5단원 게임의 규칙: 누가 무엇을 얻는가? 왜 그런가?
5.5 제도, 그리고 자영 농부의 사례
논의의 출발점으로 기본 사례로서 앤절라가 농장을 직접 소유하고 있다면 어떤 선택을 할지 생각해 보는 것이 도움이 될 것이다. 앤절라는 몇 시간 일할 것이며, 얼마나 많은 곡물을 소비할 것인가를 분석해 볼 것이다. 그리고 나서 브루노가 토지를 소유하고 있는 세 가지 다른 제도적 상황을 고찰해 볼 것이다. 각각의 경우에 대해 생산된 곡물의 총량이 얼마인지, 앤절라는 몇 시간을 노동하게 될지 그리고 앤절라와 브루노가 각각 얼마씩 곡물을 얻게 되는지를 확인해 볼 것이다. 그리고 게임의 규칙에 따라 결과가 각각 어떻게 달라지는지 살펴 볼 것이다.
그림 5.6은 각 경우에서 게임의 규칙이 어떻게 달라지는지를 요약하고 있다.
- 재산권
- 소유권의 법적 보호. 여기에는 타인을 배제할 권리와 소유한 것을 통해 이익을 얻거나 팔 수 있는 권리도 포함된다. 재산권은 사법 체계를 통해 보호될 경우, 깨끗한 물, 안전, 교육 등 광범위하게 정의된 재화에도 적용될 수 있다.
- 앤절라의 노동시간이 어떻게 결정되는가: 앤절라가 결정하는 경우, 브루노가 결정하는 경우, 혹은 두 사람 사이의 교섭에 의해 결정하는 경우.
- 앤절라의 대안(앤절라가 가지고 있는 차선의 선택지): 브루노의 강압으로부터의 탈출하는 경우, 혹은 다른 일자리를 찾는 것이 가능한 경우.
- 정부의 역할: 브루노가 앤절라에 대한 강압을 집행할 수 있게 하는 경우, 앤절라의 자율성을 보호하면서도 브루노가 재산권을 행사하도록 지원하는 경우, 선출된 정부의 승인하에서 두 사람 간의 협상을 용이하게 하는 조치를 취하는 경우.
| 자영 농부일 때 기본 사례: 앤절라가 토지를 소유하는 경우 |
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|---|---|---|
| 앤절라는 토지를 직접 소유하고 있다. 정부는 앤절라의 권리, 즉 자신의 토지(혹은 그 생산물)로부터 타인을 배제할 권리를 보호한다. 앤절라의 결정: 몇 시간 일할지, 그리고 곡물을 얼마나 생산하고 소비할지를 앤절라가 결정한다. |
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| 지주와 농부 브루노가 토지를 소유하고 앤절라가 이를 경작한다. 제도적 조건에 따라 발생하게 될 상황이 다르다. |
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| 사례 1 강제노동 |
사례 2 수락 또는 거부의 양자택일 계약 |
사례 3 민주주의하에서의 협상 |
| 게임의 규칙 | ||
| 브루노는 앤절라에게 자신을 위해 곡물을 생산하도록 강제할 수 있다. 이 곡물은 브루노가 소유한다. 브루노의 결정: 앤절라가 몇 시간 일해야 하는지, 그리고 앤절라가 곡물을 얼마나 소비할 수 있는지를 결정한다. 앤절라의 결정: 복종할 것인지, 탈출을 시도할 것인지, 아니면 다른 농부들과 함께 반란을 일으킬 것인지 중에서 결정한다. 물론 후자의 두 경우에는 목숨을 잃을 위험도 있다. |
브루노는 앤절라에게 고용계약 또는 농장 임대계약을 제시하며, 앤절라는 이를 수락하거나 거부하는 양자택일의 선택만 할 수 있다. 계약조건에 대한 협상의 여지는 없다. 브루노는 앤절라를 물리적으로 위협할 수 없으며, 앤절라는 제안을 거부하고 다른 곳에서 일자리를 구할 수 있다. 필요하다면 정부는 브루노의 재산권을 보호하고 계약을 집행할 것이다. 브루노의 결정: 앤절라에게 어떤 계약을 제시할지를 결정한다. 앤절라의 결정: 브루노의 계약을 수락할 것인지 거부할 것인지. 또한, 임대계약을 수락할 경우, 몇 시간 일할지를 결정한다. |
브루노는 앤절라에게 계약을 제시한다. 앤절라는 계약을 수락 또는 거부하거나, 새로운 대안적인 계약조건을 협상할 수 있다. 앤절라와 다른 농부들은 투표권을 가지고 있다. 이는 노동자들이 노동시간의 상한을 설정하고 사례 2에서 앤절라가 얻는 임금과 동일한 수준의 최저 임금을 규정하는 법률을 통과시킬 정부에게 투표할 수 있게 해 준다. 브루노와 앤절라의 협상: 앤절라와 다른 이들은 자신의 선택지를 개선하기 위해 투표를 한다. 그 후, 앤절라와 브루노는 계약을 협상한다. |
그림 5.6 제도적 조건에 따라 달라지는 게임의 규칙
기본 사례: 자영 생산자가 토지를 소유할 때
먼저 앤절라가 자신이 경작하는 토지를 직접 소유하는 기본 사례부터 검토해 보자. 앤절라는 자신의 노동시간을 선택하고, 자신이 생산한 곡물을 소비한다. 이 사례에서는 다른 인물이 등장하지 않으며, 오직 앤절라만 존재하므로 사회적 상호작용은 없다. 소득 분배 문제도 발생하지 않는다.
토지 보유 방식을 둘러싼 제도들
개인이나 가구가 토지를 소유하는 것은 사유재산의 한 형태로, 이는 소유자가 그 토지의 사용이나 그 생산물의 향유에서 다른 사람들을 배제할 수 있으며 그 재산을 자유롭게 판매하거나 증여할 수 있음을 의미한다. 사적소유는 여러 가지 토지 소유 제도 중 하나로, 토지를 누가 사용하고 사고 팔 수 있는지와, 사용, 매매, 구매가 이루어지는 조건을 규정하는 (서면 혹은 비공식적인) 규칙들이다. 사적소유 외에도 토지를 보유하는 또 다른 형태로는 공동보유(예를 들어 한 공동체의 구성원들이 공동 목장에서 가축을 방목할 권리를 가질 수 있는 경우), 개방자원, 즉 특정 권리가 누구에게도 부여되지 않으며 누구도 배제될 수 없는 자원(예를 들어 대양과 일부 산림), 그리고 국가소유 즉, 재산권이 국가나 주 정부와 같은 공공 부문의 일부 기관에 소유권이 부여되는 경우가 있다.
앤절라가 토지를 소유하고 있다는 것은 다른 사람들이 그 토지를 사용하거나 그 토지로부터 생산물을 얻는 것을 배제할 수 있음을 의미한다. 필요한 경우 정부는 이 권리를 집행하여 이를 침해하려는 사람을 처벌한다.
앤절라가 자영 농부일 때의 의사결정
앤절라가 농장을 스스로 운영하고 자신이 생산한 모든 곡물을 소비할 수 있을 때, 3단원에서 카림의 선택을 분석할 때 나왔던 것과 유사한 제약하에서의 선택 문제에 직면하게 된다. 앤절라는 가능한 자유시간과 소비의 조합 중에서 최고의 효용을 얻을 수 있는 점을 찾고자 한다.
카림과 마찬가지로, 앤절라는 실행가능경계 상에서 가장 높은 무차별곡선과 만나는 점을 선택할 것이다. 그림 5.7을 통해 앤절라가 얼마나 많은 곡물을 생산하며 얼마나 많은 자유시간을 가질지 확인해 보자.
그림 5.7 독립 농부 앤절라의 자유시간과 곡물 간의 선택
실행가능경계
앤절라가 할 수 있는 최선의 선택
효용극대화를 위한 조건으로서의 MRS = MRT
이 그림은 앤절라가 A점을 선택할 것임을 보여준다. 이 점에서 앤절라는 16시간의 자유시간과 46부셸의 곡물을 가지며, 두 교환관계가 균형을 이룬다. 즉, 곡물과 자유시간 사이에 기꺼이 감수하고자 하는 교환관계(MRS)가 기술에 의해 제약된 교환관계(MRT)와 같아진다.
이 교환관계를 생각해 보면 왜 이것이 앤절라가 할 수 있는 최선의 선택인지를 또 다른 방식으로 이해할 수 있다. 예를 들어, 앤절라가 16시간보다 긴 자유시간을 선택했다고 가정해보자. 그러면 실행가능경계의 기울기는 더 가파르고, 무차별곡선의 기울기는 A점보다 더 평평해지므로 MRT > MRS가 된다. 이것은 앤절라가 자유시간을 한 시간 줄여서 얻을 수 있는 곡물의 양이, 자유시간을 줄이는 대가로 받아들이겠다고 생각하는 곡물의 최소량보다 더 많다는 것을 의미한다. 따라서 앤절라는 자유시간을 줄임으로써 효용을 높일 수 있다. 마찬가지로, 만약 앤절라가 16시간보다 더 적은 자유시간을 선택했다면, MRT < MRS가 되어, 자유시간을 늘리고 곡물 생산을 줄여서 효용을 증가시킬 수 있을 것이다.
이 예시에서 A점에서의 자유시간과 곡물의 조합을 앤절라의 생활 수준의 측정치로 생각할 수 있다. 그림 5.8은 이 결과를 요약한다.
| 앤절라의 자유시간 | 16 |
| 앨절라의 곡물(부셸) | 46 |
| 브루노의 곡물(부셸) | 해당없음 (브루노는 이 시나리오에 등장하지 않음) |
그림 5.8 The outcome in the baseline case.
이것이 앨절라가 자영 농부로서 할 수 있는 최선의 선택이다. 다음 절에서는 브루노가 토지를 소유할 때 나타날 수 있는 세 가지 경우를 각각 고찰해 볼 것이다. 예상할 수 있듯이 앤절라가 브루노를 위해 일해야 할 때 앤절라의 생활 수준은 낮아질 것이다.
확인문제 5.2 다음 중 옳은 것을 모두 골라라.
아래 그림은 앤절라의 실행가능경계와 몇 개의 무차별곡선을 보여준다. 이 정보를 바탕으로 다음 진술을 읽고, 그 중 옳은 것을 모두 골라라.
- B점에서 앤절라의 무차별곡선의 기울기(앤절라의 MRS)는 A점보다 가파르다. 이는 (자유시간의) 한계효용체감 때문이다.
- 앤절라가 실행가능경계를 따라 B점에서 벗어나 오른쪽으로 이동한다면, A점에 도달할 때까지 효용이 증가한다. 예를 들어, 자유시간이 12시간일 때는 실행가능경계와 무차별곡선이 교차하고, 이 무차별곡선은 B점을 통과하는 무차별곡선보다 더 높은 곳에 그려질 것이다(이 무차별곡선은 그림에는 표시되지 않았다).
- 곡물 생산의 기회비용은 MRT이다. 앤절라가 한 시간의 자유시간을 추가하기 위해 기꺼이 포기하려는 곡물의 양은 MRS로 나타난다. B점에서 실행가능경계는 IC_3보다 평평하며, MRT < MRS이다.
- 주어진 기술로 도달할 수 없기 때문에 앤절라는 C점을 선택하지 못한다.
심화학습 5.5 앤절라의 노동시간 선택
심화학습 5.4에 이어, 우리는 준선형선호를 가진 자영 농부 앤절라의 노동시간 선택을 분석하기 위해 제약하에서의 선택 문제를 해결하는 미적분법을 적용할 것이다. 이 방법은 심화학습 3.5에서 설명하였으며, 이 심화학습을 읽기 전에 다시 읽어볼 필요가 있다. 여기서는 일반적인 경우와 특수한 경우의 예시를 모두 다룬다.
자영 농부 앤절라는 하루를 노동과 자유시간으로 나눈다. 노동을 통해 곡물 \(y\)를 생산하며, 이는 앤절라가 소비하는 양이기도 하다. 1일 자유시간은 \(t\)로 표시되며, 하루에 소비하는 곡물의 부셸 수는 \(c\)로 표시된다.
심화학습 5.4에서 다음과 같이 설명했다.
- 앤절라는 볼록한 준선형선호를 가지므로, 앤절라의 효용함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
여기서 \(v\)는 증가하는 오목함수이며, 한계대체율(MRS)은 \(v'(t)\)이다.
- 곡물 생산을 위한 앤절라의 실행가능경계는 다음과 같다.
여기서 \(g(24-t)\)는 생산함수이며 증가하고 오목하다. 한계변환율(MRT)은 \(g'(24-t)\)이다.
그리고 앤절라는 자신이 생산한 모든 곡물을 소비할 수 있으므로 \(c=y\)이다. 따라서 소비에 대한 실행가능경계는 \(y=g(24-t)\)이며, MRT는 \(g'(24-t)\)이다.
3.5절의 카림과 3.7절의 학생처럼 앤절라도 제약하에서의 선택 문제에 직면해 있다.
독립 농부의 제약하에서의 선택 문제
\(c=g(24-t)\) 제약하에서, \(u(t,c)\)를 극대화하는 \(t\)와 \(c\)를 선택하라.
이 문제는 심화학습 3.5에서 설명한 두 가지 방법 중 어떤 것으로도 풀 수 있다. 즉, MRT=MRS 조건을 적용해도 되고, 제약식을 목적함수 \(u(t, c)\)에 대입한 후 미분하여 구할 수도 있다. 어느 방법을 사용하든 1계조건으로 다음 식이 도출된다.
\[v'(t) = g'(24-t)\]효용을 극대화하는 \(t\)값은 위 식을 만족해야 한다. \(t\)값을 구하고 나면 제약식을 사용하여 \(c\)값 구할 수 있다.
\[c=g(24-t)\]수치예
앤절라의 준선형효용함수가 \(u(t, c)=v(t)+c\)로 주어진다고 해 보자. 여기서 \(v(t)\)를 다음과 같이 가정하자.
\[v(t) = 4\sqrt{t}\]이 함수가 증가하는 오목함수이며 볼록한 준선형선호가 되기 위한 필요한 조건을 충족하고 있음을 미분을 통해 확인할 수 있다.
둘째로, 앤절라의 생산함수가 \(y-2\sqrt{2h}\)라고 가정하자. 여기서\(h\)는 노동시간이다. 이 때 앤절라의 실행가능경계의 식은 다음과 같다.
\[c = 2\sqrt{2(24-t)}\]이 함수도 감소하는 오목함수라는 것을 미분을 통해 확인할 수 있다. 이로부터 한계변환율과 한계대체율을 계산하면 각각 다음과 같다.
\[\text{MRT} = -g'(t) = \frac{2}{\sqrt{48 -2t}}\ \text{ , } \quad \text{MRS} = v'(t) = \frac{2}{\sqrt{t}}\]1계조건 MRT=MRS는 \(\frac{2}{\sqrt{48-2t}}=\frac{2}{\sqrt{t}}\)이며, 이를 풀면 \(t=16\)을 얻을 수 있다. 이에 해당하는 \(c\)값은 \(c=2\sqrt{48-32}=8\)이다.
그림 E5.4는 이 예시의 해를 보여준다. 앤절라는 하루에 16시간의 자유시간을 갖고 8시간 동안 일하기로 선택한다. 이때 8부셸의 곡물을 소비한다.
그림 E5.4 .효용이 \(u=4\sqrt{t}+c\)이고 실행가능경계가 \(c = 2\sqrt{2(24-t)}\)일 때, 제약하에서의 선택 문제의 해
이것이 극대값이라는 것은 도표에서도 명확히 드러나지만, 수학적으로 확인하려면 2계조건을 계산해 보면 된다.
일반적인 경우에 대한 추가 설명
위의 예시에서는 1계조건에 유일해가 있으며 그 해에서 극대값이 나온다. 그렇다면 함수 \(v\)와 \(g\)에 상관없이 항상 극대값이 단일해로 도출되는가? 세 가지 질문을 생각해 보자.
1. 해가 둘 이상 존재할 수 있는가?
일반적인 경우에 대한 1계조건은 다음과 같다.
\[v'(t) = g'(24-t)\]\(v(t)\)가 오목하므로 식의 좌변인 \(v'(t)\)는 \(t\)에 대한 감소함수(우하향하는 곡선)이다. \(g\)가 오목하므로 우변은 \(t\)에 대한 증가함수(우상향하는 직선)이다. 두 직선이 교차한다면, 한 번만 만날 수 있으며, 만나는 점이 해이다. 이는 해를 구할 수 있다면 그것은 하나라는 것 즉 유일해가 존재한다는 것을 의미한다.
2. 계조건에 해가 존재한다고 확신할 수 있는가?
두 함수 \(v\)와 \(g\)는 \(t\)의 실행가능한 범위인 \(t=0\)과 \(t=24\) 사이에서 교차하지 않을 수 있다. 이렇게 되면 1계조건의 해는 실행가능하지 않는다. 이 경우 앤절라의 최선의 선택은 \(t=0\)이나 \(t=24\) 중에 더 높은 효용을 주는 점이 될 것이다(이를 “모서리 해”라고 부른다).
모서리 해는 수학문제에서는 가능하지만, 경제적으로는 그다지 흥미롭지 않다. 만약 자영 농부인 앤절라가 전혀 일하지 않거나 또는 항상 일하기로 선택한다는 결과가 나온다면, 이는 어쩌면 우리가 선택한 \(v\)나 \(g\) 함수가 앤절라의 효용이나 기술을 적절히 나타내지 못했기 때문일 수도 있다.
3. 계조건에 해가 존재한다면, 그것이 극대값인가?
2계조건은 대입법으로 쉽게 확인할 수 있다. 목적함수의 2계도함수는 다음과 같다.
\[\frac{d^2u}{dt^2}= g''(24-t)+v''(t)\]\(v\)와 \(g\)는 모두 오목함수이므로, 모든 \(t\)값에 대해 \(g''\)와 \(v''\) 모두 음수이다. 따라서 1계조건의 해는 극대값임에 틀림없다.
위의 첫 번째와 세 번째 질문에 대해 “그렇다”라고 답할 수 있는 이유는 \(g\)와 \(v\)의 오목성 때문이다. 경제 문제를 수학적으로 모형화할 때, 수치예와 썼던 것 같은 특정 함수가 아닌 일반적인 함수를 종종 사용하는데, 이때 수학적 분석을 단순화하기 위해 오목성과 볼록성에 대한 가정을 세운다. 물론 이러한 가정이 경제적 해석을 통해 정당화될 수 있는지 반드시 확인해야 한다.
연습문제 E5.2 또 다른 수치예
앤절라의 친구도 농부라고 가정해보자. 그 친구의 생산함수는 \(c(t) = 100 \text{ ln } (25-t)\)이고, 효용함수는 \(u(t,c)= c + 75 \text{ ln } (t)\)이다. 여기서 \(t\)는 1일당 자유시간이고, \(c\)는 곡물의 부셸 수이다.
- 두 가지 방법 즉 대입법과 MRS = MRT을 사용하여 앤절라의 친구가 선택할 자유시간과 곡물의 부셸 수를 구해 보자(두 방법 모두에서 동일한 답을 얻어야 한다).
- 그림 E5.3과 같은 그림을 그려서, 1의 답을 설명해 보자(단 \(t=1, \dots, 24\)이다).
더 읽어보기: 다음 책의 17.1절과 17.3절을 참고할 수 있다. Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
