6단원 기업과 노동자들
6.10 채용과 노동규율을 함께 보기: 임금설정모형
- 노동규율문제, 노동규율모형
- 피고용인들을 열심히 그리고 제대로 일하게 만들기 위해 인센티브가 제공되어야 할 때 고용주들은 노동규율문제에 직면하게 된다. 노동규율모형에 따르면 고용주들은 노동자들에게 이 기업으로부터 해고되는 경우 더 이상 받지 못하게 될 경제적 지대(고용지대)를 포함하는 수준의 임금을 지불함으로써 이 문제를 해결한다. 이와 관련하여 고용지대를 참조하라.
임금은 기업이 고용할 수 있는 노동자의 수와 피고용인들의 노동강도(즉 노동규율문제) 모두에 영향을 미친다. 기업이 어떻게 임금을 설정해야 이 두 문제를 모두 해결할 수 있을까? 일반적으로 특정한 고용 수준만큼 노동자를 채용하는 데 요구되는 임금 수준은 그들을 열심히 일하도록 동기부여할 정도에는 못 미칠 것이다.
- 유보임금
- 유보임금은 노동자가 새로운 일자리를 얻기 위해 수락할 의향이 있는 임금 가운데 가장 낮은 임금을 의미한다. 유보임금은 노동자가 차선의 일자리 선택지(유보선택지)로부터 얻을 수 있는 임금이다. 어떤 노동자의 차선책이 실업 상태라면 그의 유보임금은 새 일자리를 찾았을 때 그로부터 기대할 수 있는 임금과 실업기간 동안 받게 될 소득 등이 포함된다.
6.5절에서 이야기한 파리의 어학원 사례를 다시 살펴 보기로 하자. 이 어학원은 방문 학생들을 위한 단기 프랑스어 강좌 교사로 젊은 대졸자를 고용했다. 그림 6.10에는 어학원의 유보임금곡선이 나타나 있는데, 이 곡선은 N명의 노동자를 고용하기 위해 어느 수준의 임금이 제시되어야 하는지를 알려 준다. 강사가 되려고 하는 사람들은 임금이 자신의 유보임금보다 높아야만 일자리 제안을 수용할 것인데 이들은 각자의 실업효용에 따라 상이한 유보임금을 가지고 있다. 따라서 어학원이 더 많은 노동자를 채용하고 고용을 유지하기 위해서는 임금을 높여야 한다.
예를 들어 임금이 €650 이라면 어학원의 잠재적 채용인원은 유보임금이 €650와 같거나 그보다 더 낮은 사람으로만 한정되고 그랬을 때 최대 고용가능한 강사 인원은 40명이다. 만일 임금이 €700로 인상된다면 유보임금이 €650와 €700 사이에 있는 강사들도 유인할 수 있으며 이때 고용은 60명까지 늘어난다.
그림 6.10 어학원의 유보임금곡선
어학원이 임금을 €650으로 책정하고 40명을 고용한다면 이때 고용된 사람들은 €550과 €650 사이의 유보임금을 가질 것이다. 그런데 어학원은 이들이 더 열심히 일하기를 원하지만(왜냐하면 효과적인 수업을 위해서는 세심한 준비가 요구되기 때문이다) 모든 수업의 질을 모니터하고 평가하는 것은 불가능하다.
- 고용지대
- 일자리의 순가치가 차선책(즉 실업상태)의 가치를 초과할 경우 노동자가 누리는 경제적 지대. 이와 관련하여 경제적 지대를 참조하라.
자신의 유보임금이 €650인 강사 마크(Marc)의 경우를 살펴보자. 그는 임금이 €650일 경우 열심히 일하지 않을 것인데 왜냐하면 노력하지 않으면서 고용되는 것과 차선책인 실업 상태로 남는 것이 차이가 없기 때문이다. 피고용인에게 더 열심히 일할 유인을 제공하려면 임금은 반드시 유보임금 이상으로 정해져야 하는데 여기에는 두 가지 이유가 있다. 우선 피고용인들이 노력비용을 지출한 것에 대해 보상해 주어야 하고, 다음으로 일자리 상실이 피고용인들에게 큰 비용을 부과할 수 있어야 하기 때문이다. 달리 표현하자면 피고용인들은 고용지대를 받아야만 하고 그럼으로써 태만이 적발되어 해고되는 리스크를 지는 것보다 열심히 일하는 것을 더 선호해야 한다.
- 비태만임금
- 노동자가 노력을 제공하도록 동기부여시키는데 필요한 임금의 최소치. 이와 관련하여 비태만조건을 참조하라.
태만을 억제하는 데 필요한 두 요인은 노력비용 c와, 태만노동자가 발각되기까지 일자리를 지킬 수 있을 것이라고 기대하는 주 수 s이다. 유보임금 wr를 갖는 강사에 대해 태만을 막기에 충분한 비태만임금은 다음과 같이 결정된다.
\[w=w_r+c+\text{rent}(s,c)\]6.9절은 비태만임금에 관한 이 식이 어떻게 유도되었는가를 설명한다.
이제 모든 강사들에 대해 노력비용이 주당 €25이고, 필요한 고용지대 수준이 주당 €35라고 가정해보자. 이 경우 비태만임금은 다음과 같다.
\[\begin{align*} w&=w_r+25+35 \\ &=w_r+60 \end{align*}\]그림 6.11은 유보임금곡선 보다 €60 위에 비태만임금곡선이 위치한다는 점을 보여주고 있다. 잠재적 강사들을 그들의 유보임금의 크기에 따라 줄을 세운다고 한다면 유보임금이 €650인 마크는 40번째에 위치하고 유보임금이 €600인 프랑수와즈는 20번째에 위치한다. 각각 경우 그들의 비태만임금은 자신들의 유보임금보다 €60 더 높다.
그림 6.11 비태만임금곡선
만일 어학원이 40명의 강사를 고용하길 원한다면 무엇을 할 수 있을까? €650의 임금으로 그들을 충분히 채용할 수 있으나 이 임금에서는 마크, 프랑수아즈, 그리고 다른 이들의 절반 이상은 노동할 유인을 갖지 못할 것인다. 왜냐하면 그 임금 수준은 그들의 비태만임금보다 낮기 때문이다.
그림 6.11에 따르면 그 누구도 태만하게 하지 않으려면 어학원은 €710로 임금을 책정해야 한다.
여전히 문제가 하나 더 남아 있다. 만일 어학원이 임금으로 €710를 제안한다면 마크보다 더 높은 유보임금을 갖는 일부 노동자들도 그 제안을 수용하려고 할 것이다. 그러나 그들은 고용되더라도 태만하게 노동할 것이다. 왜냐하면 그들의 비태만임금은 €710를 넘을 것이기 때문이다. 이 문제를 해결하기 위해 기업은 응시자를 대상으로 한 인터뷰를 통해 더 많은 정보를 얻어내려고 할 것이고, 열심히 일할 것으로 기대되는 사람 즉 유보임금이 €650 이하의 사람들에게만 일자리를 제안할 것이다.
개별기업과 노동자들의 경우 고용계약 체결 이전 상대방에 대해 더 많이 아는 것이 중요한 데, 이것이 노동시장 매칭에 시간과 노력이 소요되는 이유 중 하나이다. 실제로 기업은 채용과정에서 대부분 인터뷰를 실시한다. 누가 열심히 일할지를 평가하는 것은 어려운 일이겠지만 현재의 간단한 모형에서는 기업이 완전하게 지원자를 선별할 수 있다고 가정할 것이다.
따라서 그림 6.11의 비태만선은 어학원이 주어진 수의 노동자를 고용하고 그들이 열심히 일하도록 만들기 위해 책정할 수 있는 최저한의 임금을 보여준다. 40명의 비태만노동자를 고용하기 위해 어학원은 €710의 임금을 책정하고 이 임금에서 열심히 일할 노동자만을 선별적으로 채용하게 된다.
- 실행가능집합
- 의사결정자가 주어진 경제적, 물리적 또는 기타 제약조건 하에서 선택할 수 있는 재화나 결과의 모든 조합. 이와 관련하여 실행가능경계를 참조하라
물론 이보다 더 높은 임금을 책정할 수도 있다. 만일 어학원이 €730로 임금을 책정한다면 각각의 공석에 더 많은 지원자가 몰릴 것이지만 어학원은 이들 중 단지 40명 고용 유지에 필요한 인원만을 선택하면 된다. 그림 6.12는 이 어학원의 임금과 고용에 대한 실행가능집합을 보여준다. 비태만임금 위의 모든 점들이 선택가능하다.
그림 6.12 실행가능집합
어학원 소유주가 가능한 한 많은 이윤을 벌기를 원한다면 어떤 수준의 임금을 책정해야 하는가? 이 질문에 답하기 위해 그들은 이윤이 어떻게 N과 w에 의존하는지 살펴봐야 한다.
이윤과 등이윤곡선
한 기업의 이윤은 판매수입에서 투입요소 비용을 차감한 것이다.
강사들 각자가 매주 y=€800의 수업료 수입을 창출한다고 가정하자. 모형을 단순화하기 위해 임금이 어학원의 유일한 투입요소 비용이라고 가정하자. 만일 w임금으로 N명의 강사가 고용된다면 강사 1명으로부터 순이윤은 800-w이고 따라서 어학원의 총이윤은 다음과 같다.
\[\begin{align*} \text{profit per week}&=(y-w) \times N\\ &=(800-w)N \end{align*}\]임금이 €800이하인 한 어학원은 이윤을 벌 것이다. 임금 w가 낮을수록, 고용 강사 인원수 N이 클수록 이윤이 커진다.
- 등이윤곡선
- 기업에 동일한 이윤을 가져오는 가격과 수량의 조합을 연결한 곡선.
동일한 크기의 이윤을 가져다주는 w와 N의 조합들을 찾아내서 이들을 연결해 볼 수 있다. 예를 들어 N= 10이고 w= €650인 경우 이윤의 크기는 €1,500이다. €1,500의 이윤을 얻을 수 있는 다른 방법도 있는데, N= 40과 w= €762.50을 조합하거나 혹은 N= 75와 w= €780의 조합하는 것 등이 그 중 하나이다. 그림 6.13에 이 세 점들을 통과하는 곡선을 그렸는데, 이 곡선은 모두 동일한 €1,500 이윤을 낳는 N과 w의 상이한 조합으로 이루어진다. 이 곡선을 등이윤곡선(isoprofit curve, 여기서 “iso”는 그리스어로 “같은”이라는 의미를 갖는다)이라고 부른다. 그림 6.13의 각 단계를 밟아가면서 어떻게 다른 등이윤선이 그려지는지를 알아 보자.
그림 6.13 이윤 = (800 – w) × N일 때의 등이윤곡선
€1,500의 이윤을 벌기 위한 상이한 방법들
영(0) 이윤선
또 다른 등이윤선
더 높은 위치의 등이윤곡선들
- 무차별곡선
- 개인에게 동일한 수준의 효용을 제공하는 모든 상품의 조합을 연결한 곡선.
등이윤곡선을 기업의 무차별곡선으로 이해할 수 있다. 기업은 동일한 크기의 이윤을 가져다 준다면 w과 N의 조합이 어떻든 이들에 대해 무차별하기 때문이다. 등이윤곡선은 다음과 같은 성질을 갖는다.
- 등이윤곡선은 우상향한다: 예를 들어 A점에서 출발해 보자. 노동자 수가 늘어나면 총이윤을 일정한 크기로 유지시키기 위해 노동자 1인당 이윤의 크기는 줄어들어도 된다. 따라서 임금을 더 올려줘도 된다.
- 등이윤곡선은 그림의 우측 하단에 가까이 위치할수록 더 높은 수준의 이윤을 나타낸다: 우측하단에서는 N은 높고 w는 낮다.
- 등이윤곡선은 모두 비슷한 곡선 모습을 가지고 있다: 곡선들은 N과 w이 모두 낮을 때 가파르고, N과 w 모두 높을 때 아주 평평하다.
마지막 성질을 이해하기 위해 노동자수 N을 한 명씩 늘려 나가면 어떤 일이 발생할지를 생각해보라. 동일한 등이윤곡선 위에 머물기 위해(즉 이전과 동일한 크기의 이윤을 벌기 위해) 얼마나 임금을 변동시켜야 하는가? 그림 6.14는 1,500을 나타내는 등이윤곡선 상의 두 점에 대해 계산한 결과를 보여 주고 있다.N과 w가 낮을 때에는 노동자를 1명 추가할 때 이윤이 크게 증가하기 때문에 이를 상쇄하려면 w를 크게 상승시켜야 한다. 이때 곡선의 기울기는 크다. N과 w가 모두 높을 때는 노동자를 추가할 때 증대되는 이윤의 크기가 작기 때문에 이때에는 임금을 크게 조정할 필요가 없다.
| 1,500 등이윤곡선 위 두 점을 비교하기 | N을 1만큼 증대시킬 경우 동일한 곡선 위에 머물기 위해 임금을 얼마나 올려야 하는가 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| N | w | 이윤 | 노동자 1인당 이윤 | N + 1 | 이윤증가폭 | 이윤을 일정하게 유지하기 위한 임금 상승폭 | 기울기 | |
| 낮은 w와 N | 5 | 500 | 1,500 | 300 | 6 | 300 | 300/6 = 50 | 크다 |
| 높은 w와 N | 75 | 780 | 1,500 | 20 | 76 | 20 | 20/76 = 0.26 | 작다 |
그림 6.14 등이윤선 상 두 점에서의 기울기 계산
이윤을 극대화하기
이윤은 N이 높고 w가 낮을 때 높다. 그러나 N과 w의 모든 조합이 실행가능한 것은 아니다. 어학원의 최선의 선택은 실행가능집합 범위 안에서 가장 이윤이 높은 조합을 찾아내는 것이다. 그림 6.15는 등이윤곡선과 (N, w) 조합의 실행가능집합(비태만곡선 상에 있는 점과 그보다 위 영역에 있는 점들)을 함께 보여주고 있는데 이를 통해 이윤극대화 점을 찾을 수 있다.
그림 6.15 실행가능집합 안에서 가장 높은 이윤점은 어디에 위치해 있는가?
€5,000 이윤을 제공하는 점들은 선택가능하지 않다. 따라서 기업은 €5,000 등이윤곡선 위의 점은 선택할 수 없다. 그러나 €3,000 혹은 이보다 더 높은 이윤에 대응하는 점들 중 일부는 선택가능하다.
비태만임금곡선 상의 점들이 그보다 수직 방향으로 더 위에 위치한 점들보다 언제나 이윤이 더 높다. 따라서 어학원은 이 곡선 상에 위치한 점들을 선택할 것이다. 이는 어학원이 주어진 고용 수준에 대해 책정하게 될 임금 수준을 말해준다.
그림 6.16에는 기업이 도달할 수 있는 가장 높은 등이윤곡선이 그려있다. 이 곡선은 €3,610의 크기의 이윤을 나타내는 곡선인데, 이 곡선은 비태만임금곡선과 접한다.
그림 6.16 w= €705 , N= 38인 E점에서 최대이윤 €3,610에 도달한다.
이 기업은 E점에서 실현가능한 최대의 이윤을 벌게 되는데, 여기서 기업은 €705임금으로 38명의 강사를 고용한다.
이윤은 비태만임금곡선과 등이윤곡선의 접점에서 극대화되는데 이는 3단원에서 예산선이 무차별곡선과 접했을 때 효용이 극대화되는 것과 같다.
그 이유를 이해하기 위해 비태만임금곡선을 따라 움직인다고 해 보자. N의 값이 작은 수직축 근방에서 출발해보자. 거기서는 이윤은 낮다. 이제 선을 따라 이동하면 €1,500의 등이윤곡선을 만나고 그 다음에는 €3,000의 등이윤곡선을 만날 것이다. 이렇게 이동함에 따라 이윤은 €3,610에 조응하는 E점에 도달할 때까지 계속 높아진다. 그러나 이 점을 지나면 계속 이동하면서 이윤은 하락하기 시작한다. €3,000 곡선을 만나고, 또 €1,500 곡선을 만난다. 따라서 E점이 최선의 선택이다.
우리가 지금 살펴보고 있는 임금설정모형은 다음 사실들을 알려준다.
- 기업이 고용할 수 있는 노동자 수는 임금과 잠재적인 피고용인들의 유보임금(유보임금곡선)에 달려 있다. 고용을 증대시키려면 더 높은 유보임금을 가진 피고용인을 채용해야 하고 그러기 위해서는 임금을 높여야 한다.
- 기업은 비태만임금곡선 상에서 임금을 선택하는데, 비태만임금곡선은 유보임금곡선 위에 위치한다. 두 곡선 사이의 격차가 노력비용 그리고 태만을 억제하는 데 필요한 고용지대이다.
- 기업은 비태만임금곡선 상의 점들 중에서 가능한 가장 높은 곳에 위치한 등이윤곡선과 만나는 점을 선택한다.
- 노동시장 지배력
- 기업이 자신이 고용하는 노동자 수를 줄여서 노동자에게 지급할 임금을 낮출 수 있다면 기업이 노동시장 지배력(때때로 이를 수요독점 지배력이라고도 부른다)을 가지고 있다고 말한다.
이 모형에서 기업은 상충관계에 직면한다. 더 많은 노동자를 고용하기 위해서는 임금을 인상시켜야 하기 때문이다. 임금이 €800이하인 한, 어학원은 고용한 개별 강사들로부터 이윤을 벌 수 있다(따라서 더 많이 고용하길 원한다). 그러나 임금인상은 강사들 1인당 발생하는 이윤을 감소시킨다. 고용을 줄임으로써 임금을 낮게 유지하게 만들어 피고용인 1인당 높은 이윤을 얻을 수 있게 한다. 이러한 방식으로 임금을 통제하는 기업의 능력을 노동시장 지배력(labour market power)이라고 부른다.
임금설정모형은 기업들이 노동자를 채용하고 유지하기 위해, 그리고 노동자들이 열심히 일하게 만들 유인을 제공하기 위해 어떻게 임금을 책정하는지를 보여준다. 다음 절은 이것이 갖는 함의에 관해 살펴볼 것이다. 경제적 조건이 변동할 경우 어떻게 임금과 고용이 영향을 받는가가 다음 절의 주제다.
확인문제 6.11 다음 중 옳은 것을 모두 골라라
그림 6.16에 관한 아래 서술을 읽고 옳은 것을 모두 골라라.
- (30, €700)는 비태만임금곡선 위의 영역에 존재한다. 따라서 이 점은 기업이 선택가능한 점이다. 물론 이 점에서의 이윤은 €3,000으로 극대화된 이윤보다 낮다.
- (19, €610)는 E점을 지나는 등이윤곡선(즉 €3,610를 나타내는 등이윤곡선) 상에 위치한다. 그러나 (16, €550)는 더 높은 이윤, 즉 (800 – 550) × 16 = €4,000을 나타내는 등이윤곡선 상에 위치한다.
- 기업의 이윤은 비태만임금곡선과 등이윤곡선이 접하는 곳에서 극대화된다. 등이윤곡선은 고용수준이 낮을 때 더 가파른 기울기를 갖는다. 따라서 두 곡선이 접하는 곳은 E점보다 낮은 고용수준에서일 것이다.
- 기업의 이윤은 언제나 비태만임금곡선과 등이윤곡선의 접점에서 극대화된다. 따라서 이윤극대화점은 기업이 노동시장 지배력을 가지고 있다고 할지라도 비태만임금곡선 상에 위치한다.
연습문제 6.9 경쟁과 이윤
그림 6.16에서 어학원이 이제 다른 어학원과 심한 경쟁에 직면했다고 가정해보자. 그림 6.16과 같은 그림을 사용하여 경쟁 증대가 다음에 대해 어떤 영향을 미쳤는지 설명해보라.
- 비태만임금곡선
- 기업의 이윤극대화 선택
- 기업의 이윤
심화학습 6.10 이윤극대화 임금 수준의 결정
이 절에서는 기업(어학원)이 어떻게 임금 \(w\)를 설정하고 그에 조응하는 고용 수준 \(N\)을 결정하는지를 살펴보았다. \(w\)와 \(N\)의 이윤극대화 조합은 비태만임금곡선과 등이윤곡선이 접하는 점에 위치한다. 이번 심화학습에서는 제약하의 선택문제를 풀기 위해 미분법을 사용하여 이 과정을 살펴 볼 것이다. 우리가 사용할 방법은 심화학습 3.5에서도 설명된 바 있는데 이번 심화학습을 읽기 전에 한 번 더 읽어보는 것도 좋을 것이다.
\(\Pi\)는 그리스어 대문자 ‘파이’(pi)이다. 경제학에서 이윤을 표현하는 데 흔히 사용된다.
기업의 총이윤은 노동자의 수 \(N\)과 개별 노동자당 순이윤 (\(y \ – \ w\))을 곱한 값이다. 여기서 \(y\)는 고용한 노동자 1인당 기업의 수입(혹은 소득)이다. 이윤을 \(\Pi\)라고 불리는 함수로 표현할 것인데 이는 임금과 고용의 함수이다.
\[\Pi(w, N) = (y - w)N\]아래 그림 E6.3은 그림 6.13을 다시 그린 것인데, \(y\)=800일 때의 등이윤곡선(즉, 동일한 이윤을 가져다 주는 \(w\)와 \(N\)의 조합을 이어 만든 곡선)을 보여준다.
그림 E6.3 이윤 = (800 – \(w\))×\(N\)인 경우 등이윤곡선
등이윤곡선의 성질
특정한 크기의 이윤 \(\Pi_0\)에 대응하는 등이윤곡선의 식은 다음과 같다.
\[(y - w)N = \Pi_0\]이 식의 수학적 성질을 검토함으로써 등이윤곡선의 모습을 확인해 볼 수 있다. 수직축에 \(w\)를 놓고 그래프가 그려지므로 이 식을 다음과 같이 재배열하자.
\[w = y - \frac{\Pi_0}{N}\]이 식을 보면 \(w\)는 \(N\)가 증가할 때 커진다(왜냐하면 \(\Pi_0/N\)이 작아지기 때문이다). 미분을 통해서도 이를 확인할 수 있다.
\[\frac{dw}{dN} = \frac{\Pi_0}{N^2} > 0\]위 식은 등이윤곡선의 기울기 공식이며, 이 식은 등이윤곡선이 우상향한다는 것을 말해준다. 원래의 이윤식 \(\Pi_0=(y-w)N\)을 위 식에 대입하면 등이윤곡선의 기울기를 \(w\)와 \(N\)으로 표현할 수 있다.
\[\frac{dw}{dN} = \frac{(y - w)N}{N^2} = \frac{(y - w)}{N}\]이렇게 기울기를 나타내면 각 점에서 이윤의 크기를 계산하지 않아도 기울기가 어떻게 변하는지를 알 수 있다. 이 식을 보면 \(N\)과 \(w\)가 모두 커지는 우상향 방향으로 이동할수록 등이윤곡선의 기울기는 작아진다.
물론 앞의 식으로 다시 돌아가 2계 미분값을 구해서도 같은 결과를 얻을 수 있다. 등이윤곡선상에서 움직일 때 \(N\)이 증가함에 따라 기울기 \(dw/dN\)는 감소한다는 것을 확인할 수 있다. \(\frac{d^2 w}{d N^2} = -\frac{\Pi_0}{N^3} < 0\)
요약하자면 지금 보는 등이윤곡선은 심화학습 5.4)에서 보았던 우하향하고 볼록한 모양의 전형적인 무차별곡선과 달리 우상향하고 오목하다.
마지막으로 등이윤곡선식을 보면, 다른 크기의 \(P0_0\)로 등이윤곡선을 그릴 경우 주어진 각각의 \(N\)값에서 더 높은 이윤과 더 낮은 임금이 대응한다는 것을 확인할 수 있다. 다시 말하자면 그림 안에서 곡선이 더 아래쪽으로 위치할수록 이윤은 높아진다. 이를 수학적으로 확인하려면 \(N\)을 고정시킨 채 \(\Pi_0\)에 대해 \(w\)를 편미분해 보면 된다.
\[w = y - \frac{\Pi_0}{N} \Rightarrow \frac{\partial w}{\partial \Pi_0} = -\frac{1}{N} < 0\]즉 고용 수준을 고정시킨 채 이윤을 증대시키려면 임금을 낮추어야 한다.
기업의 제약하에서의 선택 문제
기업의 소유자는 기업의 실행가능집합에 속하는 점들 중에서 최대한의 이윤을 가져다주는 \(w\)와 \(N\)을 선택하고자 한다. 실행가능집합은 비태만곡선 상에 있거나 혹은 곡선의 위쪽 영역에 위치하는 \(w\)와 \(N\) 조합들이다.
이 단원에서 개발한 모형에 따르면 비태만임금은 노동자의 유보임금 보다 더 큰데, 왜냐하면 임금을 통해 노력비용이 보상되어야 하고 또한 노동자로 하여금 태만보다 노동이 더 나은 선택이라는 것을 확신시키기 위해 지대가 지급되어야 하기 때문이다. 따라서 비태만곡선은, \(w\)와 \(N\) 사이의 우상향 관계를 보여주는 유보임금곡선 위쪽에 평행하게 그려진다. 우리는 비태만곡선에서 \(w\)는 \(N\)의 증가함수라고 가정한다.
\[w = W(N) \text{, where } W'(N) > 0\]여기서 사용되는 파라미터를 요약하면 다음과 같다. \(m\)과 \(q\)는 기업의 채용 및 고용 유지를 결정한다(심화학습 6.5). \(ν\)와 \(\tau\)는 노동자의 유보임금을 결정한다(심화학습 6.8). 심화학습 6.8에서는 이들 파라미터 모두가 결합하여 어떻게 유보임금곡선을 구성하는지를 설명했다. 비태만임금은 \(c\), \(h\), 그리고 \(s\)에도 의존하는데 이것들은 노동자가 열심히 일하도록 하는 유인에 영향을 미친다(심화학습 6.9).
비태만임금곡선의 위치와 기울기는 노동시장 조건을 반영하는 많은 파라미터들에 의존한다. 그러나 이번 심화학습에서는 함수 \(W(N)\)을 기술할 때 이들 파라미터들을 명시적으로 도입하지 않고 오직 \(w\)와 \(N\)간의 관계에만 집중함으로써 문제를 계속 단순하게 다루려고 한다.
기업은 노동자가 효용극대화를 위해 소비와 여가를 선택하는 문제(심화학습 3.5 및 5.5)와 유사한 형태의 제약하의 극대화 문제에 직면하게 된다. 유사한 문제이지만 한 가지 차이가 존재한다. 소비와 여가는 모두 노동자에게 “재화”(goods) 였고 따라서 노동자는 소비와 재화 모두 가능한 한 더 많이 얻기를 원하며 이에 따라 무차별곡선은 우하향한다. 그러나 기업은 이윤극대화과정에서 \(N\)은 가능한 한 증대시키고 \(w\)는 가능한 한 감소시켜야 하는데 이에 따라 등이윤곡선은 우상향한다.
\(w\)와 \(N\)의 가능한 조합들은 \(w\geq 𝑊(𝑁)\)을 충족하지만 기업은 가능한 한 \(w\)를 낮추길 원하므로 \(w=W(N)\)을 만족시키는 조합을 선택할 것이다. 따라서 심화학습 3.5의 카림 사례에서도 그러했듯이 부등호가 아니라 등호를 써서 제약식을 나타낼 수 있다.
고용주의 제약하에서의 선택 문제
\(w=W(N)\) 제약하에서 \(\Pi(w, N)\)을 극대화할 \(w\)와 \(N\)을 선택하라.
이윤함수가 특별히 단순한 형태이기 때문에 대입법을 쓰면 쉽게 해를 구할 수 있다. 이윤은 다음과 같이 정의된다.
\[\Pi = (y - w)N\]제약식을 사용해서 \(w\)에 대입하면 이윤을 \(N\)의 함수로만 나타낼 수 있다.
\[\Pi = (y - W(N))N\]이윤을 극대화하는 \(N\)의 값을 구하기 위해 (곱의 규칙을 사용하여) \(N\)으로 미분하고 그 결과를 0으로 둔다.
\[\frac{d \Pi}{dN} = (y - W(N)) - W'(N)N = 0\]위 식을 다시 재배열하여 1계 조건을 나타내면 다음과 같다.
\[W'(N) = \frac{y - W(N)}{N}\]이 결과는 비태만임금곡선 \(w=W(N)\) 의 기울기가 등이윤곡선의 기울기와 일치하는 곳에서 이윤이 극대화된다는 것을 말해 준다(어떤 점에서든 등이윤곡선의 기울기는 \((y \ – \ w)/N\)가 된다는 것을 앞에서 확인한 바 있다).
비태만임금곡선식의 양함수 형태가 알려져 있다면 고용주가 선택할 \(w\)와 \(N\)을 구하기 위해 연립방정식(1계 조건과 비태만임금식으로 구성된 연립방정식)을 풀 수 있다. 연습문제 E6.3에서 선형으로 주어진 비태만임금곡선에 이 방법을 적용해 볼 수 있다.
2계 조건
우리가 찾은 해가 정말 극대점인지 확인하기 위해서는 2계 조건을 검토해야 한다. 이윤식을 2번 미분하면 다음을 얻는다.
\[\frac{d^2 \Pi}{dN^2} = -2W'(N) - W''(N)\]극대화를 위해서는 2계 도함수는 음의 값을 가져야 한다. \(W(N)\)이 증가함수라는 것을 알고 있으므로 첫 항은 확실히 음이다. 그러나 만일 \(W(N)\) 곡선이 오목한 형태라면(즉 \(W''(N)\)이 음수이면서 \(-W''(N)\)이 매우 작다면) 두 번째 항이 양의 값을 가지게 되어 2계 미분값을 0보다 크게 만들 수도 있다. 그 경우라면 1계 조건을 만족하는 점은 이윤극소화점이다. 따라서 비태만임금곡선에 대해 제약하의 선택 문제를 풀 때는 2계 조건이 충족되는지 여부를 꼭 확인해야 한다.
궁금하다면, 그림을 그려서 비태만임금곡선이 매우 오목한 경우 어떤 일이 발생할지를 확인해볼 수 있다. 만일 곡률이 충분히 크다면 등이윤곡선과 비태만임금곡선이 접하는 곳에서 비태만임금곡선이 점점의 좌우에서 등이윤곡선 아래에 놓인다(그림 6.16에서처럼 비태만임금곡선이 접점의 좌우에서 등이윤곡선의 위에 놓이는 것이 아니라). 이제 왼쪽에서부터 비태만임금곡선을 따라 접점을 향해 이동해간다고 생각해 보자. 등이윤곡선을 만날 때마다 이윤이 점점 줄어든다. 접점을 지나면 이윤은 다시 늘어난다. 접점이 이윤의 크기가 최소인 점이다.
연습문제 E6.3 A linear no-shirking wage
비태만곡선임금곡선이 식 \(W=W_0+W_1N\) (여기서 \(W_0\)와 \(W_1\)은 양의 상수이다)과 같이 선형으로 주어진 경우를 검토해 보자.
- 이윤극대화 임금 수준 및 고용 수준을 \(W_0\) 및 \(W_1\)로 나타내 보자(2계조건이 만족되는지 확인해야 한다).
- 만일 비태만임금곡선이 위쪽로 이동한다면 이윤극대화 임금 및 고용 수준이 어떻게 변화할지 설명해 보자.
- 만일 비태만임금곡선의 기울기가 가팔라진다면 무슨 일이 발생할지 설명해 보자.
더 읽어보기: 곡선의 모양 및 극대/극소점을 찾는 문제에 대해서는 다음 책의 8장을 참고할 수 있다. Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for economists: An introductory textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
