Unidad 3 La mejor acción posible: escasez, bienestar y horas de trabajo

Ampliación 3.5 Resolución del problema de elección restringida entre consumo y tiempo libre

Karim desea la mayor cantidad posible de consumo sacrificando la menor cantidad posible de tiempo libre. Esto se muestra de forma gráfica en la figura 3.7a (reproducida aquí como figura A3.3): él maximiza su utilidad eligiendo el punto E, donde una curva de indiferencia es tangente a la frontera factible. En el punto E, su relación marginal de sustitución (RMS) es igual a su relación marginal de transformación (RMT). En esta ampliación mostramos cómo formular en términos matemáticos la decisión de Karim como un problema de elección restringida y cómo resolverlo para hallar la mejor combinación de consumo y tiempo libre.

La función de utilidad de Karim (la que se muestra en la figura A3.3) es

\[u(t,c)=(t-6)^2(c-45) \text{ para } t>6, c>45\]

y la ecuación de la frontera factible (su restricción presupuestaria) es \(c= w(24-t)\), donde w es el salario (igual a 30 dólares en la figura A3.3).

En los problemas de elección restringida, la función que queremos maximizar (o, en algunos casos, minimizar) se denomina «función objetivo». El objetivo de Karim es maximizar su utilidad.

En ocasiones, en este tipo de problema, la restricción se expresa como una desigualdad: \(c \leq w(24\ –\ t)\), lo que se puede interpretar como que su elección tiene que caer dentro del conjunto factible. Pero como su utilidad depende positivamente de t y c, sabemos que querrá elegir un punto situado en la frontera. De modo que podemos escribir la restricción como una ecuación, lo que facilita la resolución matemática del problema.

Dos métodos para resolver el problema de elección restringida de Karim

Una forma de resolver el problema de Karim consiste en utilizar la restricción para sustituir c en términos de t en la función de utilidad, de modo que la utilidad se exprese como una función de una sola variable t:

\[u = (t-6)^2(w(24-t)-45)\]

Entonces podemos maximizar esta expresión con respecto a t igualando su derivada a cero. Y aplicamos la regla del producto para hallar la derivada:

\[\begin{align} \frac{du}{dt} = 2(t - 6)(w (24 - t) - 45) - w (t - 6)^{2} &= 0 \\ \Rightarrow 2(w(24 - t) - 45) &= w(t - 6) \end{align}\]

Tras reordenar la ecuación para resolver t, se obtiene:

\[t=18-\frac{30}{w}\]

En caso de que \(w=30\), el resultado es \(t=17\), y esto se puede volver a sustituir en la restricción presupuestaria para determinar el nivel correspondiente de consumo: \(c = 30(24-17) = 210\).

Para comprobar que hemos hallado un punto máximo (y no un punto mínimo ni un punto de inflexión) conviene tener en cuenta el signo de la derivada segunda \(d^2u/dt^2\) en este punto. Al derivar la expresión de \(du/dt\) que consta más arriba, se comprueba que \(d^2u/dt^2=90(23-2t)\), que adopta un valor negativo para \(t=17\), así que, en efecto, es un máximo.

En resumen, para maximizar la utilidad estando sujeto a esta restricción presupuestaria, Karim debería optar por tomarse 17 horas de tiempo libre y trabajar 7 horas, lo que le proporciona un consumo de 210 dólares. Esto coincide con el punto E de la figura A3.3.

Un método alternativo consiste en aplicar lo que sabemos sobre la solución a partir de la representación gráfica de curvas de indiferencia y la restricción presupuestaria. Es decir, la mejor combinación de c y t para Karim está en el punto donde la restricción presupuestaria es tangente a una curva de indiferencia. De este modo satisface dos condiciones:

• Cae dentro de la restricción presupuestaria.
• Es un punto donde \(\text{RMS}=\text{RMT}\).

A partir de la ampliación 3.3 sabemos que la RMS es igual al cociente de las utilidades marginales, \(\frac{\partial u}{\partial t}/\frac{\partial u}{\partial c}\):

\[\frac{\partial u}{\partial t} = 2(t-6)(c-45) \ \text{y} \ \frac{\partial u}{\partial c} = (t-6)^2 \Rightarrow \text{RMS} = \frac{2(c-45)}{(t-6)}\]

y a partir de la ampliación 3.4 sabemos que la RMT es w. Por tanto, las dos condiciones que satisface la mejor combinación de Karim son:

\[c = w(24-t)\] \[\frac{2(c-45)}{(t-6)} = w\]

Esto nos brinda un par de ecuaciones simultáneas para t y c. La forma más fácil de resolverlas es usar la primera ecuación para sustituir c en la segunda. Puedes comprobar que esto nos da la misma ecuación para t que la que obtuvimos al aplicar el primer método.

La condición de primer orden

Encontrarás muchos otros ejemplos de problemas de elección restringida en modelos económicos. Por lo común, la solución se encuentra en un punto de la restricción que cumple lo que se denomina la «condición de primer orden».

En el problema de Karim, la solución está en la restricción presupuestaria, y cumple la condición de primer orden, RMS = RMT. Se denomina «de primer orden» porque implica las primeras derivadas. Aplicando el método de sustitución obtuvimos la condición de primer orden igualando a cero la primera derivada de la función objetivo.

Fíjate en que cuando usamos el método de sustitución, también comprobamos la «condición de segundo orden»: comprobamos que habíamos encontrado un punto máximo empleando la derivada segunda de la función objetivo. No comprobamos la condición de segundo orden para el otro método porque estábamos utilizando nuestro análisis económico del problema (con la ayuda de un diagrama) para deducir que el punto de tangencia tiene que ser el máximo.

Más información: Apartados 8.1 a 8.3 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 o 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.