이 책에서 사용될 수학에 대한 언급
<경제학 2.0>(The Economy 2.0)에서는 경제적 관계를 설명할 때 주로 말로 하거나, 그림 혹은 그래프를 사용한다. 아주 간단한 수식과 방정식이 사용되기도 한다. 예를 들어 예산제약이나 등비용선 등을 나타내는 경우나 생산함수를 $Y=f(X)$처럼 함수형으로 표현하는 경우가 그렇다. 기울기를 계산할 일이 있으면 직선으로 근사시켜서 분석을 진행한다. 이런 경우를 제외하면 가급적 수학의 사용을 꼭 필요한 경우로 한정짓고자 했다.
수학에 자신있는 학생들이라면 일부 절 마지막 부분에 있는 심화학습편을 보면 좋을 것이다. 거기서는 그 절에서 제시된 모형을 수학을 사용하여 좀 더 정교한 형태로 제시하고 있는데, 거기서는 이야기를 조금 더 깊이 들어갈 수 있다(몇몇 심화학습편에서는 수학을 사용하지 않고 그 절에서 다루었던 주제를 좀 더 깊이 논의하기도 한다).
심화학습은 독자들이 미적분에 대해 어느 정도 지식이 있다고 전제하고 쓰여졌다. 미적분은 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 폰 라이프니츠가 17세기 (독립적으로) 개발해 낸 수학적 분석 도구이다. 두 사람 사이의 라이벌 관계에 대해 조금 더 알고 싶으면 이 절 끝 부분에 해당 내용이 서술되어 있다.
우리가 활용하게 될 방법론은 다음 두 가지이다. 하나는 미분인데, 이를 통해 한 변수의 값이 변할 때 함수 내에 하나 혹은 그 이상의 변수가 어떻게 변화하는지를 분석할 수 있도록 해준다. 또 하나는 적분인데 이를 통해 그래프 아래의 면적을 계산해낼 수 있다.
심화학습은 반드시 읽어야 하는 부분은 아니다. 심화학습에 대한 이해가 없더라도 <경제학 2.0>에 나오는 모형들 이해하는 데 어려움은 없을 것이다. 하지만 심화학습을 따라갈 수 있다면 모형이 어떻게 작동하는지 등에 대한 추가적인 이해가 가능한 것도 사실이다. 심화학습에 나오는 수학적 분석들이 경제학자들이 수학을 활용하여 자신들의 모형을 어떻게 간결하고 깔끔하게 만들어내는지를 알게 해줄 것이다. 심화학습에 본격적으로 들어가기 전에 맛보기 문단이 나오는데, 이 문단을 읽고 심화학습으로 들어갈 것인지를 결정하면 된다. 맛보기을 통해 심화학습이 어떤 부분을 다루게 될 것인지, 그리고 어떤 사전 준비가 필요한지 등을 알 수 있을 것이다.
심화학습은 대부분 본문과 비교했을 때 수학과 방정식을 더 많이 활용한다. 방정식 풀이나 방정식을 이해하는 데 어려움이 없는 독자라면 그리고 그림을 활용한 분석에 익숙해진 상태라면 심화학습을 좀 더 쉽게 읽어나갈 수 있을 것이다. 심화학습 첫 부분마다 그 심화학습에 어떤 수학적 지식이 요구되는지(예를 들어 미적분에 대한 지식이 필요하다거나)를 밝혀두었다.
심화학습의 마지막에 그 편에서 다룬 수학적 기법에 대한 추가 읽기 자료를 제시했다. 다음 책의 일부분인 경우가 많다. Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
기호들
1변수 함수
| \(y=f(x)\) | 1변수 함수. \(x\)는 인수이고 \(y\)는 출력값. |
| \(\frac{dy}{dx}\) | \(f(x)\)의 1계편도함수 |
| \(f'( x)\) | \(f(x)\)의 1계편도함수의 또 다른 표현 |
| \(\frac{d^2 y}{dx^2}\) | \(f(x)\)의 2계편도함수 |
| \(f''( x)\) | \(f(x)\)의 2계편도함수의 또 다른 표현 |
적분
| \(y=f(x)\) | 1변수 함수. \(x\)는 인수이고 \(y\)는 출력값. |
| \(\int f(x) \, dx\) | \(f(x)\)의 부정적분 |
| \(\int _a^b f(x) \, dx\) | \(a\)에서 \(b\)까지 \(f(x)\)의 정적분 |
2변수 함수
| \(y=f (x,\ z)\) | 2변수 함수. \(x\)와 \(z\)는 인수이고 \(y\)는 출력값. |
| \(\frac{\partial f}{\partial x} \text{ or }\frac{\partial y}{\partial x}\) | \(z\)를 상수로 취급하고 \(f\)를 $x$로 미분해 얻은 도함수 |
| \(\frac{\partial f}{\partial z}\text{ or }\frac{\partial y}{\partial z}\) | \(x\)를 상수로 취급하고 \(f\)를 $z$로 미분해 얻은 도함수 |
| \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\) | \(z\)를 상수로 취급하고 \(f\)를 \(x\)로 2계미분해 얻은 도함수 |
| \(\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\) | \(x\)를 상수로 취급하고 \(f\)를 \(z\)로 2계미분해 얻은 도함수 |
| \(\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\) | 교차 편도함수; \(\frac{\partial f}{\partial x}\)를 \(z\)에 대해 편미분 한 것. |
| \(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)\) | 교차 편도함수; \(\frac{\partial f}{\partial z}\)를 \(x\)에 대해 편미분한 것. |
| \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z} \text{ or }\frac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial x}\) | 교차 편미분. \(\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\)과 \(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)\)는 같다. |
누가 미분을 발명했는가?
아마도 역사상 가장 유명한 과학적 논쟁은 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 폰 라이프니츠 사이에서 누가 미적분학을 발명했는가에 대한 것일 것이다.
아이작 뉴튼
고드프리 넬러경이 그린 초상, Wikipedia/Wikimedia Commons.
아이작 뉴튼 경(Sir Isaac Newton, 1642–1726)은 영국 수학자이자 물리학자이다. 지금까지 역사에서 가장 영향력 있는 학자 중 한 명으로 간주된다. 미적분학을 발명한 것 외에도 그는 중력의 법칙을 발견하고, 고전역학의 기초를 세웠으며, 광학이론에 중요한 공헌을 했고, 냉각법칙을 정립했다. 세 명의 군주 아래에서 조폐국장을 역임하면서, 거의 200년 넘게 국제통화체제에 핵심이었던 금본위제의 토대를 세운 인물이기도 했다.
뉴턴은 1666년 발간된 원고 한편에서 미적분 방법론을 최초로 사용했다. 이후 이 방법론은 1687년 발간된 그의 책 <자연철학의 수학적 원리>(Mathematical Principles of Natural Philosophy) 활용되기도 했다. 그는 1671년 미적분학에 대한 책 <유율법>(Method of Fluxions)을 완성했는데, 그 책은 1736년이 되어서야 출간되었다.
고트프리트 빌헬름 폰 라이프니츠
안드레아스 샤이츠가 그린 그림, Wikipedia/Wikimedia Commons.
고트프리트 빌헬름 폰 라이프니츠(Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646–1716)는 독일 수학자이자 철학자였다. 1675년 그는 적분을 사용하여 곡선 아래의 면적을 구했고, 지금 우리가 적분을 표시하는 S자를 길쭉하게 늘여쓴 모양인 $\int$ 기호와 미분을 나타내는 $d$ 기호를 처음 도입한 인물이기도 하다. 그의 철학 연구는 최선설에 초점이 맞춰져 있었는데, 이 이론은 신이 창조한 세상은 모든 가능한 세상 중 가장 좋은 세상이라는 주장이다. 그의 <신정론>(Theodicy)은 이후 볼테르가 자신의 소설 <캉디드>(Candide)에서 조롱거리가로 삼기도 했다.
뉴턴의 지지자들은 라이프니츠가 미적분에 대해 연구하면서 뉴턴의 업적을 표절했다고 비난한다. 라이프니츠의 명성은 그가 사망할 때까지 계속 쇠퇴했고 결국 그는 가난하게 죽었다. 그의 명성은 훗날 수학자들과 철학자들에 의해 재평가되었고 회복되었다.
현대 역사가들은 뉴턴과 라이프니츠가 거의 동시에 그리고 독립적으로 미적분학을 발명했다고 받아들이고 있다.
