querría tener la máxima cantidad posible de ambas cosas—, la función de utilidad tiene que tener la propiedad de que el incremento de una de las dos t o c aumentará u. Podemos calcular cómo cambia la utilidad si aumenta t calculando la derivada parcial: es decir, derivando la función de utilidad con respecto a t mientras consideramos c como una constante. De manera análoga, podemos hallar la derivada parcial con respecto a c, para determinar cómo afectan a la utilidad los cambios en c. Las derivadas parciales se escriben así:

\[\frac{\partial u}{\partial t} \text{ y } \frac{\partial u}{\partial c}\]

La utilidad aumenta en t y c si:

\[\frac{\partial u}{\partial t}>0; \frac{\partial u}{\partial c}>0\]

Decimos que la utilidad «depende positivamente» de t y c.

La función de utilidad de Karim tiene dos variables. Igual que una función de una variable se puede representar gráficamente mediante una curva sobre un plano, una función de dos variables se puede representar con una superficie sobre un espacio tridimensional (tal como hicimos en la ampliación 2.4). Pero los diagramas tridimensionales son incómodos de manejar, así que en economía se suele analizar la utilidad recurriendo a la misma técnica que se emplea para representar el espacio tridimensional en el que vivimos, es decir, para trazar mapas topográficos con curvas de nivel. Cada curva de nivel une puntos situados a la misma altura sobre el nivel del mar. De manera similar, las curvas de indiferencia son las curvas de nivel de la superficie de utilidad que unen puntos con la misma utilidad.

La función de utilidad de Karim (que empleamos para trazar la figura A3.1) es:

\[u=(t-6)^2(c-45) \text{ para } t>6, c>45\]

Tiene niveles de subsistencia de consumo y tiempo libre: necesita \(t>6\) y \(c>45\) para conseguir alguna utilidad. Con esta función de utilidad, su utilidad en el punto E (t = 16, c = 446) vale u = 40 100. Como puedes comprobar, el resto de puntos de la tabla al pie de la figura A3.1 tiene el mismo nivel de utilidad (aproximado, no exacto, porque los valores del consumo que figuran en la tabla se han redondeado a números enteros).

En muchos modelos, los valores exactos de u no son relevantes. La finalidad de la función de utilidad es detectar las preferencias, es decir, mostrar qué punto de entre dos posibles tiene un nivel más alto de utilidad. El nivel de utilidad no importa. Obtendríamos exactamente las mismas curvas de indiferencia y preferencias con (por ejemplo) la función \(u = 23(t-6)^2(c-45)\).

Cómo dibujar las curvas de indiferencia de Karim

Si sabes que la función de utilidad que describe las preferencias de una persona es \(u(t, c)\), entonces la ecuación de cada curva de indiferencia tiene esta forma:

\[u(t, c) = u_0\]

donde \(u_0\) es una constante que se corresponde con el nivel de utilidad en esa curva. Con la función de utilidad de Karim, la ecuación de una curva de indiferencia es:

\[(t-6)^2(c-45) = u_0\]

lo que se puede reordenar para obtener:

\[c = \frac{u_0}{(t-6)^2} + 45\]

Para trazar una curva de indiferencia, podemos elegir un valor para \(u_0\) y dibujar el gráfico de esta relación con \(t\) en el eje horizontal y \(c\) en el eje vertical. Para trazar la curva de indiferencia que se muestra en la figura A3.1, empezamos eligiendo \(u_0=40\,100\) para obtener la curva de indiferencia más alta de las que se muestran, y después trazamos dos más bajas usando \(u_0=21\,000\) y \(u_0=8000\).

Cómo calcular la relación marginal de sustitución de Karim

La relación marginal de sustitución (RMS) de Karim —su disposición a cambiar consumo por una hora adicional de tiempo libre— depende de la combinación que tenga de bienes, \((t, c)\). Viene dada por el valor absoluto de la pendiente de la curva de indiferencia \(u(t, c)=u_0\) que pasa por ese punto.

¿Cómo se calcula la pendiente de la curva de indiferencia \(u(t, c)=u_0\)?

Esto es fácil de hallar empleando el análisis matemático con la función de utilidad que hemos usado para Karim. Igual que antes, reescribiremos la ecuación de una curva de indiferencia para expresar \(c\) en términos de \(t\):

\[c = \frac{u_0}{(t-6)^2} + 45\]

Entonces derivamos para obtener la pendiente de la curva:

\[\frac{dc}{dt} = \frac{-2u_0}{(t-6)^3}\]

Esto nos da una expresión de la pendiente en términos de \(t\) y \(u_0\) (el nivel de utilidad en ese punto). Pero a menudo es más útil escribirla en términos de \(t\) y \(c\) sustituyendo \(u_0\) por la ecuación de la curva de indiferencia:

\[\frac{dc}{dt} = \frac{-2(t-6)^2(c-45)}{(t-6)^3} = \frac{-2(c-45)}{(t-6)}\]

Esto da como resultado un número negativo (para \(c>45\) y \(t>6\)); no olvides que las curvas de indiferencia son decrecientes. La RMS es el valor absoluto de la pendiente:

\[\text{RMS} = \frac{2(c-45)}{(t-6)}\]

Esta expresión se puede usar para calcular la RMS de Karim en cualquier combinación \((t, c)\) de tiempo libre y consumo. Por ejemplo, la RMS en el punto A (\(t = 15, c = 540\)) es:

\[\text{RMS en A} = \frac{2 \times (540-45)}{15-6} = 110\]

El valor de la RMS en A no es idéntico al que obtuvimos en la figura 3.5, porque en ella usamos números enteros y definimos la RMS como la cantidad de consumo que Karim estaría dispuesto a cambiar para incrementar una hora entera su tiempo libre. En el punto A, esto se corresponde con la pendiente de la línea recta que va de A a E. Pero aquí hemos empleado el análisis matemático para hallar la RMS en el punto A usando la pendiente exacta de la curva en ese punto, lo que es un poco distinto. En cualquiera de los casos, sin embargo, la RMS se mide en las mismas unidades: la RMS de Karim se mide en euros por hora.

Derivadas y variaciones marginales

variación marginal

Cuando dos variables, \(x\) e \(y\), están relacionadas entre sí, el efecto de una variación marginal es el cambio que se produce en \(y\) en respuesta a un pequeño incremento de \(x\). Si \(y\) es una función continua de x, la variación marginal de \(y\) es lo que \(y\) cambia con respecto a \(x\), es decir, la derivada de la función.

La relación marginal de sustitución mide una relación de cambio, que en economía suele describirse como el efecto de un cambio marginal. Es uno de los muchos ejemplos de cambios marginales que te encontrarás. A menudo creamos modelos de la relación entre dos variables, \(x\) e \(y\), en forma de función \(y=f(x)\), y queremos medir con qué rapidez cambia \(y\) a medida que aumenta \(x\): es decir, la relación de la variación de \(y\) con respecto a \(x\). Esto se describe como la variación marginal de \(y\) en respuesta a una variación marginal en \(x\).

Cuando trazamos un gráfico de la función, el efecto de una variación marginal se mide por la pendiente de la recta o de la curva. Si la función es una curva, la pendiente es distinta para diferentes valores de \(x\). La RMS es la pendiente de la curva de indiferencia.

Utilidad marginal

utilidad marginal

Utilidad adicional que resulta de un aumento de una unidad en la cantidad de un bien.

Otro ejemplo de variación marginal lo ofrece la utilidad marginal, es decir, el ritmo al que cambia la utilidad a medida que crece la cantidad de un bien. Si se emplea el análisis matemático, viene dada por la derivada parcial: para Karim, \(\frac{\partial u}{\partial t}\) es la utilidad marginal del tiempo libre, y \(\frac{\partial u}{\partial c}\) es la utilidad marginal del consumo. Las utilidades marginales están estrechamente relacionadas con la RMS, tal como se explica a continuación.

La relación marginal de sustitución: una fórmula general

Hemos calculado la RMS de Karim reordenando la ecuación específica de sus curvas de indiferencia y derivando para hallar las pendientes. Para una función de utilidad general \(u(t, c)\) podemos hallar la pendiente de la curva de indiferencia usando las utilidades marginales, \(\frac{\partial u}{\partial t}\) y \(\frac{\partial u}{\partial c}\).

Aplicamos una técnica denominada derivada en forma implícita que es útil en muchos modelos económicos. En este caso, el método consiste en considerar cómo tendría que cambiar el consumo si el tiempo libre aumentara en una pequeña cantidad para mantener constante la utilidad.

Partiendo de un punto de la curva de indiferencia \(u(t, c)=u_0\), supongamos que tanto t como c cambian en cantidades pequeñas, \(\Delta t\) y \(\Delta c\). La fórmula de pequeños incrementos para funciones de dos variables da una aproximación de cuánto cambia la utilidad \(\Delta u\) expresada como la suma de un «efecto tiempo libre» y un «efecto consumo»:

\[\Delta u \approx \frac{\partial u}{\partial t} \Delta t + \frac{\partial u}{\partial c} \Delta c\]

Si los cambios pequeños, \(\Delta t\) y \(\Delta c\), se eligen de manera que el punto se desplace sobre la misma curva de indiferencia, entonces la utilidad no varía. En ese caso \(\Delta u=0\), lo que implica que:

\[\frac{\partial u}{\partial t} \Delta t + \frac{\partial u}{\partial c} \Delta c \approx 0\]

Que reordenado da:

\[\frac{\Delta c}{\Delta t} \approx - \frac{\partial u}{\partial t} \bigg/ \frac{\partial u}{\partial c}\]

Los cambios \(\Delta t\) y \(\Delta c\) juntos producen un pequeño desplazamiento a lo largo de una curva de indiferencia. De modo que si ahora tomamos el límite \(\Delta t \rightarrow 0\), el lado de la izquierda tiende a la pendiente de la curva, y la aproximación se convierte en una ecuación.

Por tanto, la pendiente de la curva de indiferencia en cualquier punto \((t, c)\) viene dada por la fórmula:

\[\frac{dc}{dt} = -\frac{\partial u}{\partial t} \bigg/ \frac{\partial u}{\partial c}\]

El segundo miembro de esta ecuación es negativo siempre que ambas utilidades marginales sean positivas (el aumento del tiempo libre o del consumo incrementa la utilidad). Esta fórmula muestra que para cualquier función de utilidad con utilidades marginales positivas, las curvas de indiferencia son decrecientes, como en el diagrama. La relación marginal de sustitución (RMS) es el valor absoluto de la pendiente:

\[\text{RMS} = \frac{\partial u}{\partial t} \bigg/ \frac{\partial u}{\partial c}\]

o, traducido a palabras,

\[\text{relación marginal de sustitución} = \frac{\text{utilidad marginal del tiempo libre}}{\text{utilidad marginal del consumo}}\]

Si aplicamos esta fórmula a la función de utilidad de Karim \(u=(t-6)^2(c-45)\), las utilidades marginales son:

\[\frac{\partial u}{\partial t} = 2(t-6)(c-45) \ \text{y} \ \frac{\partial u}{\partial c} = (t-6)^2\]

Por tanto, la RMS viene dada por:

\[\text{RMS} = \frac{2(t-6)(c-45)}{(t-6)^2} = \frac{2(c-45)}{(t-6)}\]

que es lo mismo que obtuvimos antes de forma directa.

Preferencias convexas

preferencias convexas

Se dice que una persona tiene preferencias convexas cuando sus curvas de indiferencia tienen forma convexa —es decir, si se vuelven más planas a medida que se avanza por la curva hacia la derecha del diagrama—. Este perfil típico aparece porque, cuando se tiene más cantidad de un bien (en relación con otro), se está dispuesto a renunciar a más cantidad de él a cambio de una unidad del otro bien: la relación marginal de sustitución decrece a lo largo de la curva.

Cada curva de indiferencia de la figura A3.1 se vuelve más plana a medida que se avanza por ella hacia la derecha: en otras palabras, la RMS de Karim decrece a lo largo de la curva de indiferencia a medida que aumenta t. Esto se puede inferir de la expresión \(\text{RMS}=\frac{2(c-45)}{(t-6)}\): a medida que descendemos por una curva de indiferencia, crece t en el denominador y decrece c en el numerador, de modo que la RMS se vuelve más pequeña.

Esta propiedad de las preferencias de Karim se denomina relación marginal de sustitución decreciente, y suele darse por sentada cuando se trazan curvas de indiferencia con dos bienes. Cuanto más se tiene de uno de esos bienes, mayor es la disposición a cambiarlo por el otro.

Otra forma de describir esta propiedad es decir que las curvas de indiferencia de Karim son convexas. Se dice que una curva es convexa si al trazar una línea recta entre dos puntos cualesquiera de una curva, la línea cae por encima de la curva. Puesto que las curvas de indiferencia de Karim tienen esta forma, decimos que tiene preferencias convexas.

Esto se puede comprobar algebraicamente para la función de utilidad de Karim \(u=(t-6)^2(c-45)\) escribiendo de nuevo la curva de indiferencia como una función de \(t\):

\[c = \frac{u_0}{(t-6)^2} + 45\]

Derivando con respecto a \(t\) y manteniendo \(u_0\) constante:

\[\frac{dc}{dt} = \frac{-2u_0}{(t-6)^3} \ \text{y, por tanto, RMS =} \ \frac{2u_0}{(t-6)^3}\]

Derivando de nuevo:

\[\frac{d \text{RMS}}{dt} = \frac{-6u_0}{(t-6)^4} < 0\]

y, por tanto, la RMS decrece a medida que t crece a lo largo de la curva.

Una persona cuyas preferencias son convexas siempre prefiere una combinación de bienes antes que una cantidad extrema de uno de los bienes. Si trazamos una línea recta entre dos puntos dentro de la misma curva de indiferencia, entonces cada punto de la línea será una «combinación» (es decir, un promedio ponderado) de los dos puntos finales. Cuando las curvas de indiferencia son convexas, todos los puntos de la línea situados entre ambos extremos dan una utilidad mayor que los puntos del final.

La función de utilidad Cobb–Douglas

Supongamos que Karim tiene una función de utilidad diferente:

\[u (t, c)= t^\alpha c^\beta\]

donde \(\alpha\) y \(\beta\) son constantes positivas. Esta función tiene algunas propiedades matemáticas muy convenientes. Se denomina función Cobb–Douglas por las dos personas que la introdujeron en el ámbito de la economía.

Para trazar curvas de indiferencia de Karim reordenamos de nuevo la expresión anterior para hallar una ecuación para \(c\) en términos de \(t\) con un nivel particular de utilidad \(u_0\):

\[c=\left(\frac{u_0}{t^\alpha}\right)^\frac{1}{\beta}\]

Para hallar las utilidades marginales del tiempo libre y el consumo hay que calcular las derivadas parciales de la función de utilidad. Derivando u con respecto a t, la utilidad marginal del tiempo libre es:

\[\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha t^{\alpha -1} c^\beta\]

A partir de la función de utilidad sabemos que \(t^{\alpha -1} c^\beta = u/t\), lo que da una expresión más simple para la utilidad marginal del tiempo libre:

\[\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\alpha u}{t}\]

De igual manera, la utilidad marginal del consumo es:

\[\frac{\partial u}{\partial c} = \beta t^{\alpha} c^{\beta-1} = \frac{\beta u}{c}\]

Cuando t y c son positivas, también lo es u. Por tanto, el supuesto de que \(\alpha\) también es positiva implica que \(\partial u/\partial t \gt 0\). De forma análoga, \(\beta\gt 0\) implica que \(\partial u/\partial c \gt 0\). En otras palabras, la suposición de que tanto \(\alpha\) como \(\beta\) son positivas asegura que los «bienes son buenos»: la utilidad de Karim aumenta a medida que crece el tiempo libre o el consumo.

Más información: Apartados 14.2 (para la fórmula de pequeños incrementos) y 15.1 (para contornos y diferenciación implícita) de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4^a ed., 2015 o 5^a ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.