6단원 기업과 노동자들

6.8 일자리상실비용 계산하기: 지대와 유보임금

이 절에서 주당 35시간 일하고 시간당 $12 소득을 벌고 있는 피고용인 마리아(Maria)가 고용주가 요구하는 노동강도를 지출할 경우 얻을 수 있는 고용지대를 계산해 보기로 하자. 다음 절에서는 마리아의 고용주가 마리아로 하여금 열심히 일하도록 동기부여하기 위해 이 지대를 어떻게 활용하는지를 볼 것이다.

마리아의 지대를 계산하려면 마리아가 어떻게 자신의 일자리가 갖는 두 개의 측면을 평가하는지를 고려해야 한다.

급여: 급여는 마리아가 얻고자 하는 것이다.
노동강도: 노동강도를 높이면 마리아에게는 비용이 든다.

효용: 결과에 부여하는 가치에 대한 수치적 지표. 두 결과가 모두 실현가능할 때, 더 높은 효용의 결과가 더 낮은 가치를 가진 결과보다 우선적으로 선택된다.

효용개념을 이용하여 이들 요소들을 비교하고 평가할 수 있다. 마리아의 효용은 임금으로 구입가능한 재화나 서비스로부터 얻을 수 있는 편익이다. 이 효용의 크기는 직장에 출근하거나 하루종일 일하는 것으로부터 오는 비유쾌함, 즉 노동의 비효용으로 인해 감소한다.

요구되는 노동강도에 대한 비용이 시간당 $2라고 하자. 만일 마리아가 일자리를 계속 유지한다면 마리아는 다음을 얻을 수 있다.

\[\begin{align*} \text{시간당 순효용} &= \text{임금} − \text{시간당 노력 비효용} \\ &= \$10 \end{align*}\]

마리아의 경제적 지대를 계산하기 위해 일자리에 계속 남아 있을 때 얻게 되는 가치와 차선의 대안책(실업자가 되어 새로운 일자리를 탐색하는)으로부터 얻게 되는 가치를 비교해야 한다.

Building block

지대 계산에 관해 더 알고 싶으면 2.2절을 다시 읽어 보자.

실업급여: 실업자들에게 실업기간(혹은 실업기간 일부) 동안 지불하는 정부의 이전지출. 실업보험 혹은 고용보험이라고도 알려져 있다.

일자리를 잃은 사람은 만일 그들의 가족이나 친구들이 일자리를 가지고 있다면 자신의 실직기간 동안 그들로부터 약간의 도움을 기대할 수 있다. 또한 많은 나라에서 그들은 정부로부터 실업급여나 금전적 지원을 받는다. 노동하지 않고 실직상태에서 매시간당 마리아가 얻게 될 순효용이 $6라고 가정해 보자. 여기에는 실업급여 등으로부터 발생하는 소득과 실업으로부터 발생하는 비효용이 고려되었다고 해 보자.

아마도 마리아가 새 직장을 발견하는 데에는 많은 시간이 걸릴 것이다. 전체 일자리상실비용은 기대실업기간 및 새 직장에서 얻을 것으로 기대되는 예상소득에 달려있다. 마리아는 새 일자리를 찾는 데 44주 가량이 걸릴 것이라고 예상하고 있으며, 새 일자리에서의 평균순효용(새 직장에서 받을 수 있는 임금에서 노력비용을 제한 크기)이 $9일 것으로 예상한다고 해 보자.

마리아의 현재 일자리 가치와 차선의 선택지가 주는 가치를 비교하기 위해 마리아의 계획 기간이 3년(156주)이라고 가정해 보자. 달리 말하자면 중요한 것은 앞으로 3년간 마리아가 자신과 가족들을 어떻게 부양할 것인가 하는 것이다. 그 이후 어떤 일이 일어날지는 예측할 수 없으니 고려에서 제외하자. 그림 6.8은 계획 기간 동안 마리아의 현재 일자리와 차선책인 실직을 비교한 것이다.

이 그림에서 가로축은 주 단위로 표시된 시간을 나타내며 범위는 0에서 156까지이다. 세로축은 다음과 같은 여러 수치값들을 나타낸다. 시간당 임금은 $12이다. 임금과 노력비용간의 차이는 시간당 $10인데 이 값에 35시간 및 156주가 곱해져 현행 일자리의 총가치는 $54,600에 이른다. 다른 일자리의 평균순효용은 시간당 $9이다. 실업상태의 순효용은 시간당 $6이다. 차선의 대안의 총가치는 $6 × 35시간 × 44주 + $9 × 35시간 × 112주 = $44,520이다.

전체화면

https://www.core-econ.org/microeconomics/ko/06-firm-and-employees-08-rents-reservation-wages.html#그림-6-8a

그림 6.8a 마리아의 차선의 대안과 총고용지대

그림 6.8a의 두 선분은 마리아의 현재 일자리의 시간당 순효용과 차선의 대안(실업 상태에서 얻게 되는) 시간당 순효용을 나타낸다. 유보선택지의 총가치는 현행 일자리의 가치보다 $10,080 더 적다. 마리아의 총고용지대는 $10,080로서 이는 두 선분 사이의 영역 면적에 해당한다.

\[\text{총일자리상실비용} = \text{총고용지대} = \text{\$10,080}\]

때때로 장기에 걸쳐 총가치를 계산하는 것보다 시간당 혹은 주당 기준으로 상이한 고용선택지들의 가치, 그리고 그에 따른 고용지대에 관해 생각하는 것이 편리하다. 마리아의 현재 일자리의 경우 이는 쉽게 계산가능하다. 전체 기간에 걸쳐 시간당 $10의 가치이다.

그렇다면 마리아의 실업이라는 유보선택지의 가치는 어떻게 계산할까? 이를 계산하려면 실업상태일 때 시간당 $6 가치를 얻는다는 사실 뿐 아니라, 실업을 통해 새 직장을 탐색할 기회가 생긴다는 점도 고려에 넣어야 한다. 평균적으로 전기간에 걸쳐 마리아의 유보선택지의 가치는 다음과 같다.

\[\frac{\text{\$44,520}}{156 \times 35 \text{ hours}} = \text{시간당 }\$8.15\]

따라서 마리아의 시간당 고용지대는 마리아의 현행 일자리에서의 순효용과 유보선택지로부터 얻는 순효용 사이의 차이이다.

\[\text{고용지대} = \$10.00-\$8.15 = \text{시간당 } \$1.85\]

마리아의 유보임금

평균값을 사용하는 것도 유용한데 왜냐하면 평균값을 통해 비교하면 마리아에게는 “실업 및 직장탐색”이라는 선택지가 $8.15 순효용을 제공하는 또다른 일자리를 갖는 것과 동등한 것으로 생각될 수 있기 때문이다. 그녀에게 $8.15 가치의 일자리를 제공받는 것과 실업자가 되어 새직장을 탐색하는 것 사이에는 아무런 차이가 없다.

유보임금: 유보임금은 노동자가 새로운 일자리를 얻기 위해 수락할 의향이 있는 임금 가운데 가장 낮은 임금을 의미한다. 유보임금은 노동자가 차선의 일자리 선택지(유보선택지)로부터 얻을 수 있는 임금이다. 어떤 노동자의 차선책이 실업 상태라면 그의 유보임금은 새 일자리를 찾았을 때 그로부터 기대할 수 있는 임금과 실업기간 동안 받게 될 소득 등이 포함된다.

따라서 $8.15를 마리아의 유보임금이라고 할 수 있다. 유보임금은 마리아가 자신의 유보선택지인 실업에 얼마나 가치를 두는가를 보여주는 측정치이다. 마리아는 실업자가 되어 새직장을 찾기보다 $8.15 이상의 임금(혹은 노력이 요구되는 경우 순효용)을 제공하는 어떠한 일자리라도 수용할 것이다. 그림 6.8b는 이런 방식으로 실업을 이해할 수 있음을 보여준다.

이 그림에서 가로축은 주 단위로 표시된 시간을 나타내며 범위는 0에서 156까지이다. 세로축은 다음과 같은 여러 수치값들을 나타낸다. 시간당 임금은 $12이다. 임금과 노력비용간의 차이는 시간당 $10인데 이는 또한 현재 고용의 순효용이다. 다른 일자리의 순효용은 시간당 $9이다. 유보임금(유보선택지의 평균가치)은 시간당 $8.15이다. 현재 고용의 순효용과 유보임금간의 차이가 고용지대이다(시간당 $1.85). 고용의 순효용은 첫 44주 기간의 경우 시간당 $6이고 그 이후에는 시간당 $9이다.

전체화면

https://www.core-econ.org/microeconomics/ko/06-firm-and-employees-08-rents-reservation-wages.html#그림-6-8b

그림 6.8b 마리아의 유보임금 및 시간당 고용지대

마리아의 유보임금이 실업상태일 때 얻을 수 있는 순효용 $6보다 왜 더 큰 지를 이해하는 것이 중요하다. 마리아는 $6를 주겠다는 일자리 제안을 수용하지 않을 텐데 왜냐하면 기다리면서 다른 기업들이 제공하는 평균에 근접하는 제안을 탐색하는 것이 더 낫기 때문이다. 마리아의 유보임금 $8.15는 마리아가 실업자가 되어 그러한 제안을 기다리는 것의 가치를 의미한다. 실업상태에 있더라도 마리아는 마치 매주당 $8.15를 지급하는 정규 직장을 가진 것처럼 의사결정을 내릴 것이다.

유보임금은 마리아의 개인적 특성과 경제 전반의 사정 모두에 의존한다. 마리아의 개인적 특성은 마리아가 실업상태에 있을 때 얼마나 효용을 얻게 되는지를 결정할 것이고, 실업급여 수준이나 새로운 직장을 발견하는 것이 얼마나 용이한지의 여부 등은 경제 전반의 사정에 따라 달라질 것이기 때문이다. 이를 보다 분명하게 이해하기 위해 유보임금의 일반적 표현을 적어보자. 위의 경우처럼, 시간당이 아니라 주당노동으로 나타내 보자. 일단 다음을 가정하자.

마리아의 계획기간는 h주이다.
주당 실업급여는 b이다.
실업상태에서 마리아가 얻고 있는 추가순효용은 주당 a^M이다. 여기서 M은 마리아를 첫글자 M인데, 그렇게 M을 붙인 이유는 추가순효용이 가족에 대해 마리아가 갖고 있는 책임감, 그리고 마리아가 실업기간 동안 사용가능한 저축의 보유 여부 등 마리아에게만 적용되는 요인들에 의존한다는 점을 상기시키기 위해서이다.
다른 일자리에서의 평균순효용(거기서 받게 될 임금 – 노력비용)은 주당 v이다.
마리아는 다른 일자리를 발견할 때까지 j주 정도가 소요될 것이라고 예상하고 있다.

만일 마리아가 실업상태에 놓이게 될 경우 마리아는 j주에 걸쳐 b + a^M만큼을, 계획기간 중 잔여기간인 h-j 동안에는 v만큼의 순효용을 얻을 것이라고 기대한다. 마리아의 유보임금은 유보선택지의 평균값(즉 총가치를 주 단위의 수, h로 나눈 것)과 같다.

\[w_r=\frac{j(b+a^M)+(h−j)v}{h}\]

이 식을 다음과 같이 다시 써 보자.

\[w_r=\tau(b+a^M)+(1−\tau)v\]

이 식에서 $\tau$는 j/h이다. 실업상태 노동자의 경우 $\tau$는 계획기간 중 실업상태로 있게 될 것이라고 기대하는 기간의 비율을 의미한다. 이 값은 경제의 실업률에 따라 영향을 받는다. 더 많은 사람들이 일자리를 찾고 있다면 새직장을 구하는 데 요구되는 시간은 더 길어질 것이다.

따라서 마리아의 유보임금은 실업상태일 때 얻게 될 효용 b + a^M과, 새직장을 발견하였을 때 얻을 것으로 기대되는 순효용 v의 가중평균값이다. 노동시장조건이 노동자에게 불리할 경우, 새직장을 구하는 데 드는 시간은 늘어나고 그렇게 되면 마리아는 실업상태로부터 얻게 될 효용에 더 큰 가중치를 두게 될 것이다. 그러나 새직장을 보다 빨리 구할 수 있다면 마리아의 유보임금은 더욱 높아지는데 이때는 마리아가 재취업으로부터 얻게 될 것으로 기대하는 효용의 평균값 v에 더 큰 가중치가 주어지게 된다.

지금까지는 실업의 기간이 “기대치” 혹은 “평균값”을 사용하여 마리아의 유보임금을 계산했다. 현실의 경우 일자리 찾기란 불확실하기 때문이다. 시간이 덜 걸릴 수도 있는가 하면 더 걸릴 수도 있다. 마찬가지로 마리아가 새직장을 찾았을 때 받게 될 급여도 평균 이상일 수도 있지만 그 이하일 수도 있다. 정확히 무슨 일이 발생할지 모르므로 마리아는 평균값을 기준으로 결정을 내릴 것이다.

연습문제 6.5 모형의 가정

다른 경제학 모형과 마찬가지로 마리아의 고용지대를 묘사하면서, 중요할지도 모를 문제의 특정 측면을 의도적으로 누락시켰다. 예를 들어 다음의 사항들을 가정했다.

마리아는 실업 이후 더 낮은 임금을 제공하는 일자리를 발견한다.
마리아는 실업상태 내내 계속 실업급여를 받는다.

이들 각 가정을 완화시키면 고용지대의 크기가 어떻게 달라지는지를 고려해 보자. 우선 그림 6.8b를 다시 그려 보라. 그리고 다음을 가정하라.

마리아는 실업 이후 시간당 12달러라는 이전과 동일한 임금을 받는 일자리를 발견한다.
마리아의 실업급여 수급자격은 13주를 넘지 못한다.

확인문제 6.10 다음 중 옳은 것을 모두 골라라.

마리아는 현재 직장에서 시간당 $12를 벌고 있고 주당 35시간 노동한다. 마리아에게 노력의 비효용은 작업시간당 $2에 해당한다. 만일 일자리를 잃게 된다면 시간당 $4에 해당하는 실업급여를 수령할 것이고, 여기에 덧붙여 실업이 가져다 줄 심리적 사회적 비용으로 시간당 $1가 부가된다. 마리아의 계획기간이 156주이고, 마리아가 실업에 놓이게 되면 44주가 경과한 이후 동일한 임금을 받고 동일한 노력비용이 드는 또 다른 일자리를 찾을 것이라고 기대한다고 가정하자. 이 경우 다음 중 옳은 것을 모두 골라라.

시간당 고용지대는 계획 기간 전체에 걸쳐 $7이다.
유보임금은 시간당 $3이다.
만일 44주 경과후 동일한 임금을 주는 다른 일자리를 얻을 수 있다면 총고용지대는 $6,160이다.
만일 실업상태로 44주를 지낸 후 더 낮은 임금률의 일자리만을 얻을 수 있다면 마리아의 총고용지대는 $10,787 이상이다.

실업 상태에 놓였을 때와 비교했을 때 마리아가 고용된 경우 얻는 시간당 순편익은 최초의 44주 기간 동안에는 $7이지만 나머지 112주 기간 동안에는 $0의 시간당 순편익만 얻게 된다. 따라서 마리아의 고용지대는 시간당 $7이하가 될 것이다. (계산: 차선의 대안으로부터 얻게 될 총가치는 ((10 − 3) × 35 × 44) + (10 × 35 × 112) = $43,820이고 이때 시간당 고용지대는 10 − (43,820 / (156 × 35)) = $1.97이다.)
유보임금식에 따르면 마리아의 유보임금은 실업급여 및 실업상태의 비용 크기에 의존할 뿐만 아니라 실업상태의 순효용, 계획기간, 다른 일자리 발견까지 얼마나 오래 기다려야 할지 등에도 의존한다. 마리아의 유보임금은 차선의 대안의 총가치를 시간단위의 수로 나눈 값, 즉 ((7 × 35 × 44) + (10 × 35 × 112)) / (156 × 35) = 43,820 / 5,460 = $8.03이다.
마리아의 고용지대 = $7 (시간당 고용지대) × 주당 35시간 × 44주 = $10,780.
마리아가 44주 후 동일한 임금을 받는 직업을 갖게 된다면 마리아의 고용지대는 $7(첫 44주 동안 시간 당 고용지대) × 주당 35시간 × 44주=$10,780이다. 만일 새로운 일자리에서 이보다 낮은 임금을 얻게 된다면 현재의 일자리에서 얻게 될 총고용지대(즉 일자리 상실 비용)은 $10,780보다 커질 것이다.

심화학습 6.8 유보임금곡선 유도

심화학습 6.5에서 유도했던 기업 유보임금곡선식은 이 단원의 나머지 부분에서 사용하게 될 식과 다소 달라 보인다. 이 단원의 나머지 부분에서는 이 절에서 마리아의 유보임금으로부터 얻게 된 식에 기반해서 이야기를 전개할 것이다. 이번 심화학습에서는 유보임금을 묘사하는 두 서술방식이 서로 일관된다는 것을 보이고, 이 둘이 어떻게 연관되었는지가 설명된다.

원한다면 이 심화학습을 건너뛰어도 무방하다. 이 심화학습의 결과는 다른 곳에서 사용되지 않을 것이고 더 나아가 다른 심화학습의 내용에 비해 약간 더 어렵기 때문이다. 고급수학을 사용하는 것은 아니지만 대수 방정식과 함수들의 수학적 해석을 매우 주의깊게 검토할 것이다.

위에서 마리아의 유보임금을 다음과 같이 적었다.

\[w_r = \tau(b + \alpha^M) + (1 - \tau) \nu\]

유보임금은 $b$(실업급여), $\nu$(다른 일자리들로부터 얻게 될 평균순효용), 그리고 $\tau$(기대실업기간 비율)에 영향을 받는다. 이 세 개의 파라미터들은 노동시장에 참가하는 모든 노동자들에게 동일하다. 유보임금은 또한 실업의 효용 $\alpha$에도 영향을 받는데 이는 노동자들마다 상이하다(여기서 $\alpha^M$은 마리아의 $\alpha$값을 의미한다.) $\alpha$가 높은 노동자일수록 유보임금도 높다.

노동자들이 실업상태로부터 얻게 되는 효용 $\alpha$가 다르므로 유보임금도 다를 것이다. 이것이 기업의 유보임금곡선이 우상향하는 이유이다. 기업의 잠재적 피고용인들의 유보임금을 오름차순으로 배열함으로써 기업의 유보임금식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[w = \tau(b + \alpha^N) + (1 - \tau) \nu \hspace{2cm} (1)\]

여기서 $\alpha^N$은 $N$번째 노동자가 실업 상태에 있을 때 그로부터 얻게 되는 효용이다. 우리는 이 단원의 다음 절들에서 이 식을 이용해 유보임금식을 표현할 것이다. 그런데 이 식을 주의깊게 살펴보면, 무언가 누락되어 있음을 깨닫게 된다. 만일 우리가 특정한 $N$ 값을 선택할 경우 어떻게 $\alpha^N$의 값을 알아낼 수 있을까? 해당 $w$를 계산하려면 이 값이 필요하다.

이 식은 심화학습 6.5에서 얻은 아래의 유보임금곡선의 식과는 완전히 다른 식이다. 심화학습 6.5에서는 유보임금곡선식이 다음과 같았다.

\[P(w) = \frac{qN}{m} \hspace{2cm} (2)\]

여기서 $P(w)$는 노동자 전체의 유보임금 분포이다. 이것이 나타내는 것은 $w$보다 적거나 같은 유보임금을 가진 노동자 비율, 다시 말해 $w$ 수준의 임금이 제안되었을 때 이를 수용할 의사가 있는 노동자의 비율이다. 파라미터 $m$과 $q$는 기업의 매칭 및 퇴직율이다. 6.5절 에서 논의했듯이 식 (2)는 $w$와 $N$ 사이의 우상향 관계를 보여주며 다음과 같은 두 정보를 준다.

기업이 정상상태에서 $N$명의 노동자를 고용하길 원할 경우 책정해야 할 임금
$N$값이 주어졌을 때 $N$번째 피고용인의 유보임금

사실 두 식 모두 유보임금곡선식으로 타당하다. 그렇지만 이 두식은 서로 다르게 표현되어 있는데 각각의 버전에 일부 중요한 정보가 숨겨져 있기 때문이다. 우리는 식 (1)에서 $\alpha^N$이 무엇에 의해 결정되는지를 설명하지 않았고, 식 (2)에서는 $P(w)$가 무엇에 의해 결정되는지를 설명하지 않았다. 이제 이들 각각이 어떻게 등장하는지 그리고 유보임금곡선을 표현하는 이 두 방식이 어떻게 양립할 수 있는지를 설명해 보자.

$P(w)$를 이해해 보자.

식 (2)에서 $P(w)$는 특정한 $w$값과 같거나 더 적은 유보임금을 갖는 노동자들의 비율이다. 노동자들마다 다른 유보임금을 갖는 것은 그들이 실업상태로부터 얻게 되는 효용의 크기가 모두 다르기 때문이다. 실업으로부터의 효용은 고정된 개인 특성으로 노동시장상태와 무관하게 일정하다. 이제 $P_\alpha(\alpha_0)$를 실업효용 $\alpha$가 특정한 값 $\alpha_0$보다 같거나 더 적은 노동자들의 비율로 정의해 보자.

이를 통해 우리는 $P$와 $P_\alpha$사이의 관계를 계산해 볼 수 있다. 노동자는 자신의 유보임금이 다음 조건을 만족할 때 제안된 임금을 수용할 것이다.

\[w_r \leq w\]

마찬가지로 마리아의 사례로부터 도출한 개별 노동자의 유보임금식을 사용하면, 실업상태로부터 얻게 되는 효용이 $\alpha$인 노동자는 다음 조건이 충족될 때 임금 $w$를 수용할 것이다.

\[\begin{align*} \tau(b + \alpha) + (1 - \tau) \nu &\leq w \\ \Rightarrow \alpha &\leq \frac{(w-\nu)}{\tau} + \nu - b \end{align*}\]

따라서 임금 $w$를 수용할 노동자들의 비율은 실업효용이 $(w-v)/\tau + \nu - b$와 같거나 그 이하인 노동자 비율이다. 즉.

\[P(w) = P_\alpha \bigl(\frac{(w-\nu)}{\tau} + \nu - b \bigr)\]

이 결과는 $P(w)$ 안에 숨겨진 것을 드러내 보여준다. 이 크기는 임금 $w$를 수용할 노동자 비율은 임금뿐만 아니라 실업효용의 분포 $P_\alpha$와 노동자가 직면한 노동시장의 세 가지 파라미터들($b$, $\nu$, 그리고 $\tau$)에도 의존한다.

$\alpha^N$을 이해해 보자.

앞서 $\alpha^N$은 기업의 $N$번째 잠재적 노동자 개인이 실업 상태에 있을 때 얻게 되는 효용으로 정의되었다.

식 (2)로부터 $N$번째 노동자의 유보임금과 동일하거나 더 낮은 노동자의 비율은 $qN/m$이다.
따라서 실업효용 $\alpha$가 $\alpha^N$과 같거나 더 적은 노동자의 비율 역시 $qN/m$이다.

따라서 $\alpha^N$은 그 식의 해에 해당한다.

\[P_\alpha(\alpha^N) = \frac{qN}{m}\]

이 식을 $N$, $q$, 그리고 $m$의 함수이면서 $\alpha^N$을 결정하는 식으로 생각할 수 있다. 즉, $N$, $q$, 그리고 $m$의 값들이 주어질 경우 그에 조응하는 $\alpha^N$이 존재한다. 이 식은 음함수로 표현되어 있다. 따라서 $\alpha^N$ 값을 구하려면 이 식을 풀어야 한다. 그러나 이 식을 풀지 않고서도 $\alpha^N$에 대해서 알 수 있는 것들이 있다.

$\alpha^N$은 N의 증가함수이다.
$\alpha^N$은 q의 증가함수이다.
$\alpha^N$은 m의 감소함수이다.

음함수 미분법을 사용하면 위의 결과를 좀 더 엄밀하게 보일 수 있다.

우측항 $qN/m$은 $N$과 $q$가 증가하면 커지고 $m$이 증가하면 작아진다. 그리고 $P_\alpha$가 증가함수이므로 $\alpha^N$도 같은 방향으로 증가하거나 감소해야 한다.

식 (1)과 식 (2)는 동일하다.

이제 유보임금곡선에 관한 식 (2)를 식 (1)의 형태로 다시 바꾸어 쓸 수 있게 되었다. $P(w)$에 대한 새로운 식을 식 (2)에 도입하면 다음을 얻는다.

\[P_\alpha \bigl(\frac{(w-\nu)}{\tau} + \nu - b \bigr) = \frac{qN}{m}\]

$\frac{qN}{m} = P_\alpha(\alpha^N)$임을 알고 있으므로 다음이 성립한다.

\[P_\alpha \bigl( \frac{(w-\nu)}\tau+\nu-b \bigr)=P_\alpha(\alpha^N)\]

또한 $P_\alpha$가 증가함수이기 때문에 이 결과가 성립하려면 다음 조건이 충족되어야 한다.

\[\begin{align*} \frac{(w-\nu)}{\tau} + \nu - b &= \alpha^N \\ \Rightarrow w &= \tau(b + \alpha^N) + (1 - \tau) \nu \end{align*}\]

그리고 이 조건은 식 (1)과 같다.

요약하자면 유보임금곡선을 다음과 같이 쓸 경우 식 (1)과 식 (2)의 정보를 종합하는 완벽한 유보임금곡선식을 갖게 된다.

\[w = \tau(b + \alpha^N) + (1 - \tau) \nu \text{, where } \\ \alpha^N \text{ satisfies } P_\alpha(\alpha^N) = \frac{qN}{m} \hspace{2cm} (3)\]

식 (3)은 $w$와 $N$ 사이 양의 관계를 보여주는데, 노동자가 직면하게 되는 노동시장조건($b$, $\nu$, 그리고 $\tau$)과 기업이 직면하는 노동시장조건($q$* 그리고 $m$) 모두로부터 영향을 받는다.

또한 유보임금곡선이 직선인지 아닌지 여부는 실업효용 $P_\alpha$ 분포에 의존한다는 것도 확인하라. 만일 $P_\alpha$가 $\alpha$와 선형관계로 증가한다면 유보임금곡선도 직선이 된다. 어떤 분포가 이러한 속성을 가질 때 그 분포를 균등분포(uniform distribution)라고 부른다.

연습문제 E6.2 유보임금곡선의 변화

균등분포를 가정하자. $P_\alpha (\alpha) = \gamma(\alpha + \alpha_0)$일 때(여기서 $\alpha_0$는 실업으로부터 얻는 효용의 최소값이다), 기업의 $N$번째 잠재적 노동자 개인의 실업으로부터의 효용($\alpha^N$)을 도출해 보자. 또한 유보임금곡선에 관한 식을 양함수 형태로 적어 보자.
기울기와 위치에 관한 변수들을 검토하여 이 변수들이 주요한 핵심 파라미터의 변동에 대해 어떻게 변하는지를 해석해 보자.

더 읽어보기 : 음함수 미분에 대해서 다음 책의 15.1절을 참고할 수 있다. Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for economists: An introductory textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.