Unidad 3 La mejor acción posible: escasez, bienestar y horas de trabajo
3.4 El conjunto factible
- coste de oportunidad
- Lo que se pierde al elegir una acción y no la siguiente mejor alternativa, es decir, a lo que renunciamos por obtener algo. Ejemplo: «He decidido irme de vacaciones en lugar de trabajar durante el verano. El trabajo es aburrido y pagan poco, por lo que el coste de oportunidad de irme de vacaciones ha sido bajo».
Por las preferencias de Karim, sabemos que le gustaría que tanto su gasto en consumo como su tiempo libre fueran lo más altos posible. Pero no todas las combinaciones de consumo y tiempo libre están disponibles para él: su elección está limitada a lo que podría conseguir trabajando a cambio de un salario de 30 euros. Así que se enfrenta a un dilema: cuanto más tiempo libre se tome, menos podrá consumir. En otras palabras, el tiempo libre tiene un coste de oportunidad: para conseguir más tiempo libre, Karim debe renunciar a la oportunidad de un mayor consumo.
Pieza clave
Para una introducción al coste de oportunidad, consulta la sección 2.2.
La cantidad total de consumo que puede tener depende del número de horas de tiempo libre que se tome. Recuerda que si trabaja h horas con un salario w, sus ingresos ascenderán a \(y = wh\). De modo que si tiene t horas de tiempo libre, trabaja \((24 − t)\) horas al día, y entonces su nivel máximo de consumo, c, viene dado por:
\[c = w(24 - t)\]- restricción presupuestaria
- Ecuación que representa todas las combinaciones de bienes y servicios que podrían adquirirse y que agotarían con exactitud los recursos presupuestarios disponibles.
Llamaremos a esto restricción presupuestaria, porque revela lo que puede permitirse comprar.
La figura 3.6 muestra los dos bienes que importan a Karim: las horas de tiempo libre (\(t\)) en el eje horizontal, y el consumo (\(c\)) en el eje vertical. En la tabla de la figura 3.6 hemos calculado el tiempo libre que se corresponde con una cantidad concreta de horas diarias de trabajo que van desde 0 hasta 16 y el consumo máximo cuando el salario asciende a \(w\) = 30 €.
| Horas de trabajo | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
| Tiempo libre (h) | 24 | 22 | 20 | 18 | 16 | 14 | 12 | 10 | 8 |
| Consumo (€) | 0 | 60 | 120 | 180 | 240 | 300 | 360 | 420 | 480 |
Figura 3.6 La restricción presupuestaria y el conjunto factible.
Cuando introducimos en el gráfico los puntos que se muestran en la tabla, obtenemos una línea recta decreciente: este es el gráfico de la restricción presupuestaria. La ecuación de la restricción presupuestaria es:
\[c = 30(24 - t)\]La restricción presupuestaria de la figura 3.6 es una imagen simétrica de la gráfica de la relación entre los ingresos y las horas de trabajo que consta en la figura 3.3. Es una línea recta con una pendiente constante que se corresponde con el salario, pero es decreciente, lo que significa que la pendiente es negativa. En cualquier punto de la línea, si el tiempo libre aumenta una hora, el consumo máximo posible disminuye 30 euros —de modo que la pendiente vale (–30)—.
\[\begin{align} \text{pendiente} &= \frac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}} \\ &= \frac{-30}{1} \\ &= -30 \end{align}\]La figura 3.6 muestra qué combinaciones de consumo y tiempo libre son opciones factibles para Karim y cuáles no. Ninguno de los puntos situados por encima de la restricción presupuestaria es factible. Por ejemplo, el punto C representa 12 horas de tiempo libre y un consumo de 450 euros. Esto no es posible porque, si Karim tiene 12 horas de tiempo libre, sus ingresos solo ascienden a 360 euros.
Todos los puntos que caen justo en la restricción presupuestaria o por debajo de ella, en la zona sombreada, son factibles. Por ejemplo, Karim podría elegir el punto D y tener 18 horas de tiempo libre y 70 euros de consumo. Por lo que sabemos sobre sus preferencias, no es esperable que lo haga, porque entonces consumiría menos de lo que ganaría —y recuerda que lo único que le importa es el consumo y el tiempo libre, así que no destinará sus ingresos a ningún otro uso—. Si elige una combinación por debajo de la restricción presupuestaria, Karim renunciará a algo que tiene a su disposición sin ningún coste. Podría obtener más consumo sin sacrificar ningún tiempo libre o tener más tiempo libre sin reducir el consumo. Pero, en cualquier caso, el punto D sigue siendo una opción factible para él.
- conjunto factible
- Todas las combinaciones de bienes o resultados que se pueden elegir dependiendo de unas determinadas restricciones económicas, físicas o de otro tipo. Véase también: frontera factible.
- frontera factible
- Curva o línea de puntos que define la cantidad máxima factible de un bien para una cantidad dada de otro. Véase también: conjunto factible.
- relación marginal de transformación (RMT)
- Cantidad de un bien a la que se debe renunciar para adquirir una unidad adicional de otro bien. En cualquier momento, corresponde al valor absoluto de la pendiente de la frontera factible. Véase también: relación marginal de sustitución.
La zona sombreada representa el conjunto factible de Karim. Un conjunto no es más que una colección de cosas y, en este caso, el conjunto contiene todas las combinaciones factibles de tiempo libre y consumo. En principio, Karim podría elegir cualquier punto de ese conjunto si quisiera. La restricción presupuestaria es el límite superior del conjunto factible, también denominado frontera factible.
La pendiente de la frontera factible —correspondiente al salario— determina la magnitud de la disyuntiva a la que se enfrenta Karim: a cuánto consumo debe renunciar a cambio de una hora adicional de tiempo libre. El coste de oportunidad de una hora de tiempo libre es igual al salario: se corresponde con los 30 euros de consumo que podría haber conseguido si hubiera trabajado en lugar de tomarse esa hora libre.
Otra forma de describir las concesiones que debe hacer Karim es decir que la frontera factible muestra la relación marginal de transformación (RMT): ratio a la que Karim puede transformar tiempo libre en consumo. Cuando el salario de Karim vale 30 euros la hora, la ratio a la que puede transformar tiempo libre en consumo es de 30 euros por hora. Si el salario aumentara a 35 euros, la restricción presupuestaria se volvería más inclinada, con una pendiente de –35, y la relación marginal de transformación sería de 35 euros por hora.
Ahora hemos identificado dos relaciones:
- La relación marginal de sustitución (RMS): Tal como se explicó en el apartado anterior, la RMS mide la ratio a la que está dispuesto a llegar Karim entre consumo y tiempo libre.
- La relación marginal de transformación (RMT): En cambio, esta mide la ratio entre consumo y tiempo libro que la frontera factible impone a Karim.
En el próximo apartado veremos que la elección que hace Karim entre su consumo y su tiempo libre establece un equilibrio entre estas dos relaciones.
Pregunta 3.6 Elige las respuestas que sean correctas
Copia la figura 3.6, donde se muestra la restricción presupuestaria de Karim con un sueldo de 30 euros. Añade otra línea para ilustrar su restricción presupuestaria si el sueldo aumenta a 40 euros. Supón que elige 16 horas de tiempo libre y un consumo de 240 euros. Etiqueta ese punto como E en el diagrama.
Lee los siguientes enunciados y elige las opciones que sean correctas.
- Cuando el salario aumenta, el punto E sigue siendo factible porque sigue estando dentro de la frontera factible. Karim ganará 320 euros al día, de modo que puede permitirse un gasto de 240 euros en consumo.
- Con 12 horas de tiempo libre, no es posible un consumo de 400 euros si el salario es de 30 euros.
- La restricción presupuestaria pivota en torno a (24, 0) hacia arriba. En principio, 24 horas de tiempo libre y ningún consumo siempre entran dentro de lo factible.
- Con la subida de sueldo son factibles todos los puntos del conjunto factible original así como los puntos situados entre las dos restricciones presupuestarias.
Ejercicio 3.3 Un problema presupuestario de estudiantes
Zoë, una estudiante que está planificando el presupuesto de su primer cuatrimestre en una universidad de Londres, ha averiguado a través de un sondeo en una página web de estudiantes que, en 2021, el alumnado de Reino Unido destinó un promedio de 88 libras al mes a socializar y comer fuera: 47 libras a «salir» y 41 libras a «comidas para llevar y comidas fuera». Tomando estos números como referencia, decide reservar 240 libras para actividades sociales y lúdicas durante el cuatrimestre. Según sus cálculos, cada noche que salga para relacionarse con amigos gastará un promedio de 16 libras, pero también le gustaría ir al cine con regularidad, y cada entrada cuesta 10 libras.
- Si Zoë destinara todo el presupuesto a salidas nocturnas, ¿cuántas noches podría salir?
- Si gastara todo su presupuesto en entradas de cine, ¿cuántas podría comprar?
- Completa la tabla inferior para ilustrar cuántas noches podría salir Zoë si decidiera adquirir la cantidad de entradas de cine que se muestran. (No todas las respuestas son números enteros).
- Usa la información de la tabla para plasmar la restricción presupuestaria de Zoë en un gráfico con las entradas de cine en el eje horizontal y las salidas nocturnas en el eje vertical. ¿Cuál es la relación marginal de transformación?
| Entradas de cine, c | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
| Noches de salida, n |
Ampliación 3.4 La relación marginal de transformación
Esta ampliación recurre al análisis matemático para medir la RMT como la pendiente de la frontera factible. El ejemplo del conjunto factible y de la RMT que se da en el texto principal de esta sección es muy simple; aquí explicamos cómo generalizar estos conceptos al caso de un trabajador cuya frontera factible no es una línea recta. Un caso similar se plantea en la unidad 5.
Hemos definido la relación marginal de transformación de Karim como la ratio a la que puede transformar tiempo libre en consumo. En la gráfica se corresponde con el valor absoluto de la pendiente de la frontera factible.
La frontera factible de Karim es su restricción presupuestaria; todas las combinaciones de tiempo libre t y consumo c que se sitúan justo en la frontera o por debajo de ella son opciones factibles para él. En este caso es fácil calcular su RMT porque su restricción presupuestaria es una línea recta, tiene una pendiente constante:
\[c= w(24-t) \Rightarrow \frac{dc}{dt}=-w\]De modo que la RMT de Karim es el salario, w. Es constante: es decir, es igual para todos los puntos de la frontera factible. Sin embargo, los conjuntos factibles aparecen en muchos modelos económicos, y la frontera factible no siempre es una línea recta. Presentamos un ejemplo aquí y hay otro en la unidad 5. Igual que en la ampliación 3.3, aplicaremos el análisis matemático a las cantidades marginales para medir la RMT.
Consideremos el caso de Marina, que se gana la vida vendiendo en revistas los relatos cortos que escribe. Al igual que Karim, valora el consumo c y el tiempo libret, y su consumo depende de las horas que trabaja. Sin embargo, no recibe un sueldo fijo por cada hora de trabajo. Su productividad y, por tanto, sus ingresos por hora, son mayores durante la primera o las dos primeras horas que dedica a trabajar cada mañana, y desciende cuantas más horas pasa trabajando cada día.
Supón que si trabaja h horas, sus ingresos diarios vienen dados por una función f(h) que aumenta de 0 a 400 dólares a medida que h aumenta de 0 a 16 horas. Podríamos describirlo como su función de producción: muestra cuántos ingresos genera dependiendo de las horas que trabaja. Las propiedades de f son:
\[f(0)=0;\ f(16)=400;\ f'(h)>0; \text{ y } f''(h)<0\]El hecho de que la derivada segunda \(f''(h)\) sea negativa capta la propiedad de que se vuelve menos productiva a medida que aumentan las horas: los ingresos siguen creciendo pero a un ritmo menor.
El consumo de Marina es \(c=f(h)\). Esto se puede expresar en términos de tiempo libre en lugar de horas de trabajo sustituyendo \(h=24-t\). Y con ello se obtiene la ecuación de la frontera factible, es decir, el consumo máximo c que puede tener si se toma t horas de tiempo libre:
\[c=f(24-t)\]La figura A3.2 muestra la forma de la frontera factible cuando f tiene estas propiedades.
La verdadera función que usamos para plasmar esto es \(f(h)=400(1-(1-h/16)^{a})^{1/a}\), donde el parámetro \(a\) es igual a 1,6.
La diferencia principal con la frontera factible de Karim de la figura 3.6 es que la pendiente cambia a medida que nos movemos por ella. En el punto B, donde Marina tiene 22 horas de tiempo libre y trabaja 2 horas al día, la tangente a la curva es empinada, pero se vuelve más plana a medida que aumentan las horas que trabaja cada día.
Figura A3.2 Frontera factible de Marina.
Para calcular la RMT basta con derivar la ecuación de la frontera factible con respecto a \(t\):
\[c=f(24-t) \Rightarrow \frac{dc}{dt} = f'(24-t) \frac{d}{dt}(24-t)\]usando la regla de la función compuesta (también llamada regla de la cadena). Por tanto:
\[\begin{align} \frac{dc}{dt} &= -f^{\prime}(24 - t) \\ \text{RMT} &= f^{\prime}(24 - t) \end{align}\]A medida que aumenta el tiempo libre t, aumenta también la relación marginal de transformación:
\[\frac{d\text{RMT}}{dt} = \frac{d}{dt}f^{\prime}(24-t) = -f^{\prime\prime}(24-t) > 0\](usando de nuevo la regla de la cadena).
Recuerda que la RMT de Karim —el ritmo al que puede transformar tiempo libre en consumo— es su salario. Podríamos interpretar de un modo similar la RMT de Marina: es el ritmo al que puede transformar tiempo libre en ingresos, por lo que se corresponde con su salario, solo que este «salario» decrece de minuto en minuto a medida que aumenta el tiempo de trabajo. Con la función que usamos para trazar la figura A3.2 su salario efectivo por hora (RMT) en el punto B, donde \(t=2\), es 42,81 dólares; pero en A, donde trabaja muchas más horas y solo tiene 16 horas de tiempo libre, cae a 19,16 dólares por hora.
Ejercicio A3.3 Calcular e interpretar la relación marginal de transformación
Supón que la frontera factible de Marina tiene la ecuación \(f(t) = 100\ln(25\ –\ t)\).
- Traza su frontera factible con el consumo diario ($) en el eje vertical y las horas diarias de tiempo libre en el eje horizontal para t = 8,…, 24.
- Aplica el análisis matemático para derivar una expresión de la RMT de Marina. Usa tu gráfico y el análisis matemático para explicar cómo cambia la RMT con las horas de tiempo libre que tiene Marina.
- Calcula la RMT de Marina para 16 y 22 horas de tiempo libre y compárala con las RMT de la frontera factible de la figura A3.2. Comenta algunos factores que podrían influir en la RMT de una persona.
Más información: Apartado 7.2 (para la regla de la función compuesta) de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 o 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
