5단원 게임의 규칙: 누가 무엇을 얻는가? 왜 그런가?

심화학습 5.9 파레토효율곡선

앤절라와 브루노 사이의 상호작용에서 발생할 수 있는 실행가능한 배분은 많다. 예를 들어 브루노가 강제력을 사용할 수 있는 경우 강요할 수 있는 배분과, 수락 또는 거부의 양자택일 계약하에서 앤절라가 브루노에게 곡물의 일부를 임대료로 지불하는 조건으로 토지를 경작할 수 있게 하는 경우 나타날 수 있는 배분을 생각해 볼 수 있다. 이 심화학습에서는 수학적으로 파레토효율적인 배분의 집합, 즉 파레토효율곡선을 구해볼 것이다.

파레토효율적, 파레토효율성

어떤 배분에서 누구의 처지도 나빠지지 않으면서 최소한 한 사람 이상의 처지가 더 나아지는 실행가능한 대안적 배분이 존재하지 않을 때 그 배분을 파레토효율적이라고 말한다.

어떤 배분보다 파레토우월한 배분이 존재하지 않을 때, 그 배분은 파레토효율적이다. 즉, 다른 사람을 더 나쁘게 만들지 않고서는 어느 누구도 더 나아질 수 없는 배분이다. 브루노와 앤절라 사이의 파레토효율적인 배분을 결정하기 위해 그들의 선호에 대해서 먼저 생각해보자. 어떻게 해야 그들을 더 나은 상태로 만들 수 있을까?

이전 심화학습에서와 같이, 앤절라의 선호는 준선형효용함수 \(u(t, c)=v(t)+c\)로 나타내어지며, 여기서 \(t\)는 앤절라의 1일 동안의 자유시간, 그리고 \(c\)는 앤절라의 곡물 소비량을 나타낸다고 하자. \(v\) 함수는 증가함수이며 오목함수이다. 곡물을 생산하기 위한 실행가능경계는 \(y=g(24-t)\)인데, 여기서 \(y\)는 곡물 생산량을 나타낸다. \(g\) 함수는 증가함수이며 오목함수라고 하자.

브루노의 선호는 매우 단순하다. 브루노는 자신이 얻게 될 곡물의 양에만 관심이 있다. 브로노가 얻는 곡물의 양을 \(b\)라고 하자. \(b\)가 클수록 브루노의 처지는 개선된다.

앤절라와 브루노 간의 상호작용에서 발생할 수 있는 결과는 브루노가 \(b\)부셸의 곡물을 얻고 앤절라가 \(c\)부셸의 곡물과 \(t\)시간의 자유시간을 얻는 배분들이다. 생산기술이 주어져 있을 때 모든 가능한 배분 \((b, c, t)\)는 다음 조건을 만족해야 한다.

\[c+b \leq g(24-t)\]

즉 소비된 곡물의 총량이 생산된 곡물의 양보다 적거나 같아야 한다는 것이다. 여기서 \(c\geq 0\)과 \(b\geq 0\)을 가정하자.

파레토효율적인 배분을 구하는 한 가지 방법은 다음 문장에 따라 문제를 풀어보는 것이다. 즉 “브루노가 \(b\geq 0\)의 곡물을 받는 배분을 가정하자. 이때 이 배분이 파레토효율적일 필요충분조건은 브루노가 받는 곡물의 양이 주어졌을 때 앤절라가 가능한 한 최선의 상태에 있다는 것이다.”

브루노가 \(b \geq 0\)를 받을 때 앤절라가 가능한 한 최선의 상태에 있기 위해서는, 앤절라가 생산된 나머지 곡물을 모두 소비해야 하는데, 이 조건은 \(c+b=g(24-t)\)로 나타낼 수 있다. 따라서 우리는 다음과 같이 주어진 제약하에서의 선택 문제를 풀어 파레토효율적인 배분을 구할 수 있다.

이 문제는 대입법으로 풀 수 있다. \(c=g(24-t)-b\)를 목적함수 \(u(t, c)=v(t)+c\)에 대입하자. 이제 해야할 일은 대입 후에 얻어진 \(v(t)+g(24-t)-b\)를 극대화하는 \(t\)를 선택하는 것이다.

이를 \(t\)로 미분하고 그 값이 0이 되도록 놓으면, 1계조건은 다음과 같다.

\[v'(t) =g'(24-t)\]

1계조건은 심화학습 5.5에서 본 것과 같은데, \(v\)와 \(g\)가 모두 오목함수라는 가정하에서 최대 1개의 해를 갖는다. 그 해가 존재한다고 해보자. 그렇다면 소비량은 그렇게 구한 \(t\)를 이용하여 다음과 같이 구하면 된다.

\[c=g(24-t)-b\]

\(v’(t)=MRS\)이고 \(MRT=g’(t)\)임을 기억하자. 즉, 1계조건은 익숙한 식, 즉 MRT=MRS이다.

방금 푼 문제는 브루노가 \(b\)만큼의 임대료를 요구할 때 앤절라가 \(c\)와 \(t\)를 선택하면서 풀어야 했던 문제이다. 여기서 위의 결과를 모든 가능한 \(b\)에 대해 풀면 파레토효율적배분의 집합이 도출된다.

요약하면 배분 \((b, c, t)\)가 파레토효율적이기 위한 필요충분조건은 \(MRS=MRT\) 그리고 \(c+b=g(24-t)\)이다.

파레토효율곡선 그리기

위 분석은 모든 가능한 \(b\)값(즉, 브루노가 가져갈 곡물의 양)에 따라 \((b, c, t)\)가 효율적이 되도록 앤절라의 \((c, t)\)를 구할 수 있음을 보여준다. 0에서 \(g(24-t)\)사이에 있는 모든 \(b\)값에 대응하는 \((c, t)\)를 그림에 표시하면 파레토효율인 배분의 전체 집합, 즉 파레토효율곡선을 그릴 수 있다.

그림 E5.6은 심화학습 5.5 및 5.7의 예시에서 다루었던 앤절라의 무차별곡선과 생산의 실행가능경계를 나타낸다. 이 예제에서 사용된 효용함수는 \(u(t,\ c) =4\sqrt{t} + c\), 생산함수는 \(g(24-t)=2\sqrt{2(24-t)}\)이다.

효용함수가 준선형이기 때문에, \(t\)값이 같으면 모든 무차별곡선의 기울기가 동일하다는 것을 이미 알고 있다. 이는 이전 심화학습에서 언급한 바와 같이, 1계조건의 해는 \(c\)와 \(b\)값이 무엇이든 \(t=16\)이라는 것을 의미한다. 따라서 모든 파레토효율적인 점들은 \(t=16\)에서 그려진 수직선 상에 위치하며, 이때 곡물 총생산량은 8부셸이다.

파레토효율적인 배분을 모두 구하기 위해, 먼저 \(b=0\)일 때의 파레토효율적인 배분을 생각해 보자. 이 배분은 수직선 상의 배분 중 앤절라가 모든 곡물을 소비하는 배분이다. 즉, \(c=8\)인 인 P₁점이다. 만약 브루노가 소량의 곡물, 예를 들어 \(b=1\)을 받는다면 수직선을 따라 내려가 \(c=7\)인 점에 도달한다. 브루노의 몫이 증가함에 따라 수직선을 따라 점점 아래로 내려가게 되며, 그 과정에서 앤절라의 몫은 줄어든다. P₂에서는 브루노의 몫이 3, 앤절라의 몫이 5이다. 파레토효율곡선은 \(b=8\), \(c=0\)으로 이루어진 P₀까지이다. \(b\)가 더 커지면 앤절라의 소비가 음수가 되기 때문이다. 즉, 파레토효율곡선은 P₁과 P₀ 사이의 모든 점들로 구성된다.

선호가 준선형이 아닐 때

이 단원에서 분석한 모든 경우에서 준선형성의 가정은 문제를 단순화시켜 준다. 그러나 앤절라의 효용이 준선형이 아닌 경우에도 동일한 방법을 적용할 수 있다. 이 경우 파레토효율곡선은 수직선이 아니라 실제로 곡선이 된다.

이를 보이기 위해, 효용함수가 다음과 같이 콥–더글라스(Cobb-Douglas)의 형태를 가지는 경우의 파레토효율곡선을 도출해보자.

\[u(t,\ c) = t^{\alpha} c^{1- \alpha}\]

이 생산함수는 증가하는 오목함수로, 노동시간을 \(h\)라 할 때 \(f(h)=(48h-h^2)\)로 나타낼 수 있다고 해 보자. 이때 생산을 위한 실행가능경계 \(y=g(24-t)\)는 다음과 같은 형태가 된다.

\[y=\frac{(576-t^2)}{40}\]

그림 E5.7에는 이 수치예를 사용하여 그린 몇 개의 무차별곡선과 실행가능경계가 그려있다. 계산을 간단히 하기 위해 \(\alpha=\frac{8}{13}\)으로 가정했다.

그림의 세 개의 무차별곡선 위에 실행가능경계의 기울기와 같아지는 점들을 표시했다. 각 곡선 상에서 이 점들의 \(t\)값은 각각 다르다. 그림 E5.6의 준선형의 경우에서 \(t\)값이 같으면 기울기가 모두 같았던 것과는 다른 결과이다.

MRS를 계산하기 위해, 심화학습 3.30에서 유도했던 다음 공식을 사용해 보자.

\[\text{MRS} = \frac{\partial u}{\partial t} \left/ \frac{\partial u}{\partial c} \right. = \frac{\alpha c}{(1-\alpha)t}\]

앤절라의 자유시간과 곡물생산 간의 MRT는 일반적으로 실행가능경계의 우하향하는 기울기의 절대값인데, 계산해 보면 다음과 같다.

\[\text{MRT} = -\frac{dy}{dt} = \frac{t}{20}\]

파레토효율적인 배분 \((b, c, t)\)의 집합은 다음 문제를 풀어서 구할 수 있다.

\[c+b=g(24-t)\text{ 제약하에서 } u(t,\ c) \text{를 극대화하는 }t \text{와 } c \text{를 구하라.}\]

해는 동일한 다음의 두 조건, 즉 1계조건과 제약조건을 모두 만족시킨다.

\[MRT=MRS \text{ 그리고 } c+b=g(24-t)\]

이 수치예에서 사용한 함수에서는 다음과 같은 두 개의 식이 도출된다.

\[\frac{t}{20} = \frac{\alpha c}{(1-\alpha)t} \text{ ㄱ그리고 } c+b=\frac{576-t^2}{40}\]

위에서와 같이 \(\alpha=\frac{8}{13}\)이라고 가정하면, 1계조건은 다음과 같이 정리할 수 있다.

\[c=\frac{t^2}{32}\]

이는 파레토효율곡선의 식으로, 이 식을 만족하는 \(t\)와 \(c\)는 파레토효율적인 점들의 집합을 구성한다. 이 식은 파레토효율곡선이 원점에서 출발하며 \(t\)가 증가함에 따라 \(c\)가 증가하는 이차함수로 나타난다는 것을 알려준다.

이 수치예의 결과를 좀 더 잘 이해하기 위해서 이 곡선(그림 E5.8의 우상향하는 선)을 실행가능경계(우하향하는 선)와 함께 그려 보자. 그림을 단순하게 하기 위해 앤절라의 무차별곡선은 그리지 않았다. 하지만 무차별곡선도 함께 그린다면, \(t\)를 늘려감에 따라 우상향하는 파레토효율곡선 위에서의 무차별곡선의 기울기(MRS)는 모두 실행가능경계의 기울기(MRT)와 같을 것이다.

두 선이 교차하는 P₁은 \(b=0\)일 때 두 방정식의 해이다. 이 때 \(t=16\)이고 \(c=8\)임을 확인할 수 있다. 이때 앤절라는 8시간의 자유시간을 갖고 8부셸의 곡물을 생산하고 소비한다. 이 배분에서 브루노는 아무것도 얻지 못한다. 실행가능경계보다 아래에 있는 파레토효율곡선상의 각 점은 1계조건의 해로서, 실행가능경계상에서 생산된 곡물의 양이 두 사람 사이에 분배되는 경우들이다. 예를 들어, P₂에서 앤절라는 10시간의 자유시간을 가지고 11.9부셸의 곡물을 생산하는데, 이로부터 앤절라는 3.13부셸을 얻고 브루노는 8.78부셸을 얻는다(소수점 두 자리까지만 계산하였다).

원점인 P₀에서는 앤절라가 자유시간을 전혀 갖지 못한다. 여기서는 앤절라는 많은 양의 곡물을 생산하지만 아무것도 소비하지 않는다. 물론, 이 극단적인 결과에서는 앤절라가 생존할 수 없을 것이므로 이러한 결과는 나타나지 않을 테지만, 만약 발생한다면 이 결과도 파레토효율적이다.