8단원 공급과 수요: 다수의 구매자와 판매자가 있는 시장

심화학습 8.6 공급과 수요의 변화

수요곡선과 공급곡선의 식을 알고 있다면 두 식을 연립해서 \(P\)와 \(Q\)를 풀어냄으로써 경쟁균형가격과 경쟁균형수량을 구할 수 있다. 수요곡선이 \(Q=D(P)\)로 주어지고 공급곡선이 \(Q=S(P)\)로 주어졌다면 균형가격은 수요와 공급이 일치할 때의 가격이므로 다음으로부터 구해진다.

\[D(P)=S(P)\]

이 방정식을 풀어 \(P\)를 구했으면 이 값을 수요곡선식이나 공급곡선식에 대입하여 이에 상응하는 균형수량을 구할 수 있다. 우리가 지금 보려고 하는 것은 이 두 함수 중 하나가 변할 때의 효과이다.

수요충격 혹은 공급충격을 수학 모형을 통해 다루려면, 재화시장에 영향을 주는 가격 이외의 요소들을 표현할 수 있도록 수요와 공급 방정식에 파라미터들을 포함시켜야 한다. 이 파라미터들 중 하나가 변할 때 균형이 어떻게 변하는지를 분석하는 것을 가리켜 경제학에서는 비교정태분석이라고 부른다.

공급과 수요함수가 선형함수일 때

연습문제 E8.2에서 분석했던 사례를 생각해보자. 거기서 다음과 같이 수요함수와 공급함수를 선형이라고 가정하고 문제를 풀었다.

\[D(P)=a-bP, \quad S(P)=c+dP\]

위 식에서 \(a,\ b,\ c,\ d\)는 모두 상수이다. 이 상수들이 모두 0보다 큰 값을 갖는다고 가정하고, 추가적으로 \(a>c\)를 가정하자. 마지막 가정은 시장균형에서 균형가격 \(P^*\)와 균형수량 \(Q^*\)가 모두 양의 값을 갖도록 해준다.

\[P^*=\frac{a-c}{b+d} \quad Q^*= a-bP^* = \frac{ad+bc}{b+d}\]

수요충격을 분석해보자.

이 시장에서 양의 크기를 갖는 수요충격이 발생했다고 해보자. 주어진 가격에서 수요량이 증가할 것이다. 수요충격을 파라미터 \(a\)의 증가로 나타낼 수 있다. 그림을 생각해보면 이 증가는 수요곡선의 우측이동으로 나타나게 된다. 그림 8.14에서 본 모자 시장에서의 수요충격의 효과와 같다. 지금 보는 경우는 수요곡선의 기울기가 변하지 않은 채 평행이동한다는 점이 모자 시장에서와 다르다.

수요충격의 효과를 분석할 수 있는 하나의 방법은 수요곡선이 \(D(P)=a+\Delta a - bP\)이고 공급곡선은 그대로 일 때, 새로운 균형점을 찾아보는 것이다. \(\Delta a > 0\)는 \(a\)의 증가를 나타낸다. 이때 새로이 구한 균형가격과 균형수량을 변화가 일어나기 전 원래 균형값과 비교해보면 된다.

어느 한 파라미터 값이 변할 때 가격와 수량에 어떤 변화를 가져오는지를 살펴볼 수 있는 더 간단한 방법은 \(P^*\)와 \(Q^*\)를 그 파라미터의 함수로 생각하고 변하는 파라미터에 대해 편미분을 해보는 것이다. 즉 \(a\)가 증가했을 때의 효과를 나타내보면,

\[P^*=\frac{a-c}{b+d} \Rightarrow \frac{\partial P^*}{\partial a}= \frac{1}{b+d}\]

이 된다. 이 도함수는 양의 값을 갖는다. 즉 \(a\)의 증가는 \(P^*\)의 증가를 가져온다. 마찬가지로 \(\frac{\partial Q^*}{\partial a}= \frac{d}{b+d}>0\)이므로 \(Q^*\)도 증가한다.

물론 이 도함수는 \(a\)의 매우 작은 변화에 대한 효과를 말해준다. 하지만 균형이 어디에 있든 이 크기는 양이므로, \(a\)의 증가는 그 크기가 크든 작든 언제나 균형가격을 올리고 균형수량을 증가시키는 결과를 가져온다고 말할 수 있다.

또한 \(\frac{\partial Q^*}{\partial a}\)의 크기는 1보다 작다. 따라서 균형수량의 증가는 \(a\)의 증가보다는 작다. \(a\)의 상승은 가격이 변하지 않는 경우 수요량이 얼마나 증가할 것인지를 알려준다. 하지만 \(P^*\)이 상승하게 되므로, 소비자들은 가격의 변화가 없는 경우와 비교하면 구매량을 적게 늘린다.

그림으로도 수요곡선을 바깥쪽으로 이동시켜 같은 결과를 얻을 수 있다. 하지만 다른 경제모형에서는 그림을 통한 분석이 모든 가능한 경우를 다 포착해내는지를 확인하기는 어렵다. 반면 수학을 쓰면 모든 가능한 경우를 체계적으로 고려할 수 있다.

수요함수와 공급함수가 비선형일 때

수요함수와 공급함수가 비선형이라면 균형수량과 균형가격을 양함수 형태로 풀어내기는 어렵다. 하지만 이 경우에도 수요 혹은 공급 곡선 중 하나를 이동시키는 충격의 효과를 분석하는 것은 가능하다. 이를 통해 충격이 균형에 어떤 영향을 주는지를 분석할 수 있다. 우리는 이미 빵 시장에서의 충격의 효과를 그림으로 분석하는 것을 공부했다. 이제 같은 이야기를 수학적으로 풀어보자.

빵의 수요곡선을 \(Q=D(P,a)\)로 그리고 공급곡선을 \(Q=S(P,c)\)로 나타내보자. 여기에 두 파라미터 \(a\)와 \(c\)를 도입해 각각 수요와 공급충격이 곡선을 이동시키게 되는 과정을 모형으로 분석할 수 있다.

수요곡선을 먼저 생각해 보자. 지금까지 본 대로 수요량은 가격의 감소함수이다. 그런데 이제 수요는 파라미터 \(a\)에도 의존한다. 예컨대 \(a\)를 소비자들의 기호를 반영하는 변수라고 생각해보자. \(a\)가 큰 값을 갖는다는 것은 말하자면 소비자들이 빵을 무척 좋아하는 상황으로, 즉 매 가격 수준에서 구매량이 큰 상황으로 해석할 수 있다. 반대로 \(a\)가 낮으면 매 가격 수준에서 빵의 수요량은 낮다. 수요는 \(P\)와 \(a\) 둘 모두에 의존하는데, 이를 편미분을 통해 표현할 수 있다.

\[\frac{\partial D}{\partial P} < 0; \quad \frac{\partial D}{\partial a} > 0\]

위와 같이 부등호가 나타난다면 \(a\)의 상승은 양의 수요충격이라고 이해하면 된다. 즉 \(a\)의 상승이 매 가격 수준에서 수요량의 증가를 가져온다는 의미이다. \((Q, P)\) 공간에 수요곡선을 그릴 때 하나의 곡선은 고정된 \(a\)하에서 그려진다. \(a\)의 상승은 수요곡선을 우측으로 이동시키며, 같은 이유로 \(a\)의 하락은 수요곡선을 왼쪽으로 이동시키는 수요충격을 표현해준다.

같은 방식으로 공급곡선을 이동시키는 요인으로 파라미터 \(c\)를 해석할 수 있다. 예를 들어 \(c\)를 기술을 나타내는 파라미터로 생각해보면, \(c\)가 커지는 것을 기술진보로 해석할 수 있다. 기술진보가 일어나면 빵을 생산하는 데 한계비용이 하락하기 때문에 베이커리들은 매 가격 수준에서 빵의 공급을 늘리려고 할 것이다. 따라서 아래와 같이 편도함수의 부호를 생각해 볼 수 있다.

\[\frac{\partial S}{\partial P} > 0; \quad \frac{\partial S}{\partial c} > 0\]

\(c\)의 상승은 공급곡선을 우측으로 이동시킨다.

\(a\)와 \(c\)의 값에 상관없이 \((Q, P)\) 공간에서 수요곡선은 우하향하는 기울기는 갖고 공급곡선은 우상향하는 기울기를 갖는다. 따라서 균형가격은 최대 1개가 존재하며, 균형수량도 마찬가지이다.

수요함수와 공급함수가 선형이라고 가정한 위의 사례에서는 수요함수와 공급함수의 정확한 형태를 제시할 수 있었고, 균형가격과 균형수량도 파라미터 값들을 포함하는 명시적 해로 풀어낼 수 있었다. 하지만 여기서는 그렇게 하는 것이 불가능하다. 다만 우리는 균형가격 \(P^*\)는 (존재한다면) 다음의 조건을 만족시킨다는 것을 안다.

\[D(P^*, a)=S(P^*, c)\]

그리고 균형수량 \(Q^*\)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[Q^*= S(P^*, c)\]

이 두 방정식은 \(P^*\)와 \(Q^*\)를 음함수 형태로 나타낸다. 이 두 변수는 다음 두 파라미터에 의존하므로 우리는 이 균형값을 \(a\)와 \(c\)의 함수로 생각할 수 있다.

\[P^* = P^*(a, c), \quad Q^* = Q^*(a, c)\]

이제 우리가 \(P^*\)와 \(Q^*\)에 대해 알고 있는 것을 토대로 \(a\) 혹은 \(c\)가 변할 때의 효과를 살펴보자. 음함수 미분법을 활용해서 \(a\)와 \(c\)에 대해 편도함수의 표현을 얻어낼 수 있다.

먼저 파라미터 \(a\)가 변한 경우를 보자(수요충격). 균형값을 나타내는 수식을 \(a\)로 미분한다. \(P^*\)가 \(a\)의 함수임을 감안하면, 미분한 결과는 다음과 같다.

\[\begin{align*} D(P^*, a)&=S(P^*, c) \\ \Rightarrow \frac{\partial D}{\partial P} \frac{\partial P^*}{\partial a}+ \frac{\partial D}{\partial a}&=\frac{\partial S}{\partial P} \frac{\partial P^*}{\partial a} \end{align*}\]

이 수식을 재정렬해서 \(\partial P^*/\partial a\)를 다른 편도함수들로 나타낼 수 있다.

\[\frac{\partial P^*}{\partial a} =\frac{\frac{\partial D}{\partial a}} {\frac{\partial S}{\partial P}-\frac {\partial D}{\partial P} }.\]

위 식의 분모는 양의 값을 갖는다. \(\partial S/\partial P \gt 0\)이고 \(\partial D/\partial P \lt 0\)이기 때문이다. 우리가 수요함수를 앞에서 처럼 정의했기 때문에 분자의 부호도 양이다. 따라서 \(\partial P^*/\partial a \gt 0\)이다. 즉 양의 수요충격(즉 \(a\)의 증가)는 균형가격의 상승을 가져온다.

이번에는 \(\partial Q^*/\partial a\)의 부호를 알아내보자. 이를 위해 다음 함수를 이용할 수 있다.

\[Q^*=S(P^*, c)\]

\(P^*\)가 \(a\)의 함수이므로, 위 식을 \(a\)로 미분하면 다음을 얻는다.

\[\frac{\partial Q^*}{\partial a} =\frac{\partial S}{\partial P^*} \frac{\partial P^*}{\partial a}\]

위 식에서 \(\partial S/\partial P^*\gt 0\)이고, 방금 위에서 \(\partial P^*/\partial a\gt0\)임을 보였으므로, 이로부터 \(\partial Q^*/\partial a\gt0\)임을 알 수 있다. 즉 양의 수요충격(\(a\)의 증가)이 있으면, 균형가격도 상승하고 균형수량도 증가한다. 음의 수요충격이라면 반대의 효과가 나타난다.

이 결과는 일반적인 결과이다. 방금 양의 수요충격(어떤 충격이라도 매 가격수준에서 수요를 증가시키는 경우)이 균형가격과 수량에 미치는 효과는 모자 시장을 그림으로 분석하면서 본 것과 다르지 않다. 수요곡선과 공급곡선이 표준적인 성질을 따르기만 하면, 즉 수요곡선은 우하향하고 공급곡선은 우상향하면, 그 형태가 어떻든 동일한 결론을 얻는다.

다음 연습문제 E8.5를 통해 공급충격이 가져오는 효과를 마찬가지 방법으로 분석해 볼 수 있다.

더 읽어보기: 음함수 미분에 대해서는 다음 책의 15.1절 (on implicit differentiation)을, 비교정태분석에 대해서는 다음 책의 15.2절과 15.3절의 첫 두 문단을 참고할 수 있다. Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.