3단원 할 수 있는 한 최선을 다하기 : 희소성, 웰빙, 그리고 노동시간

심화학습 3.3 무차별곡선, 한계변화, 그리고 한계대체율

그림 3.4에서(아래 그림 E3.1에서 다시 그렸다) 카림의 선호를 그려 보았는데, 그에게 동일한 효용을 주는 점들을 찾고 그 점들을 연결시키면 무차별곡선이 된다는 것을 알았다. 그림에 있는 서로 다른 무차별곡선 위의 점들을 비교하여 카림이 어느 점을 더 선호하는 지 말할 수 있다. 그러나 이것만으로는 그의 선호를 완벽하게 설명하지 못할 수도 있다. 예를 들어, 만약 그림 E3.1에 있는 두 무차별곡선 사이에 놓인 두 점을 택하는 경우, 그가 이 두 점 중 어떤 점을 더 선호하는지 알지 못할 수도 있다.

효용함수

효용함수

효용함수는 하나 혹은 그 이상의 재화에 대한 한 개인의 선호를 수학적으로 나타낸 것이다. 효용함수는 모든 가능한 재화 조합으로부터 그 개인이 얻게 되는 효용에 수치값을 부여한다.

선호를 완전히 설명하기 위해 효용함수를 사용하기도 한다. 이 함수는 한 사람의 “효용 단위”가 사용가능한 재화에 따라 어떻게 달라지는 지 알려준다. 카림은 자유시간과 소비라는 두 재화에만 관심이 있다. 만약 그가 \(t\)시간만큼의 자유시간과 \(c\)단위의 소비를 선택한다면, 그때 그의 효용은 다음과 같은 함수로 표현될 수 있다.

\[u(t, c)\]

자유시간과 소비는 둘 다 (카림이 가능한 많이 가지고 싶어하는) 재화이므로 효용함수는 \(t\)나 \(c\)가 증가함에 따라 \(u\)가 증가하는 성질을 가져야 한다. 편미분을 사용하면 \(t\)가 증가할 때 효용이 어떻게 변하는지 알아낼 수 있다. 즉, \(c\)를 상수로 간주하고, 효용함수를 \(t\)로 미분하는 것이다. 마찬가지로, \(c\)에 대한 편미분을 통해 \(c\)의 변화가 효용에 어떤 영향을 미치는 지도 알 수 있다. 편미분은 다음과 같이 표현된다.

\[\frac{\partial u}{\partial t} \text{, } \frac{\partial u}{\partial c}\]

만약 다음이 성립한다면, 효용은 \(t\)와 \(c\)의 증가함수이다.

\[\frac{\partial u}{\partial t}>0; \frac{\partial u}{\partial c}>0\]

이 경우 효용이 \(t\)와 \(c\)에 양(+)의 방향으로 의존한다고 말한다.

카림의 효용함수는 두 개의 독립변수를 가진다. 하나의 독립변수를 가진 함수를 평면 위의 곡선으로 표현할 수 있는 것처럼, 두 개의 독립변수를 가진 함수는 심화학습 2.4에서 본 것처럼 3차원 공간에 곡면으로 표현할 수 있다. 하지만 3차원 그래프는 다루기 어렵기 때문에, 경제학자들은 보통 효용을 그림으로 나타낼 때 우리가 사는 3차원 공간을 평면에 나타내기 위해 사용하는 기법과 동일한 기법을 사용하곤 한다. 말하자면, 지형의 등고선 지도처럼 표현한다.

그림 E3.1에 그려진 카림의 효용함수는 다음과 같은 함수 형태를 가정하고 그린 것이다.

\[u=(t-6)^2(c-45) \text{ 단 } t>6, c>45\]

이 함수 형태에는 카림이 살아가는 데 필수적인 소비와 자유시간이 나타나 있다. 즉, 효용을 조금이라도 얻기 위해서는 최소한 \(t>6\) 그리고 \(c>45\)가 반드시 필요하다고 해 보자. 이 효용함수에 따르면, E점 즉 \((t=16, c=446)\)에서의 효용은 \(u=40,100\)이다. 그림 E3.1 아래 표에 있는 다른 점들이 동일한 효용을 갖는지도 확인해 볼 수 있다(표의 소비 값이 정수가 되도록 반올림되었기 때문에 계산된 값이 완전히 일치하지는 않을 수 있다는 것을 감안하라).

대부분의 경제학 모형에서 효용값의 실제 숫자는 중요하지 않다. 효용함수의 목적은 선호체계를 이해하는 것이며, 따라서 두 점 중 어느 것이 더 높은 효용수준을 갖는 지 알려주는 것이다. 효용의 절대적 수준 자체는 중요하지 않다. 예를 들어 효용함수를 약간 다르게 표현하여 \(u = 23(t-6)^2(c-45)\)를 사용하더라도 정확히 동일한 무차별곡선과 선호체계를 얻을 수 있다.

카림의 무차별곡선 그리기

선호체계를 나타내는 효용함수가 \(u(t, c)\)라고 해 보자. 이제 각 무차별곡선의 식은 다음과 같은 형식으로 나타낼 수 있다.

\[u(t, c) = u_0\]

여기서 \(u_0\)는 곡선의 효용수준에 해당하는 상수이다. 카림의 효용함수로부터 무차별곡선의 방정식은 다음과 같다.

\[(t-6)^2(c-45) = u_0\]

이 식을 정리하면,

\[c = \frac{u_0}{(t-6)^2} + 45\]

를 얻는다.

무차별곡선을 그리려면 \(u_0\)의 값을 선택하고 위의 관계식을 가로축에 \(t\), 세로축에 \(c\)를 나타내는 좌표평면에 그래프로 그리면 된다. 그림 E3.1에 있는 무차별곡선들을 그리기 위해 효용값으로 \(u_0=40,100\)을 선택하여 가장 높은 데 위치한 무차별곡선을 그렸고, \(u_0=21,000\)과 \(u_0=8,000\)을 이용해서 이보다 낮은 두 개의 무차별곡선을 그렸다.

카림의 한계대체율 계산하기

카림의 한계대체율(MRS)은 추가로 자유시간 한 시간을 얻기 위해 기꺼이 포기할 의향이 있는 소비의 크기를 의미하며, 그가 가진 재화의 조합 \((t, c)\)마다 다른 값을 갖는다. 그 점을 지나는 무차별곡선 \(u(t, c)=u_0\)의 기울기의 절대값으로 주어진다.

무차별곡선 \(u(t, c)=u_0\)의 기울기를 어떻게 계산할 수 있을까?

카림에게 적용한 특정한 형태의 효용함수는 미적분을 이용하기 쉽다. 앞에서 했던 것처럼 무차별곡선의 방정식을 c에 대한 t의 함수로 나타내면 다음의 식을 얻는다.

\[c = \frac{u_0}{(t-6)^2} + 45\]

그 다음 곡선의 기울기를 찾기 위해 미분한다.

\[\frac{dc}{dt} = \frac{-2u_0}{(t-6)^3}\]

위 식은 기울기를 \(t\)와 \(u_0\)(즉, 기울기를 계산하고자 하는 점에서의 효용수준)의 함수로 표현하고 있다. 그러나 이 식을 \(t\)와 \(c\)의 함수로 나타내면 더 유용하게 활용할 수 있으므로 \(u_0\) 대신 무차별곡선의 식을 대입하면 다음의 식을 얻는다.

\[\frac{dc}{dt} = \frac{-2(t-6)^2(c-45)}{(t-6)^3} = \frac{-2(c-45)}{(t-6)}\]

이 식은 \(c>45\)와 \(t>6\)인 경우 음수가 된다. 무차별곡선이 우하향의 기울기를 갖는다는 것을 기억하자. MRS는 이 기울기의 절대값이다.

\[\text{MRS} = \frac{2(c-45)}{(t-6)}\]

이 식은 자유시간과 소비의 어떤 조합 \((t, c)\)에서든지 카림의 MRS를 계산하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, A점 \((t = 15, c = 540)\)에서의 MRS는

\[\text{A에서의 MRS} = \frac{2 \times (540-45)}{15-6} = 110\]

이다. A점의 MRS값은 그림 3.5에서 얻은 것과 동일하지는 않다. 거기서는 정수로 계산했고, MRS를 정수인 자유시간 한 시간을 증가시키기 위해 교환할 의향이 있는 소비의 양으로 정의했다. 그 때 A점에서 계산한 MRS는 A와 E를 연결하는 직선의 기울기에 해당한다. 그러나 여기에서는 A점의 MRS를 계산하기 위해 미분을 사용했는데, A점에서 곡선의 정확한 기울기에 해당하므로 결과는 조금 다르다. 그러나 어떤 식으로 계산하든지 MRS는 동일한 단위로 측정된다. 카림의 MRS는 시간당 유로로 측정된다.

도함수와 한계변화

한계변화

두 변수 x와 y가 서로 연관되어 있을 때, x의 작은 증가에 의한 y의 변화가 한계변화의 효과이다. 만약 y가 x의 연속함수이면, y의 한계변화는 x에 대한 y의 변화율이다. 즉, 그 함수의 도함수이다.

한계대체율은 변화율을 측정하며, 주로 경제학자들은 이를 한계변화(marginal changes)의 효과라고 설명한다. 한계대체율은 여러분이 앞으로 만나게 될 여러 한계변화의 사례 중 하나이다. 우리는 때때로 두 변수 \(x\)와 \(y\) 사이의 관계를 함수 \(y=f(x)\)로 모형화하고, \(x\)가 증가할 때 \(y\)가 얼마나 빨리 변하는지, 즉 \(x\)에 대한 \(y\)의 변화율을 측정하곤 한다. 이를 \(x\)의 한계변화에 대한 \(y\)의 한계변화라고 말한다.

함수의 그래프를 그릴 때, 한계변화가 가져오는 효과는 직선이나 곡선의 기울기로 측정된다. 만약 함수가 곡선이면 \(x\)의 값이 다를 때 기울기도 다르다. MRS는 무차별곡선의 기울기다.

한계효용

한계효용

재화를 한 단위 증가시켰을 때 그로부터 얻어지는 추가적인 효용.

한계변화의 또 다른 예는 재화의 양이 증가함에 따른 효용의 변화율인 한계효용이다. 이는 편도함수로 주어진다. 카림에게 \(\frac{\partial u}{\partial t}\)는 자유시간의 한계효용이고, \(\frac{\partial u}{\partial c}\)는 소비의 한계효용이다. 한계효용은 아래 설명처럼 MRS와 밀접하게 관련되어 있다.

한계대체율: 일반공식

카림의 MRS를 구하려면 그의 무차별곡선을 나타내는 식을 정리하고 미분하여 기울기를 계산하면 된다. 일반적인 효용함수 \(u(t, c)\)식의 경우 무차별곡선의 기울기는 한계효용에 해당하는 \(\frac{\partial u}{\partial t}\)와 \(\frac{\partial u}{\partial c}\)를 이용하여 구할 수 있다.

경제학의 많은 모형에 유용하게 이용되는 음함수 미분이라는 기법을 적용해 보자. 그 방법은 자유시간이 극소량 증가했을 때 효용을 일정하게 유지하기 위해서 소비가 얼마나 변해야 하는지를 알 수 있게 해준다.

무차별곡선 \(u(t, c)=u_0\) 위의 한 점에서 \(t\) 와 \(c\) 둘 다 아주 적은 양,
\(\Delta t\) 와 \(\Delta c\)만큼 변한다고 가정하자. 두 변수 함수에 작은 변화식를 적용하면 효용의 변화 \(\Delta u\)를 근사할 수 있으며, 이를 “자유시간 효과”와 “소비 효과”의 합으로 표현할 수 있다.

\[\Delta u \approx \frac{\partial u}{\partial t} \Delta t + \frac{\partial u}{\partial c} \Delta c\]

만약 소량의 변화, \(\Delta t\) 와 \(\Delta c\)가 동일한 무차별곡선 위의 점으로 이동할 수 있게 선택된다면, 효용은 변하지 않을 것이다. 이때 \(\Delta u=0\)이므로 다음과 같이 적어 보자.

\[\frac{\partial u}{\partial t} \Delta t + \frac{\partial u}{\partial c} \Delta c \approx 0\]

이를 정리하면 다음과 같다.

\[\frac{\Delta c}{\Delta t} \approx - \frac{\partial u}{\partial t} \bigg/ \frac{\partial u}{\partial c}\]

\(\Delta t\) 와 \(\Delta c\)의 변화는 함께 무차별곡선을 따라 움직이는 극소량의 이동을 만들어낸다. 만약 \(\Delta t \rightarrow 0\)인 극한값을 취하면, 좌변 항은 곡선의 기울기로 수렴하고 이 근사식은 방정식이 된다.

따라서 점 \((t, c)\)를 지나는 무차별곡선의 기울기는 다음 공식으로 나타낼 수 있다.

\[\frac{dc}{dt} = -\frac{\partial u}{\partial t} \bigg/ \frac{\partial u}{\partial c}\]

방정식의 우변항은 한계효용이 양수인 한에서는(즉, 자유시간이나 소비 중 하나라도 증가하면 효용이 증가한다면) 음수가 된다. 이 식은 양의 한계효용을 갖는 어떤 효용함수도 그 무차별곡선은 그림에서처럼 우하향한다는 것을 보여준다. 한계대체율(MRS)은 기울기의 절대값이다.

\[\text{MRS} = \frac{\partial u}{\partial t} \bigg/ \frac{\partial c}{\partial c}\]

다시 말하면,

\[\text{MRS} = \frac{\text{자유시간의 한계효용}}{\text{소비의 한계효용}}\]

이 식을 카림의 효용함수 \(u=(t-6)^2(c-45)\)에 적용하면, 한계효용은

\[\frac{\partial u}{\partial t} = 2(t-6)(c-45) \ \text{and} \ \frac{\partial u}{\partial c} = (t-6)^2\]

이고, 따라서 MRS는

\[\text{MRS} = \frac{2(t-6)(c-45)}{(t-6)^2} = \frac{2(c-45)}{(t-6)}\]

이다. 이 식은 바로 위에서 구한 식과 같다.

볼록선호

볼록선호

볼록한 형태의 무차별곡선, 즉 곡선을 따라 오른쪽으로 갈 수록 평평해지는 무차별곡선을 가진 사람을 볼록선호를 가지고 있다고 한다. 이러한 전형적인 형태가 나타나는 이유는 한 재화를 (다른 재화에 비해) 더 많이 가질수록, 그 재화의 일부를 기꺼이 포기하고 다른 재화 한 단위와 교환하려고 하기 때문이다. 따라서 무차별곡선을 따라 한계대체율이 감소한다.

그림 E3.1에 있는 각 무차별곡선은 그 무차별곡선을 따라 오른쪽으로 갈수록 완만해진다. 카림의 MRS는 같은 무차별곡선을 따라 \(t\)가 증가할 수록 작아진다. 이는 MRS를 나타내는 식, \(\text{MRS}=\frac{2(c-45)}{(t-6)}\)으로부터도 유추할 수 있다. 같은 무차별곡선을 따라 오른쪽으로 내려가면 분모에 있는 \(t\)는 증가하고, 분자에 있는 \(c\)는 감소하므로, MRS는 작아진다.

카림의 선호가 갖는 이러한 성질은 한계대체율 체감이라는 이름으로 알려져 있다. 두 재화로 이루어진 무차별곡선을 그릴 때 일반적으로 가정하는 성질이다. 한 재화를 더 많이 가질수록, 다른 재화를 얻기 위해 그 재화를 내어 줄 의향이 더 커진다는 뜻이다.

이 성질을 카림의 무차별곡선이 볼록하다는 말로 표현하기도 한다. 곡선이 볼록하다는 것은, 그 곡선 위의 임의의 두 점을 연결하는 직선이 그 곡선보다 항상 위에 있다는 것이다. 카림의 무차별곡선이 이러한 모양을 갖기 때문에 우리는 그가 볼록선호를(convex preferences) 가지고 있다고 말한다.

카림의 효용함수 \(u=(t-6)^2(c-45)\)가 볼록함수인지는 계산을 통해 확인할 수 있다. 다시 무차별곡선을 \(t\)의 함수로 나타내 보자.

\[c = \frac{u_0}{(t-6)^2} + 45\]

\(u_0\)를 상수로 두고 \(t\)에 관해 미분하면,

\(\frac{dc}{dt} = \frac{-2u_0}{(t-6)^3} \ \text{이고, 따라서 MRS}= \ \frac{2u_0}{(t-6)^3}\) 이다. 이를 다시 한번 \(t\)로 미분하면,

\[\frac{d \text{MRS}}{dt} = \frac{-6u_0}{(t-6)^4} < 0\]

이므로 \(t\)가 곡선을 따라 증가할수록 MRS는 감소한다.

선호가 볼록한 사람은 언제나 한 재화만 많이 가지는 것보다 여러 재화를 골고루 가지는 것을 선호한다. 동일한 무차별곡선 위의 두 점을 직선으로 연결하면, 직선 위의 점들은 두 양 끝점을 적절히 “섞은 것”(즉 가중 평균)이 된다. 무차별곡선이 볼록하면, 직선의 두 끝 점 사이에 위치한 모든 점이 이 두 점보다 높은 효용을 가져다 준다.

콥-더글라스 효용함수

카림이 다음과 같은 효용함수를 가진다고 가정해 보자.

\[u (t, c)= t^\alpha c^\beta\]

여기서 \(\alpha\)와 \(\beta\)는 양수이다. 이 함수는 매우 편리한 수학적 성질을 가지고 있다. 이 함수는 경제학에 이 함수를 도입한 두 학자의 이름을 따라 콥-더글라스 함수(Cobb-Douglas utility function)로 불린다.

카림의 무차별곡선을 그리기 위해 위의 식을 다시 정리하여 특정 효용값인 \(u_0\) 에서 \(c\)를 \(t\)에 관한 함수로 표현하면 다음을 얻는다.

\[c=\left(\frac{u_0}{t^\alpha}\right)^\frac{1}{\beta}\]

자유시간과 소비의 한계효용을 찾으려면 효용함수의 편미분을 계산해야 한다. \(u\)를 \(t\)로 미분하면, 자유시간의 한계효용은 다음과 같다.

\[\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha t^{\alpha -1} c^\beta\]

효용함수를 \(t^{\alpha -1} c^\beta = u/t\)로 나타낼 수 있으므로, 이를 이용하면 자유시간의 한계효용을 아래와 같이 좀 더 단순하게 나타낼 수 있다.

\[\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\alpha u}{t}\]

비슷한 방식으로 소비의 한계효용도 계산하면 다음과 같다.

\[\frac{\partial u}{\partial c} = \beta t^{\alpha} c^{\beta-1} = \frac{\beta u}{c}\]

\(t\)와 \(c\)가 양수이면, \(u\)도 양수이다. \(\alpha\)가 양수이므로 \(\partial u/\partial t \gt 0\)이다. 마찬가지로 \(\beta\gt 0\)이므로 \(\partial u/\partial c \gt 0\)이다. 다시 말하면, \(\alpha\)와 \(\beta\)가 둘 다 양수라는 가정은 “재화는 좋은 것”이라는 의미를 갖는다. 자유시간이나 소비가 증가하면 카림의 효용도 커진다.

더 읽어보기: 작은 변화에 대한 미분 공식과 무차별지도와 음함수 미분에 대해서는 다음 책의 14.2절과 15.1절을 보라. Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.