5단원 게임의 규칙: 누가 무엇을 얻는가? 왜 그런가?

심화학습 5.4 오목한 생산함수와 준선형 선호의 성질

앤절라의 기술과 선호는 많은 경제모형에서 타당하게 가정하고 있는 성질을 지니고 있다. 앤절라의 생산함수는 1단원에서 다룬 곡물생산함수처럼 오목한 형태를 띤다. 즉, 우상향하지만 노동시간이 증가할수록 그 기울기는 점차 평평해진다. 앤절라의 선호는 3단원의 카림의 선호처럼 볼록하다 (이에 대해서는 심화학습 3.3에서 논의한 바 있다). 다시 말해, 앤절라의 무차별곡선은 우하향하고 오른쪽으로 갈수록 평평해진다. 이에 더해서, 앤절라의 선호는 일부 모형에서 유용하게 사용되는 특성을 가지고 있는데, 준선형성이다.

이 심화학습에서, 이러한 성질을 수학적으로 설명할 것이다. 먼저, “오목”과 “볼록”의 의미를 명확히 해 두자.

오목함수와 볼록함수

오목, 오목함수

함수 f(x)가 2계도함수가 모든 x에 대해서 양수이면, 이 함수는 오목하다고 한다.

볼록, 볼록함수

함수 f(x)의 이계도함수가 모든 x에 대해서 양수이면, 이 함수는 볼록하다고 한다.

함수 \(f(x)\)의 2계도함수가 모든 \(x\)에 대하여 음수이면, 즉 \(f''(x) \leq 0\)이면 이 함수는 오목하다고 말한다. 모든 \(x\)값에 대해 \(f''(x)< 0\)이면, 그 함수는 강오목하다고 한다.

함수가 오목하면, \(f'(x)\)의 기울기는 \(x\)가 증가함에 따라 감소한다.

반대로, 함수 \(f(x)\)의 2계도함수가 모든 \(x\)에 대하여 양수이면, 즉 \(f''(x)\geq 0\)이면 그 함수는 볼록하다고 한다. 모든 \(x\)값에 대해 \(f''(x)>0\)이면, 그 함수는 강볼록하다고 한다.

함수가 볼록하면, \(f'(x)\)의 기울기는 \(x\)가 증가함에 따라 증가한다.

그림 E5.1은 함수 \(y=f(x)\)의 네 가지 가능한 형태를 그래프로 비교하고 있다. 상단의 두 그래프는 모두 증가함수이다(기울기가 양수이다). 이는 일반적인 생산함수의 특징이다. 상단의 왼쪽 그래프는 오목한데, 1단원부터 5단원까지 사용하는 모든 생산함수의 예시가 이와 같다. 이 그래프의 기울기는 \(x\)가 증가함에 따라 감소하며, 곡선 위의 두 점을 연결하면 그 선은 곡선보다 아래에 위치한다. 상단의 오른쪽 그래프는 볼록한 생산함수를 나타낸다. 이 그래프의 기울기는 \(x\)가 증가함에 따라 증가하며, 곡선 위의 두 점을 연결하면 그 선은 곡선보다 위에 위치한다.

하단의 두 그래프는 모두 감소함수이며, 무차별곡선을 그릴 때 이와 같은 감소하는 함수를 사용한다. 하단의 왼쪽 그래프는 오목한데, \(x\)가 증가함에 따라 기울기는감소하여, 절대값이 더 큰 음수의 값을 갖는다. 여기서 주의할 점은, 곡선은 기울기의 절대값이 증가함에 따라 더 가파르게 보이지만, 기울기 자체는 감소하고 있다는 점이다. 따라서 \(f''(x)<0\)이며, 이는 오목하다는 것을 의미한다. 하단의 오른쪽 그래프는 볼록한 감소함수이며, 대부분의 무차별곡선이 가지는 형태이다. \(x\)가 증가함에 따라 곡선은 점점 평평해지며(기울기의 절대값이 더 작아짐), 이는 2계도함수 값이 양이라는 말과 같다.

곡선 위의 두 점을 직선으로 연결해보면 오목함수와 볼록함수를 쉽게 구별할 수 있다. 그림 E5.1에서, 왼쪽의 두 오목함수의 경우 두 점을 이은 직선이 곡선보다 아래에 위치하고, 오른쪽의 두 볼록함수의 경우 직선이 곡선보다 위에 위치한다.

생산함수의 경제적 및 수학적 성질

그림 5.4에 나타난 앤절라의 생산함수는 1.6절에서 본 곡물의 생산함수나 심화학습 2.4.에 나온 올리브유의 생산함수와 유사하다. 이 생산함수들은 모두 그 제품을 생산하는 데 투입되는 노동에 따라 산출량이 어떻게 증가하는지를 보여준다. 만약 산출량이 노동에 비례하여 증가했다면, 생산함수는 기울기가 일정한 직선이 되었을 것이다. 앞선 예시에서는 생산의 다른 투입 요소들(토지나 기계)이 고정되어 있기 때문에, 산출량이 노동 투입과 비례하는 값보다 적은 폭으로 증가했다. 즉, 노동을 더 많은 투입할수록 함수의 기울기는 점차 감소한다. 다시 말해, 이들 예시에서는 모두 증가하는 강오목한 생산함수를 가정했다.

그림 E5.2a는 또 다른 증가하는 강오목한 함수를 보여준다. 앤절라와 같은 농부의 생산함수를 \(y=g(h)\)로 나타낼 것이다. 여기서 \(h\)는 1일 노동시간이며(단, \(h\ge 0\)), \(y\)는 부셸 단위로 측정된 생산된 곡물의 양이다. 그리고 \(g(0) = 0\)이라고 하자.

다음 함수는 경제학의 예시에서 자주 사용되는 간단한 형태로 되어 있다.

\[g(h)=ah^b \text{ 단, } a\text{와 } b\text{는 상수: } a>0, 0<b<1\]

그림에서는 \(a=10\)이고 \(b=0.4\)라고 두었다.

그림은 함수 \(g(h)\)가 증가하는 강오목한 함수임을 보여준다. 이미 알고 있는 상수 \(a\)와 \(b\)의 값을 사용하여 다음과 같이 이를 확인해 볼 수 있다.

\[g'(h) = abh^{b-1}>0 \text{ 그리고 } g''(h)=ab(b-1)h^{b-2}<0 \text{ 모든 } h>0\text{인 } h\text{에 대해서}\]

한계생산

생산에 투입되는 요소의 한계생산(물)(예를 들어, 노동의 한계 생산(물)은 투입량이 1단위 증가할 때 생산되는 추가적인 생산량이다.

생산함수의 기울기(도함수)는 노동의 한계생산을 나타낸다. 즉, 노동 투입이 늘어날 떄 추가적으로 생산되는 산출량을 의미한다. 이는 다시 말해, 노동이 증가에 따른 산출량의 증가율이다.

\[\text{MPL} = g'(h)\]

여기서 우리는 노동의 한계생산을 아주 작은(무한히 작은) 투입 증가에 따른 산출량 증가율로 정의하지만, 종종 노동 투입이 한 단위(예를 들어 한 시간 또는 한 명의 노동자) 증가할 때의 산출량 증가로 해석되기도 한다. 이는 엄밀히 말하면 같은 개념은 아니다.

그림 E5.2a에 \(h=5\)이고 \(y=19.04\)인 생산함수 상의 P점에서의 접선이 그려있다. 접선의 기울기는 1.52, 즉 \(g'(5)=1.52\)이다. 즉, \(h=5\)일 때 노동의 한계생산은 시간당 1.52부셸의 곡물이라고 할 수 있다. 생산함수가 오목하면 노동투입이 증가할수록 노동의 한계생산은 체감한다.

평균생산

생산물의 총량을 투입물의 총량으로 나눈 값이다. 예를 들어, 노동의 평균생산(또는 노동생산성)은 총생산물을 이를 생산하는 데 고용된 노동자의 수로 나눈 값이다.

한계생산은 평균생산과 다르다. \(h\)시간의 노동에서의 평균생산은 \(h\)시간 동안 생산된 산출량의 평균값이다.

\[\text{APL} = \frac{g(h)}{h}\]

그림 E5.2의 P점에서의 APL은 원점과 P점을 이은 직선의 기울기와 같으며, 이는 19.04/5=3.8이다.

이 절의 본문에서 앤절라의 APL이 앤절라의 노동시간이 증가함에 따라 체감한다고 했다. 이는 모든 강오목한 생산함수가 갖는 성질이다. 직관적으로 말하면, 추가된 한 시간이 이전에 일한 각각의 한 시간들보다 적은 산출물을 더할 뿐이라면(MPL이 체감한다면), 전체 노동시간에 걸친 평균산출도 감소해야 한다(APL도 감소한다).

더 나아가서, 몫의 미분법을 사용하여 평균생산을 \(h\)로 미분하면 다음을 얻는다.

\[\frac{d \text{APL}}{dh} = \frac{d}{dh} \left( \frac{g(h)}{h} \right) = \left( \frac{hg'(h) - g(h)}{h^2} \right)\]

따라서 평균생산이 체감하면 한계생산은 평균생산보다 작다.

\[\begin{align*} \frac{d \text{APL}}{dh} < 0 & \Rightarrow hg'(h) - g(h) < 0 \Rightarrow g'(h) < \frac{g(h)}{h} \end{align*}\]

그림 E5.2a는 이러한 성질을 보여준다. P점에서의 접선의 기울기는 P점과 원점을 잇는 직선의 기울기보다 작다. \(g(h)=ah^b\) 생산함수를 가지고 이를 직접 증명할 수 있다(\(a>0\)이고 \(0<b<1\)이라고 하자).

\[g'(h)=abh^{b-1} < ah^{b-1}=\frac{g(h)}{h}\]

실행가능경계와 한계변환율

만약 기술이 \(y=g(h)\)로 주어진 생산함수로 표현된다면(\(y\)는 곡물 산출량이고, \(h\)는 1일 노동시간이다), \(g\)가 증가하는 강오목함수일 때 실행가능경계곡선의 모양을 어떻게 설명할 수 있을까?

재화

경제학자들은 때때로 이 단어를 매우 광범위하게 사용하여, 개인이 관심을 가지고 더 많이 얻고자 하는 그 어떤 것도 의미할 수 있다. 시장에서 거래되는 재화뿐만 아니라, 예를 들어 ‘자유시간’이나 ‘깨끗한 공기’같은 것도 포함될 수 있다.

앤절라의 실행가능경계의 식을 도출하기 위해, 2개의 재화, 즉 산출량과 자유시간 \(t\)을 사용하여 기술을 표현할 수 있다. \(h=24-t\)이므로, 실행가능경계는 다음과 같다.

\[y=g(24-t)\]

합성함수의 미분법을 사용하여 위 함수를 \(t\)로 미분하면 다음을 얻는다.

\[\frac{dy}{dt}=g'(24-t)\frac{d}{dt}(24-t)=-g'(24-t)\]

\(g\)는 증가함수이므로(\(g'>0\)), 실행가능경계의 기울기가 음수임을 알 수 있다. 더 나아가서, 이를 한번 더 미분하면 이 함수가 강오목한 함수임을 알아낼 수 있다.

\[\frac{d^2y}{dt^2}=-g''(24-t)\frac{d}{dt}(24-t)=g''(24-t)<0\]

심화학습 3.4에서 설명한 바와 같이, 실행가능경계의 기울기의 절대값은 한계변환율이다. 여기서는 자유시간과 곡물 사이의 한계변환율이다.

\[\text{MRT}=\left|\frac{dy}{dt}\right|=g'(24-t)\]

MRT는 노동의 한계생산과 같다. 실행가능경계를 따라 움직이면, 즉 \(t\)가 증가하고 \(y\)가 감소하면, MRT는 증가한다.

\[\frac{d\text{MRT}}{dt}=-g''(24-t)>0\]

생산함수가 \(g(h)=ah^b\)일 때, 실행가능경계의 식은\(y=a(24-t)^b\)이다. 이를 미분하면 다음을 얻는다(\(a>0\)이고 \(0<b<1\)임을 기억하라).

\[\begin{align*} \frac{dy}{dt}&=-ab(24-t)^{b-1}<0;\ \frac{d^2y}{dt^2}=ab(b-1)(24-t)^{b-2} < 0 \end{align*}\]

따라서 실행가능경계는 \(t\)에 대해 감소하며 오목하고, MRT는 \(ab(24-t)^{b-1}\)이다. 그림 E5.2b는 그림 E5.2a에서 \(a=10\), \(b=0.4\)로 놓았을 때의 실행가능경계이다. 실행가능경계는 생산함수의 거울 이미지이다.

앤절라의 선호: 준선형성

볼록선호

볼록한 형태의 무차별곡선, 즉 곡선을 따라 오른쪽으로 갈 수록 평평해지는 무차별곡선을 가진 사람을 볼록선호를 가지고 있다고 한다. 이러한 전형적인 형태가 나타나는 이유는 한 재화를 (다른 재화에 비해) 더 많이 가질수록, 그 재화의 일부를 기꺼이 포기하고 다른 재화 한 단위와 교환하려고 하기 때문이다. 따라서 무차별곡선을 따라 한계대체율이 감소한다.

위에서, 무차별곡선은 일반적으로 우하향하고 볼록하게 그려진다고 언급하였다. 심화학습 3.3에서 카림의 선호에 대해서도 그렇게 가정했고, 이 절 본문의 앤절라의 선호에 대해서도 마찬가지로 가정했다. 앤절라는 카림과 마찬가지로 볼록선호를 가지고 있다고 말할 수 있다. 무차별곡선의 기울기 절대값, 즉 한계대체율은 가로축의 재화가 증가함에 따라 감소한다. 다시 말해서, 그 재화를 더 많이 가질수록, 다른 재화를 얻기 위해 그 재화를 더 많이 내 놓을 용의가 있다는 것을 의미한다. 이는 타당해 보인다. 무차별곡선을 식으로 나타낼 때에는 한 축의 재화에 대한 다른 축의 재화의 함수로 나타내는데, 그 함수는 볼록함수이다.

준선형, 준선형함수

효용함수가 하나에 재화와는 선형 관계이고 다른 재화와는 비선형 관계일 때, 이를 준선형함수라고 한다. 두 재화 간의 한계대체율은 비선형 관계인 재화에만 의존한다.

하지만 앤절라의 소비와 자유시간에 대한 선호는 또 다른 특별한 성질을 가지고 있다. 앤절라의 무차별곡선들은 서로에 대해서 수직으로 평행이동한 것이다. 이 성질을 준선형성이라고 한다. 이 절의 본문에서 설명한 바와 같이, 곡물과 자유시간 간의 MRS는 자유시간의 양에 따라 달라지지만, 자유시간이 일정하다면 곡물의 양이 더 많아지거나 적어져도 MRS가 변하지 않는다는 것을 의미한다. 선호가 준선형이라는 가정은 일반적으로 그다지 타당하지 않지만, 일부 모형에서는 문제의 특정 측면에 집중하게 해 주는 유용한 단순화 과정이다.

\(t\)를 앤절라의 1일 자유시간, \(c\)를 하루에 소비하는 곡물의 부셸 수라고 하자. 준선형성은 그림 5.3b에서 설명했는다(아래 그림 E5.3은 그림 5.3b를 다시 그린 것이다) 임의의 점에서 MRS는 무차별곡선의 기울기임을 기억하자. 그림은 \(t=18\)일 때 무차별곡선들의 모든 접선이 평행함을 보여준다. 즉 앤절라가 18시간의 자유시간을 가지고 있다면, 앤절라가 얼마나 많은 곡물을 소비하든 MRS는 동일하다.

준선형선호는 다음과 같은 형태의 효용함수로 나타낼 수 있다:

\[u(t, c) = c + v(t)\]

여기서 \(v\)는 \(t\)에 대해 증가함수인데(즉 \(v'(t)\gt 0\)), 이는 앤절라가 자유시간이 많은 쪽을 더 선호한다는 것을 의미한다. 이 효용함수는\(c\)에 대해서는 선형이기 때문에 준선형이라고 부른다. 이제 이 효용함수가 필요한 성질을 가지고 있음을 보일 것이다.

심화학습 3.3에서 어떤 효용함수에서든 MRS는 한계효용의 비율이라는 것을 보였다.

\[\text{MRS} = \frac{\partial u}{\partial t} \left/ \frac{\partial u}{\partial c} \right.\]

이 공식을 준선형효용함수에 적용하면, \(\frac{\partial u}{\partial t}=v'(t)\)이고 \(\frac{\partial u}{\partial c}=1\)이므로, 다음을 얻는다.

\[\text{MRS} = v'(t)\]

따라서 앤절라의 소비와 자유시간 간의 MRS는 앤절라의 자유시간 \(t\)에 따라 달라지지만, 소비량 \(c\)에는 의존하지 않는다.

이 결과는 직접 유도할 수 있다. 무차별곡선의 식은 \(v(t)+c=u_0\)이며(여기서 \(u_0\)은 상수이다), 이 식을 정리해서 \(c\)를 \(t\)로 나타내면 다음과 같다.

\[c=u_0-v(t)\]

따라서 무차별곡선의 기울기는 \(\frac{dc}{dt}=-v'(t)\)이며, MRS는 기울기의 절대값인 \(v'(t)\)이다.

무차별곡선을 이렇게 식으로 표현하면 무차별곡선들이 서로 수직으로 펑행이동한 관계라는 것도 드러난다. 효용 수준 \(u_0\)에 해당하는 무차별곡선과 더 높은 효용 수준 \(u_1\)에 해당하는 무차별곡선 사이의 수직 거리는 \((u_1-v(t))-(u_0-v(t))=u_1-u_0\)이며, 이는 \(t\)가 변해도 달라지지 않는다.

볼록한 준선형선호

그림 E5.3에 그려진 무차별곡선들은 준선형이면서 동시에 볼록하다. 여기 그려진 무차별곡선들은 오른쪽으로 갈수록 평평해지는 MRS 체감이라는 일반적인 성질을 갖고 있다. 그런데, 준선형함수에서 MRS는 \(v’(t)\)이므로 \(t\)가 증가하면 \(v’(t)\)는 감소한다. 즉 다음 조건이 만족하면 준선형선호는 볼록하다.

\[v''(t) < 0\]

다소 혼란스럽게 들릴 수도 있지만, 이는 \(v(t)\)가 오목함수여야 함을 의미한다. 위에서 언급한 것처럼, 무차별곡선 식을 정리하여 \(c\)를 \(t\)의 함수로 나타내면,\(c=u_0-v(t)\)이다. 이제 다음을 얻는다.

\[\frac{dc}{dt}=-v'(t) \text { 그리고 }\frac{d^2c}{dt^2}=- v''(t)\]

따라서 \(v(t)\)가 오목하다는 것(즉 \(v''(t)<0\))은 무차별곡선이 볼록하다는 것의 필요충분조건이다.

왜 선호가 준선형이라는 가정을 사용하는가?

준선형 효용함수를 사용하는 것은 선호에 대해 엄격한 가정을 하는 것이며, 모든 경제 모형에서 타당한 것은 아니다. 하지만 이 가정은 매우 유용한 함의를 가진다. 이 가정하에서 효용은 “\(c+\) 무언가”로 표현되기 때문에, 효용이 소비와 동일한 단위로 측정될 수 있다. 앤절라는 \(t\)시간의 자유시간을 \(v(t)\) 부셸의 곡물만큼 가치있게 여긴다.

이 가정은 자유시간을 중요하게 여기면서, 동시에 노동을 통해 얻은 소득으로 구입할 수 있는 모든 재화를 가치 있게 여기는 노동자의 모형에서 특히 유용하다. 앤절라가 단순히 곡물을 소비하는 것이 아니라, 곡물을 시장에서 팔아 그 수익으로 다른 음식, 옷, 또는 다른 그 어떤 것이라도 구매할 수 있다고 해 보자. 준선형성을 가정하면 자유시간을 제외한 모든 것들에 대해서 동일한 단위, 즉 화폐소득으로 그 가치를 평가할 수 있다. 다시 말해, 앤절라의 선호를 준선형으로 모형화하면 소비, 자유시간, 또는 둘 모두의 변화로 인한 전체적인 효용의 증가와 감소를 화폐소득으로 측정할 수 있다.

준선형성: 수치예

효용함수를 다음과 같이 준선형함수로 가정해 보자.

\[u(t,\ c) = c+ \beta t^\alpha\]

\(\beta\)와 \(\alpha\)는 양의 상수이고 \(\alpha<1\)이다. 이 함수의 일반 형태는 \(v(t)+c\)이며, 여기서 \(v(t)\)를 \(v(t)=\beta t^\alpha\)로 놓은 것이다. 이 함수가 위에서 본 준선형효용함수임을 보이려면 \(v\)가 \(t\)에 대해 증가하는 오목함수임을 보여야 한다.

\[v'(t)= \alpha \beta t^{\alpha -1}\]

\(\beta\)와 \(\alpha\)가 양수이므로

\[v''(t)= (\alpha -1)\alpha \beta t^{\alpha -2}\]

는 음수이다(\(\beta>0\)이고 \(0<\alpha<1\)이므로).

이와 다른 방식으로 무차별곡선 식으로부터 출발할 수도 있다. 무차별곡선 식인 \(c=u_0-\beta t^\alpha\)를 \(t\)로 미분해서 \(\frac{dc}{dt}\)와 \(\frac{d^2 c}{dt^2}\)를 구해보면 같은 결과를 얻는다.

더 읽어보기: 다음 책의 14.1절과 17.3절, 그리고 17.3절을 참고할 수 있다. Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.