3단원 할 수 있는 한 최선을 다하기 : 희소성, 웰빙, 그리고 노동시간
3.5 의사결정과 희소성
지금까지 서로 다른 소비와 자유시간의 조합에 대한 카림의 선호를 살펴 보았고, 그리고는 어떤 조합이 그에게 실행가능한지를 알아보았다. 노동시간에 관한 의사결정을 모형화하는 세 번째 단계는 의사결정자의 선호와 실행가능집합을 함께 결합하여 어떤 소비와 자유시간의 조합을 선택할 것인지를 결정하는 것이다. 그림 3.7a는 카림의 실행가능경계 (그림 3.6)와 무차별곡선(그림 3.4)을 결합한 것이다. 무차별곡선은 카림이 선호하는 것을 나타내며, 그 기울기는 카림이 기꺼이 받아들이는 주관적 상충관계를 보여준다는 점을 기억하자. 실행가능경계는 그의 선택에 가해지는 제약이며, 그 기울기는 그의 결정이 제약받는 객관적 상충관계를 보여준다.
그림 3.7a에는 네 개의 서로 다른 무차별곡선(IC1부터 IC4)이 그려져 있다. IC4는 원점에서 가장 멀리 떨어져 있기 때문에 가장 높은 수준의 효용을 나타낸다. 하지만 IC4 위에 있는 모든 소비와 자유시간의 조합은 실행가능집합의 바깥에 놓여있기 때문에 실행가능하지 않다. 카림이 실행가능한 집합에 속하면서도 IC1 위에 있는 조합을 선택하려 한다고 가정해 보자. 그림 3.7a의 각 단계들은 이 조합에서 출발해서 그가 실행가능하면서도 자신의 효용을 극대화하는 선택에 도달할 때까지 더 높은 무차별곡선 위의 점으로 이동하면서 그의 효용을 증가시킬 수 있음을 보여준다.
그림 3.7a 카림은 몇 시간 일하기로 결정할까?
카림은 어느 점을 선택할까?
실행가능한 조합들
더 나은 선택들
더 나은 선택들
최선의 실행가능한 상충관계
최선의 실행가능한 상충관계
MRS = MRT
카림은 그의 무차별곡선이 실행가능경계에 접하는 E점에서 자신의 효용을 극대화할 수 있다(무차별곡선과 실행가능경계는 여기서 서로 교차하지 않는다). 모형은 카림이 다음을 수행할 것으로 예측한다.
- 매일 7시간을 일하고, 17시간을 기타 활동에 사용하기로 선택한다.
- 소비에 €210을 지출한다.
그림 3.7a에서 보면, E에서 카림은 달성가능한 가장 높은 무차별곡선에 도달한다. 실행가능경계 위에 있는 E에서 무차별곡선과 실행가능경계는 동일한 기울기를 갖는다. 그 기울기는 카림이 직면한 두 가지 상충관계를 나타낸다.
- 무차별곡선의 기울기는 MRS를 나타낸다: 이 기울기는 그가 자유시간과 소비사이에서 기꺼이 받아들이는 주관적 상충관계다.
- 실행가능경계의 기울기는 MRT를 나타낸다: 실행가능경계를 넘어서는 것은 불가능하기 때문에 이 기울기는 그가 자유시간과 소비 사이에서 직면하는 제약을 반영하는 객관적 상충관계다.
카림은 두 가지 상충관계가 정확히 균형을 이루는 곳(E점)에서 그가 얻을 수 있는 최고의 효용을 달성한다. 그에게 최선인 소비와 자유시간의 조합은 한계변환율이 한계대체율과 같아지는 지점에 위치한다.
그림 3.7b는 그림 3.7a에 표시된 점들의 MRS(무차별곡선의 기울기)와 MRT(실행가능경계의 기울기)를 보여주고 있다. B와 D에서는 카림이 한 시간의 자유시간을 위해 기꺼이 교환하고자 하는 소비금액(MRS)이 그가 교환해야만 하는 금액(MRT)보다 크기 때문에 자유시간을 늘리는 쪽을 선호한다. A에서는 MRT가 MRS보다 크기때문에 그는 자유시간을 줄이는 것을 선호한다. 그리고 예상대로 E에서는 MRS와 MRT가 같다.
| B | D | E | A | |
|---|---|---|---|---|
| 자유시간 | 9.5 | 12 | 17 | 21.9 |
| 소비 | 435 | 360 | 210 | 63 |
| MRT | 30 | 30 | 30 | 30 |
| MRS | 223 | 105 | 30 | 2 |
그림 3.7b 카림은 몇 시간 일하기로 결정할까?
- 제약하에서의 선택 문제
- 실현가능집합(예: 수요곡선 또는 예산제약) 하에서 의사결정자가 목표(예: 이윤 또는 효용의 극대화)를 달성하기 위해 하나 이상의 변수 값을 선택하는 문제.
지금까지 카림의 노동시간에 관한 의사결정을 제약하에서의 선택 문제라고 불리는 모형으로 만들어 보았다. 이 모형에서는 의사결정자(카림)가 제약조건(그의 실행가능경계) 하에서 목적(여기서는 효용극대화)을 추구하고 있다.
이 예에서 카림에게는 다음과 같은 이유로 자유시간과 소비가 희소하다.
- 자유시간과 소비는 둘 다 재화이다: 카림에게 둘 다 가치를 갖는다.
- 각각은 기회비용을 갖는다: 한 재화가 많아지면 다른 재화는 적어져야 한다.
제약하의 선택 문제에서 우리가 구하게 될 해는 개인의 목표를 가장 잘 충족시키는 선택이다. 효용극대화가 카림의 목적이라고 가정한다면, 최선의 소비와 자유시간의 조합은 다음을 만족시키는 실행가능경계 위의 점이다.
\[\text{MRS} = \text{MRT}\]그림 3.8의 표는 카림이 직면하는 상충관계를 요약하고 있다.
| 상충관계 | 그림에서 상충관계 찾기 | |
|---|---|---|
| MRS | 카림이 1시간의 자유시간을 추가로 얻기 위해 거래할 의향이 있는 소비지출(유로화 기준) | 무차별곡선의 기울기 |
| MRT | 카림이 1시간의 자유시간을 포기(또는 획득)함으로써 얻는(또는 잃는) 소비금액 | 예산제약(실행가능경계)의 기울기이며, 그 절대값이 임금과 동일 |
그림 3.8 카림이 직면하는 상충관계
때때로 “MRS는 무차별곡선의 기울기와 같다”, 그리고 “MRT는 실행가능경계의 기울기와 같다”고 말한다. 그러나 MRS와 MRT는 둘 다 양수이며, 기울기는 음수다. 엄밀하게 말하자면, 위 말은 MRS와 MRT는 기울기의 절대값과 같다는 뜻이다.
연습문제 3.4 조이의 제약하의 선택 문제
연습문제 3.3에서 조이가 직면했던 선택 문제를 기억해 보자. 조이는 영화티켓값(한 장에 €10)과 친구들과의 밤 외출(평균적으로 한 번에 €16)을 위한 예산으로 €210을 확보해 놓았다. 조이의 문제를 카림과 비슷하게 생각해볼 수 있다. 조이에게 영화티켓과 밤 외출은 둘 다 재화다. 즉 둘 다 최대한 많이 갖고 싶지만, 선택은 예산제약으로 인해 제한받는다.
- 연습문제 3.3의 실행가능집합 그림을 이용하여 조이의 무차별곡선이 카림의 무차별곡선과 비슷한 모양을 가졌다고 가정하고, 두 재화에 대한 조이의 선호를 보여줄 무차별곡선을 그려보자(카림의 무차별곡선은 우하향하며 자유시간이 증가할수록 점점 더 완만해지는 모양이었다). 조이의 무차별곡선도 이런 모양을 가질 것이라고 가정하는 게 왜 타당한지 이유를 설명해보라(힌트: 무차별곡선을 따라 이동할 때 MRS가 어떻게 변하는지를 생각해 보면 된다). 다른 모양을 갖게 되는 적절한 이유를 생각할 수 있나(예를 들어, 직선이거나 혹은 가로축의 양이 증가함에 따라 점점 더 가파르게 변하는 곡선의 경우)?
- 방금 그린 무차별곡선에 조이가 가장 선호하는 영화티켓과 밤 외출의 조합을 그림에 표시해보라(이것은 단지 예시적인 그림일 뿐이지만 모든 무차별곡선이 그럴듯한 모양을 갖고 있어야 하고 서로 교차하지 않아야 한다).
- 조이가 선택하게 될 점에서 조이의 한계대체율은 얼마인가? 어떻게 알 수 있나?
연습문제 3.5 알렉세이의 제약하의 선택 문제
학생 알렉세이의 상황을 고려해 보자. 그는 과목의 성적이 하루 평균 공부시간에 달려있다는 것을 알고 있다. 공부를 안 하면 성적은 0점이 된다. 그가 공부하는 매 시간마다 그의 성적은 8점씩 증가하며, 공부시간은 하루 최대 12시간까지 가능하다. 그 이후에는 더 공부를 해도 성적은 올라가지 않는다.
- 알렉세이가 관심을 갖는 것은 오직 학기말 성적과 자유시간뿐이라고 가정하자. 알렉세이에게 이 두 가지 재화는 희소한가? 설명해보라.
- 알렉세이의 성적이 공부시간에 따라 어떻게 변하는지 보여주는 그래프를 그려라(공부시간를 가로축에 놓아라).
- 가로축에 자유시간을 표시하고 세로축에 성적을 표시한 그림에서 알렉세이의 선호를 나타내는 무차별 곡선을 그려보자. 이전처럼, 무차별곡선은 자유시간이 증가함에 따라 우하향하고 완만해진다고 가정하자.
- 알렉세이의 실행가능경계와 실행가능집합을 그림에 추가해 보자. (힌트: 이 연습문제의 질문 2에 있는 그래프의 거울 이미지여야 한다) . 자유시간과 성적 사이의 한계변환율은 얼마인가?
- 그림에 알렉세이가 선호하는 선택을 표시하라(여러분의 답은 무차별곡선을 어떻게 그렸는지에 따라 달라질 것이다). 그는 하루에 몇 시간씩 공부하기로 선택하는가?
- 알렉세이가 정확히 하루 12시간의 자유시간을 선택하게 하는 선호를 보여주는 또 다른 무차별 곡선을 그려라(별도의 그림에 그려라). 그리고 이런 특별한 경우에는 그의 MRS가 MRT보다 작을 수 있음을 확인하라. 그가 12시간보다 적은 자유시간을 갖기로 결정하는 경우가 있을까?
확인문제 3.7 다음 중 옳은 것을 모두 골라라.
그림 3.7a는 카림의 실행가능경계, 그리고 하루 동안의 소비와 자유시간에 대한 무차별 곡선을 보여준다. 비슷한 조건을 가진 다른 노동자들도 동일한 실행가능경계를 가지고 있지만, 그들의 무차별곡선은 각자의 선호에 따라 다른 기울기를 가질 수 있다고 가정해 보자.
이 그림을 사용하여 다음 설명을 읽고 옳은 것을 모두 골라라.
- 만약 카림이 실행가능경계 위에 MRS ≠ MRT인 점에 있었다면, 그가 한 재화를 얻기 위해 반드시 포기해야 할 다른 재화의 양과, 그가 한 재화를 얻기 위해 포기할 의향이 있는 다른 재화의 양이 다를 것이다. 이는 MRS=MRT가 되는 점에 이르기까지 계속될 것이다.
- 실행가능경계를 따라 움직이면, D보다는 E점에서 더 높은 무차별곡선 위에 있게 되므로, D점은 카림의 최선의 선택이 아니다.
- 완만한 무차별곡선을 가진 소비자(소비를 위해 자유시간을 더 많이 포기할 의향이 있는)는 낮은 한계대체율을 가진다. 따라서 그들은 E점 보다 왼쪽의 조합(예를 들면 D점)을 선택할 것이고, 거기서 무차별곡선이 실행가능경계에 접할 것이다.
- E점보다 왼쪽에 있는 실행가능경계의 점들은 E점보다 1시간의 자유시간당 더 높은 소비를 가능하게 해주지만, 카림은 한계대체율이 한계변환율과 같아지는 E점을 선호한다.
심화학습 3.5 제약하의 소비와 자유시간 선택 문제 풀기
많은 경제학 모형에 제약하의 선택 문제가 등장한다. 이 절의 본문에서처럼 그림이 이런 선택 문제를 이해하는 데 도움이 되는 것은 분명하지만, 수학적으로 문제를 풀어보면 이로부터 추가적인 직관을 얻을 수도 있고 더 나아가 그림을 잘못 그려 잘못된 해석을 하지 않도록 도움을 얻기도 한다. 이 심화학습에서는 제약하의 선택 문제를 미분을 이용하여 푸는 두 가지 벙법을 설명할 것이다. 하나는 심화학습 3.3과 3.4의 분석과 경제학적 직관을 이용하는 방법이고, 다른 하나는 제약하의 선택 문제에 종종 사용되는 대입법을 이용하는 것이다.
카림은 가능한 자유시간을 적게 포기하고 최대한 많은 소비를 하기를 원한다. 이는 그림 3.7a(그림 E3.3에서 다시 그렸다)에서 확인할 수 있다. 카림은 무차별곡선이 실행가능경계와 접하는 E점을 선택하여 효용을 극대화하고 있다. E점에서 그의 한계대체율(MRS)이 한계변환율(MRT)과 같다. 여기서는 카림의 의사결정을 어떻게 제약하의 선택 문제로 수학적으로 표현하는지 그리고 소비와 자유시간의 최적 조합을 찾기 위해 그 문제를 어떻게 풀어낼 것인지를 보도록 하자.
그림 E3.3 카림은 몇 시간 일하기로 결정할까?
그림 E3.3에 나타난 카림의 효용함수는
\[u(t,c)=(t-6)^2(c-45), t>6, c>45\]이다. 그리고 실행가능경계(그의 예산제약)는 \(c=w(24-t)\)이며, 여기서 \(w\)는 임금이다(그림 E3.3에서는 $30로 설정되었다).
카림의 제약하에서의 극대화 문제
주어진 제약 \(c=w(24\ –\ t)\)하에서, 효용함수 \(u(t, c)\)를 극대화하는 \(t\)와 \(c\)를 찾는 문제이다.
제약하의 선택 문제에서 극대화하려는 (혹은 다른 문제에서는 극소화하려는) 함수를 “목적함수”라 부른다. 카림의 목적함수는 그의 효용이다.
이런 문제에서 제약은 때로는 부등식으로, 즉 \(c\leq w(24–t)\) 형태로 주어지며, 이 부등식 제약은 그의 선택이 실행가능집합 내에 놓여 있어야 한다는 것으로 해석될 수 있다. 그런데 그의 효용이 \(t\) 및 \(c\)와 양의 의존관계를 갖기 때문에 그는 실행가능경계 위의 점을 선택하기를 원할 것이다. 따라서 앞으로는 제약식을 등식으로 다룰 것인데, 그렇게 함으로써 문제를 수학적으로 훨씬 쉽게 풀 수 있다.
제약하의 선택 문제 해결을 위한 두 가지 방법
하나의 방법은 제약식을 이용하여 \(c\)를 \(t\)로 표현한 다음 이를 효용함수의 \(c\)에 대입하여 효용함수를 \(t\) 하나의 변수만 갖는 함수로 표현해보는 것이다.
\[u = (t-6)^2(w(24-t)-45)\]그 다음 이렇게 표현된 효용함수를 \(t\)로 미분한 도함수를 0으로 놓고 풀어 극대화할 수 있다. 곱셈의 미분법을 이용하면 다음을 얻는다.
\[\begin{align} \frac{du}{dt} = 2(t - 6)(w (24 - t) - 45) - w (t - 6)^{2} &= 0 \\ \Rightarrow 2(w(24 - t) - 45) &= w(t - 6) \end{align}\]이 식을 정리하여 \(t\)에 관해 풀어 다음을 얻는다.
\[t=18-\frac{30}{w}\]여기서 \(w=30\)이면 \(t=17\)이고, 이 값을 다시 예산제약에 대입하면 그에 상응하는 소비수준은 \(c=30(24-17)=210\)이 된다.
이 수치가 (극소점 혹은 변곡점이 아닌) 극대점인지 확인하기 위해서는 위에서 얻은 \(t\) 값에서 2계 도함수
\(d^2u/dt^2\)의 부호를 확인해야 한다. 위의 \(du/dt\)식을 \(t\)로 한번 더 미분하면 \(d^2u/dt^2=90(23-2t)\)가 되는데, \(t=17\)일 때 이 값은 음수이므로 우리가 구한 해는 극대점이다.
요약하면, 카림은 예산제약 하에서 효용을 극대화하기 위해서는17시간의 자유시간을 갖고 7시간을 일하여 $210의 소비를 갖는 조합을 선택해야 한다. 이것이 그림 E3.3의 E점이다.
또 다른 하나의 방법은 무차별곡선과 예산제약의 그림으로부터 우리가 알고 있는 해법을 적용하는 것이다. 즉, 카림에게 \(c\)와 \(t\)의 최선의 조합은 예산제약과 무차별곡선의 접점이다. 따라서 우리가 구할 최선의 선택점은 다음의 두 조건을 만족시킨다.
- 그 점은 예산제약 위에 있다.
- 그 조합에서는 MRS\(=\)MRT.
심화학습 3.3으로부터 MRS는 한계효용의 비율, 즉 \(\frac{\partial u}{\partial t}/\frac{\partial u}{\partial c}\)임을 알고 있다.
\[\frac{\partial u}{\partial t} = 2(t-6)(c-45) \ \text{그리고} \ \frac{\partial u}{\partial c} = (t-6)^2 \Rightarrow \text{MRT} = \frac{2(c-45)}{(t-6)}\]그리고 심화학습 3.4로부터 MRT는 \(w\)임을 알고 있다. 따라서 카림의 최선의 조합에서 만족되어야 하는 두 조건은
\[c = w(24-t)\] \[\frac{2(c-45)}{(t-6)} = w\]이다. 이는 \(t\)와 \(c\)로 이루어진 연립방정식이다. 연립방정식을 쉽게 푸는 방법은 첫 번째 방정식을 \(c\)에 관해 정리하여 두 번째 방정식의 \(c\)에 대입하는 것이다. 그 결과가 첫 번째 방법으로 얻은 \(t\)에 관한 식과 동일한 식인지 확인해보도록 하자.
1계 필요조건
여러분은 앞으로 경제학 모형에서 제약하의 선택 문제를 많이 접하게 될 것이다. 일반적으로 “1계 필요조건”이라 알려진 조건을 만족시키는 제약 위의 한 점에서 해를 찾는다.
카림의 문제에서 해는 예산제약 위에 있으며 1계 필요조건인 MRS=MRT를 만족시킨다. “1계”라고 하는 이유는 그것이 1차 도함수와 관련되기 때문이다. 대입법을 이용하여 표현한 목적함수의 1차 도함수를 0으로 놓으면 1계 조건을 얻을 수 있다.
치환법을 이용하여 선택 문제를 풀 때는 “2계 충분조건”도 확인했다는 것을 기억하자. 즉 우리는 목적함수의 2차 도함수를 이용하여 찾은 해가 극대점인지를 확인하였다. 하지만 두 번째 방법을 사용해서 선택 문제를 풀 때에는 2계 충분조건을 확인하지 않았는데, 그 이유는 경제학적 이해를 바탕으로 (그림의 도움을 받아) 접점이 극대값이라고 유추할 수 있었기 때문이다.
연습문제 E3.4 두 가지 방법으로 제약하의 선택 문제를 풀기
카림의 친구는 \(u(t,c)=t^{3}c\)라는 효용함수를 가지고 있으며 시간당 임금은 $25이다.
- 카림의 친구가 효용을 극대화하고자 한다고 가정하고, 대입법을 이용하여 자유시간(\(t\))을 몇 시간 선택할 것인지, 그리고 그에 상응하는 소비(\(c\))는 얼마인지 찾아보자.
- 두 번째 방법인 MRS=MRT를 이용하여 같은 답을 얻는지 확인해 보자.
- 좀 더 일반화된 함수 \(u(t, c)=t^a c^b\)와 제약식 \(c=w(24-t)\)을 이용하여, 대입법과 MRS=MRT를 이용하는 방법이 동일한 결과를 주는지 확인하라.
더 읽어보기: 다음 책의 8.1절에서 8.3절까지를 보라. Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
