7단원 기업과 소비자
7.6 이윤을 극대화하는 가격과 수량 설정
치리오스의 생산자처럼, 뷰티풀 카도 수요곡선과 생산비용을 고려하여 가격 P과 수량 Q을 선택한다. 수요곡선은 P와 Q의 실행가능집합을 결정한다. 이윤이 극대화되는 지점을 찾기 위해서 등이윤곡선을 그리고 수요곡선과의 접점을 찾아 보자.
기업의 이윤은 총수입(판매된 수량에 가격을 곱한 값)에서 총비용 C(Q)를 뺀 값이다.
\[\begin{align*} \text{이윤} &= \text{총수입} - \text{총ㅣ용} \\ &= PQ - C(Q) \end{align*}\]- 이윤, 경제적 이윤
- 기업의 이윤은 기업이 벌어들인 수입에서 총비용을 뺀 값이다. 비용에 ‘회계적 이윤’에는 포함되어 있지 않은 자본의 기회비용이 포함되어 있다는 것을 강조하기 위해 때때로 이윤을 ‘경제적 이윤’이라고 부르기도 한다.
- 정상이윤
- 정상이윤은 기업이 주주들이 주식을 보유하게끔 유도하기 위해서 주주들에게 반드시 지불해야 하는 투자수익이다. 정상이윤율은 자본의 기회비용과 같고 따라서 기업의 비용항목에 포함된다. 이보다 수입이 더 크면(즉 비용을 초과하는 수입이 있으면), 이를 경제적 이윤이라 부른다. 정확히 정상이윤만큼 벌어들이고 있다면 기업의 경제적 이윤은 0이다.
계산을 통해 얻게 되는 값을 경제적 이윤이라고 부른다. 기업이 이 기업의 주식을 보유하도록 유도하기 위해 주주들에게 지불해야 하는 투자 1달러당 수익률(이는 자본의 기회비용과 동일하다)은 기업의 비용함수에 포함되어 있다는 사실을 기억하자. 이렇게 주주들에게 지불해야 하는 금액은 정상이윤이라고 부른다. 경제적 이윤은 주주들이 요구하는 최소 수익률을 초과하는 추가적 이윤을 의미한다.
같은 방식으로, 이윤(구체적으로는 경제적 이윤)은 산출물의 수량에 단위당 이윤을 곱한 값이고, 단위당 이윤은 가격과 평균비용의 차이이다.
\[\begin{align*} \text{이윤} &= Q(P-\frac{C(Q)}{Q}) \\ &= Q(P- \text{AC}) \end{align*}\]일반적으로 등이윤곡선의 형태는 평균비용곡선의 형태에 따라 달라진다. 뷰티풀 카의 비용함수가 \(C(Q) = F + cQ\)일 때, 이윤은 다음과 같이 표현된다:
\[\text{이윤} = Q(P-c)-F\]이 방정식은 뷰티풀 카의 등이윤곡선이 그림 7.2b에서 그렸던 애플 시나몬 치리오스의 등이윤 곡선과 동일한 형태를 가진다는 것을 보여준다. 두 기업 모두 일정한 (하지만 서로 다른) 한계비용을 가지고 있다. 치리오스의 경우 파운드당 $2였고, 뷰티풀 카의 경우 1대당 $14,400이라고 가정했다. 주요 차이점은 뷰티풀 카는 고정 비용도 가지고 있다는 점이고, 이는 각 등이윤곡선에서의 이윤의 크기에 영향을 미친다.
그림 7.14는 뷰티풀 카의 등이윤곡선을 보여준다. 가장 낮은 곡선은 가격이 한계비용과 동일한 수평선인 경우, 즉 P = $14,400일 때이다. 이 가격에서 기업은 고정 비용인 $80,000에 해당하는 손실을 입는다. 다음 곡선은 경제적 이윤이 0이 되는 곡선, 즉 평균비용곡선이다. 이 곡선에서는 가격이 각 수량에서의 평균비용과 같기 때문에 경제적 이윤이 0이 된다. 이보다 위에 위치한 곡선에서는 경제적 이윤이 양수이다.
그림 7.14 뷰티풀 카의 등이윤곡선
가격이 한계비용과 같은 경우
가격이 평균비용과 같은 경우
0이윤곡선의 모양
더 높은 등이윤곡선
이윤 = Q(P - AC)
높은 가격, 높은 이윤
등이윤곡선은 가격이 높을 때 가파르며, 가격이 한계비용에 가까울 때는 완만해진다. 특정 등이윤곡선의 임의의 한 점에서의 기울기는 다음과 같다.
\[\text{등이윤곡선의 기울기} = -\frac{(P - \text{MC})}{Q}\]이것을 이해하기 위해 그림 7.14의 G점을 다시 생각해보자. G점에서 Q = 11이고, 가격은 한계비용보다 훨씬 높다.
- 만약 Q를 1만큼 증가시키고
- P를 (P − c)/Q만큼 감소시키면,
12번째 자동차에서 발생한 추가 이윤 (P − c)는 다른 11대의 자동차에서 발생한 수입 감소(P − c)에 의해 상쇄되기 때문에 이윤은 동일하게 유지된다.
그림 7.15는 뷰티풀 카의 이윤극대화를 위한 가격과 수량 선택을 보여준다. 실행가능집합은 수요곡선 상의 점들과 그 아래 영역에 있는 모든 점이다. 수요곡선이 등이윤곡선과 접하는 E점에서 최대 이윤을 얻는다.
그림 7.15 뷰티풀 카의 이윤극대화
이윤을 극대화하는 가격과 수량은 P* = $27,200, Q* = 32이다. 자동차 한 대당 평균비용은 $16,900로, 자동차 한 대당 $10,300의 이윤을 제공한다. 총이윤은 32 × $10,300 = $329,600으로, 이는 음영처리된 직사각형의 면적과 동일하다.
기업은 수요곡선의 기울기와 등이윤곡선의 기울기가 같아지는 접점에서 이윤을 극대화한다. 이 점에서는 두 가지 상충 관계가 균형을 이루게 된다.
- 한계대체율(MRS)
- 한 사람이 두 재화 사이에서 기꺼이 감수하고자 하는 교환비율. 어느 점에서든, MRS는 무차별 곡선의 기울기의 절댓값이다. 이와 관련하여 한계변환율을 참조하라.
- 한계변환율(MRT)
- 다른 재화 한 단위를 추가로 얻기 위해 포기해야 하는 재화의 양. 어느 점에서든, 이는 실현가능경계의 기울기의 절댓값이다. 이와 관련하여 한계대체율을 참조하라.
- 마크업
- 가격에서 한계비용을 빼고 이를 가격으로 나눈 값이다. 다른 말로 하면 이윤폭이 가격에서 차지하는 비중을 말한다. 기업이 이윤을 극대화하도록 가격을 설정했다면, 마크업은 그 가격에서의 수요의 가격탄력성의 역수에 비례한다.
- 등이윤곡선은 기업에게는 무차별곡선이고 그 기울기는 판매량을 증가시킬 것인지 가격을 인상할 것인지 사이에서 나타나는 이윤 창출에서의 한계대체율(MRS)을 나타낸다.
- 수요곡선은 실행가능경계이고 그 기울기는 가격을 낮춰야 판매량이 증가할 수 있다는 한계 변환율(MRT)을 나타낸다.
이윤을 극대화하는E점에서는 MRS = MRT이다.
- 이윤폭
- 제품의 가격과 한계생산비용의 차이.
등이윤곡선의 기울기는 가격과 한계비용의 차이 (P − c)에 따라 달라지며, 이를 이윤폭이라고 부른다. E점에서 이윤폭은 기업이 32번째 자동차를 생산하고 판매하여 얻는 추가 이윤이다. 또한 수요곡선의 기울기는 수요의 가격탄력성 \(\varepsilon\)과 관련이 있다. \(\varepsilon = -\frac{P}{Q} \times \text{기울기}\)이므로, \(\text{기울기} = -\frac{P}{\varepsilon Q}\)이다.
그림 7.16의 표는 MRS = MRT 조건이 알려주는 중요한 사실을 요약하고 있다. 기업이 이윤을 극대화할 때, 가격은 마크업(이윤폭을 가격으로 나눈 값)이 수요의 탄력성의 역수와 같아지도록 설정된다.
| 등이윤곡선의 기울기 | 수요곡선의 기울기 |
|---|---|
| MRS | MRT |
| $$-\frac{(P-c)}{Q}$$ | $$-\frac{P}{\varepsilon Q}$$ |
| MRS = MRT | |
| $$\frac{(P-c)}{Q} = \frac{P}{\varepsilon Q}$$ | |
| $$\frac{(P-c)}{P} = \frac{1}{\varepsilon}$$ | |
| 마크업은 수요탄력성의 역수와 같다. | |
그림 7.16 MRT = MRS 조건의 해석
다른 기업들 과의 경쟁 강도가 낮을 때, \(\varepsilon\)도 낮다. 이 결과는 기업이 더 많은 경쟁에 직면했을 때보다 더 높은 마크업을 설정할 수 있다는 것을 알려준다.
이윤극대화와 고정비용
기업의 고정비용이 가격과 수량의 선택에 어떤 영향을 줄까? 고정비용이 변하더라도 이윤극대화를 위한 선택에는 변화가 없다.
뷰티풀 카의 고정비용이 $1,000 증가하고 한계비용은 그대로 유지된다고 가정하자. \(\text{이윤} = (P - c)Q - F\)$임을 기억하자. 만약, 두 개의 다른 (P, Q) 조합이 이전에 동일한 이윤을 제공했다면, 고정비용이 증가하더라도 이 두 조합에서의 이윤 크기는 여전히 서로 동일하겠지만, 이윤 자체는 $1,000 감소한다.
따라서 고정비용이 증가하더라도 그림 7.15의 모든 등이윤곡선은 정확히 같은 위치에 있게 된다. 유일한 차이점은 각각의 곡선에서 이윤을 $1,000씩 줄여 재표기해야 한다는 점이다. 기업은 동일한 P와 Q를 선택하지만, 이윤은 $1,000 줄어들게 된다.
한계수입과 한계비용을 이용한 이윤극대화 수량 찾기
그림 7.15에서 실행가능집합 중 가장 높은 이윤을 달성할 수 있는 P와 Q의 값을 찾아 이윤을 극대화하는 방법을 살펴보았다. 또 다른 접근법은 Q의 변화가 자동차를 판매할 수 있는 가격에 미치는 영향을 고려하여 Q에 따라 이윤이 어떻게 변하는지 살펴보는 것이다.
이윤은 수입과 비용의 차이이므로, 임의의 Q에 대해 Q를 1단위 증가시킬 때 이윤의 변화(한계이윤)는 수입의 변화(한계수익, MR)와 비용의 변화(한계비용, MC)의 차이가 된다.
\[\begin{align*} \text{이윤} &= \text{총수입} - \text{총비용} \\ \text{한계이윤} &= \text{MR} - \text{MC} \end{align*}\]- 만약 MR > MC이면, 기업은 Q를 증가시켜 이윤을 늘릴 수 있다.
- 만약 MR < MC이면, 한계이윤이 음수이다. Q를 줄이는 것이 낫다.
- 따라서, 이윤을 극대화하는 Q에서는 MR = MC이다.
그림 7.17은 수요곡선을 따라 각 Q 값에 대한 한계수입을 계산하고 이를 사용해 뷰티풀 카의 이윤극대화 점을 찾는 방법을 보여준다. 뷰티풀 카는 일정한 한계비용을 가지고 있으며, $14,400에서의 수평선이 MC를 나타낸다.
그림 7.17 한계수입과 한계비용
수요와 한계비용곡선
| Q = 20일 때 MR 계산 | ||
|---|---|---|
| 수입, R = P × Q | ||
| Q = 20 | P = $32,000 | R = $640,000 |
| Q = 21 | P = $31,600 | R = $663,600 |
| ΔQ = 1 | ΔP = –$400 | MR = $23,600 |
한계수입(MR) 계산하기
Q = 20일때, 한계수입은 양이다.
그림에 한계수입 표시하기
다른 점에서의 한계수입
한계수입곡선
이윤극대화 점
한계수입곡선은 일반적으로(반드시 그렇지는 않지만) 우하향하는 직선이다. 그림 7.17은 Q = 32일 때, E′점에서 MR = MC 조건이 충족된다는 것을 보여준다. 그림을 통해 다음을 이해해 보자.
- Q < 32이면 MR > MC: 한계이윤은 양수이며, Q가 증가함에 따라 이윤이 증가한다.
- Q > 32이면, MR < MC: 한계이윤은 음수이며, Q가 증가하면 이윤이 감소한다.
따라서, 기업은 32보다 작은 Q를 선택하지 않을 것이다. 왜냐하면 Q를 높임으로써 이윤을 증가시킬 수 있기 때문이다. 또한, 32보다 큰 Q를 선택하지 않을 것이다. 왜냐하면 이때는 Q가 줄어들면 이윤이 증가하기 때문이다. 따라서 기업은 더 낮은 값을 선택하려 할 것이다.
이윤을 극대화하는 수량은 Q = 32이다. 그렇다면 가격은 얼마이어야 할까? 이윤을 극대화하려면 기업은 수요곡선에 따라 32대를 판매할 수 있는 가장 높은 가격을 설정해야 한다. 따라서 이윤은 E점에서 극대화된다. 즉, Q= 32, P = $27,200.
그림 7.18에서 MR = MC인 E′점이 앞에서 등이윤곡선과 수요곡선이 접하는 점을 찾아 구한 것과 동일한 이윤극대화 점이라는 것을 확인할 수 있다.
그림 7.18 이윤을 극대화하는 점은 한계수입과 한계비용을 통해서도 찾을 수 있고, 또는 등이윤곡선을 통해서도 찾을 수 있다.
확인문제 7.9 다음 중 옳은 것을 모두 골라라.
그림 7.15는 뷰티풀 카의 수요곡선을 한계비용곡선 및 등비용곡선과 함께 보여준다. E점에서 수량–가격 조합은 (Q*, P*) = (32, 27,200)이며, 이윤은 $329,600이다. 기업이 Q = 32대의 자동차를 생산하고 가격을 P=$27,000으로 설정한다고 가정하자. 이 정보를 토대로 다음 진술을 읽고 옳은 것을 모두 골라라.
- Q가 여전히 32이므로 생산비용은 동일하게 유지되지만, 수입이 감소하여 이윤이 줄어든다.
- Q가 여전히 32이므로 생산비용은 동일하게 유지된다. 수입은 자동차 한 대당 $200씩, 총 $6,400 감소한다. 따라서 이윤은 $329,600 – $6,400 = $323,200이다.
- Q* = 32, P* = $27,200인 E점에서 이윤은 $329,600이다. 따라서 자동차 한 대당 이윤은 $329,600/32 = $10,300이다. $27,200 – AC = $10,300이므로 AC는 $16,900이어야 한다.
- 더 낮은 가격에서 수요는 32대보다 많으므로, 기업은 새로운 가격에서 32대의 자동차를 모두 판매하는 데 문제가 없을 것이다.
확인문제 7.10 다음 중 옳은 것을 모두 골라라.
그림 7.15는 뷰티풀 카의 수요곡선을 한계비용곡선 및 등이윤곡선과 함께 보여준다. 만약 기업이 P* = $27,200, Q* = 32에서 더 높은 가격으로 바꾸고, 새로운 가격에서 이윤을 극대화하는 수준의 생산량을 선택한다고 가정하자. 이 정보를 토대로 다음 진술을 읽고 옳은 것을 모두 골라라.
- P*보다 높은 가격에서는 판매할 수 있는 최대 자동차 수가 32대보다 적다, 기업은 판매할 수 있는 수량보다 더 많은 자동차를 생산하지 않을 것이다.
- 생산되는 자동차 수와 관계없이 한계비용은 일정하다.
- 기업은 32대보다 적은 수의 자동차를 생산할 것이므로 총생산비용은 낮아진다.
- E 이외의 어떤 실행가능한 점도 더 낮은 등이윤곡선 상에 있다.
확인문제 7.11 다음 중 옳은 것을 모두 골라라.
그림 7.17은 뷰티풀 카의 한계비용, 수요, 한계수입을 보여준다. 그림을 토대로 다음 진술을 읽고 옳은 것을 모두 골라라.
- Q = 40일 때는 한계비용이 한계수입보다 크므로 한계이윤은 음수이지만, 총이윤(판매된 모든 단위에서 합산된 이윤)이 반드시 음수인 것은 아니다.
- Q = 10일 때 한계수입이 Q = 20일 때보다 크지만, 생산량이 10에서 20으로 증가할 때 한계수입이 양수이므로 총수입은 증가하며, Q = 20일 때 더 높다.
- 한계수입과 한계비용곡선이 교차하는 점에서 한계이윤은 0이지만, 이 점이 이윤을 극대화하는 지점이므로 기업은 이 점을 선택할 것이다. (이전 단위에서 여전히 양의 이윤을 얻기 때문에 총이윤은 양수임을 기억하라.)
- E점까지의 모든 생산량 수준에서 한계수입이 한계비용보다 크다. 따라서 생산량이 증가함에 따라 이윤도 증가하며, Q = 20일 때 이윤이 Q = 10일 때보다 높다.
심화학습 7.6 이윤극대화
이 절에서는 기업이 이윤을 극대화하는 가격과 수량을 어떻게 설정하는지 그림을 사용하여 설명했다. 우리는 두 가지의 다른 접근 방식을 사용했다. 하나는 등이윤곡선을 이용한 방법이고, 다른 하나는 한계수입과 한계비용을 이용한 방법이다. 심화학습 부분에서는 미적분(미분)을 사용하여 이 문제를 수학적으로 어떻게 해결하는지 배울 것이다. 특히, 여기서는 제약하에서의 선택 문제를 해결하는 방법을 적용할 것이다. 이 방법은 심화학습 3.5에서 설명되어 있으니, 다시 읽어 보는 것도 좋을 것이다.
이윤을 극대화하는 가격과 수량을 그림을 통해 두 가지 방법으로 찾았다. 첫째는 등이윤곡선을 그려 수요곡선과의 접점을 찾는 방법이고 둘째는 한계수입과 한계비용곡선을 그리는 방법이다. 이번 심화학습에서는 미적분을 사용하여 수학적으로 접근해 볼 것이다.
뷰티풀 카는 선형수요 및 비용함수를 가지고 있으며, 한계비용은 일정($14,400)하고 고정 비용은 $80,000이다. 그림 E7.2(그림 7.15에서 가져온 것)은 등이윤곡선과 이윤극대화 점(E)을 보여준다.
그림 E7.2 뷰티풀 카의 등이윤곡선과 이윤극대화
심화학습 7.4와 7.5에서와 같이, 우리는 좀 더 일반적인 경우를 살펴볼 것이다. 우리는 기업이 비용함수 \(C(Q)\)와 역수요함수 \(P = f(Q)\)를 갖는다고 가정한다. 이때 기업의 평균비용과 한계비용함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[\text{AC}(Q)=\frac{C(Q)}{Q} \text{ and } \text{MC}(Q)=C'(Q)\]기호 Π는 그리스 대문자 “pi”이고(“파이”라고 읽는다), 경제학에서는 종종 이윤을 나타내는 기호로 사용된다.
기업의 이윤, 즉 \(\Pi\)는 \(P\)와 \(Q\)의 함수이다.
\[\Pi (P, Q) = PQ - C(Q)\]등이윤곡선 그리기 및 기울기 계산하기
등이윤곡선들은 \(Q – P\) 평면에 그려지며 각각 특정 수준의 이윤의 크기에 대응한다. 일반적인 등이윤곡선의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[PQ - C(Q) = \Pi_0\]여기서 \(\Pi_0\)는 상수인데, 이윤의 수준을 나타낸다. \(\Pi_0\)값마다 다른 곡선이 대응한다.
이 방정식의 대수적 성질을 살펴보면 등이윤곡선의 형태를 알 수 있다. 수직축이 \(P\)인 그림에 등이윤곡선들을 나타내기 위해서는 이 방정식을 \(P\)를 \(Q\)의 함수로 다음과 같이 정리하면 편리하다.
\[P = \frac{C(Q)+\Pi_0}{Q}\]이 방정식은 \(\Pi_0\)가 증가하면 주어진 \(Q\)에 대해 \(P\)도 증가함을 의미한다. 따라서 등이윤곡선의 집합을 나타내는 그림에서 높이 위치한 곡선은 더 높은 이윤 수준에 해당한다. 또한, 0이윤곡선(\(\Pi_0 = 0\))은 평균비용곡선 \((Q)/Q\)에 해당한다: 기업의 가격과 단위당 평균비용이 동일할 때 기업은 0의 이윤을 얻는다.
등이윤곡선의 기울기는 몫의 미분규칙을 사용하여 구할 수 있다.
\[\frac{dP}{dQ} = -\frac{QC'(Q) - (C(Q) + \Pi_0)}{Q^2}\]그리고 \(C(Q)+\Pi_0 = PQ\)이므로 다음을 얻는다.
\[\frac{dP}{dQ} = \frac{C'(Q) - P}{Q} = \frac{\text{MC} - P}{Q}\]이것은 우리가 뷰티풀 카를 다룬 절에서 얻은 결과와 동일하다. 그때에는 \(MC = c\)(\(c\)는 상수)였다. 그림 E7.2를 보면 \(P = c\)인 등이윤곡선은 수평이고, 그 위쪽 영역에 위치한 곡선들은 P>c인 경우에 해당하는 곡선들인데, 이들은 우하향한다.
MC가 고정값을 갖지 않는 비용함수의 경우, 등이윤곡선은 어떤 \(P\)와 \(Q\) 값에 대해서는 우상향하고, 다른 값들에서는 우하향할 수 있다. 다음 예시가 이러한 경우를 보여준다.
수치예
그림 E7.3은 이차식 형태의 비용곡선 \(C(Q) = 320 + 2Q + 0.2Q^2\)에 대한 등이윤곡선을 보여준다. 한계비용과 등이윤곡선의 방정식은 다음과 같다:
- 한계비용t: \(\text{MC}(Q) = C'(Q) = 2 + 0.4Q\)
- 등이윤곡선: \(P = \frac{320 + \Pi_0}{Q} + 2 + 0.2Q\)
이 기업의 고정비용은 320이고 한계비용은 생산량이 증가함에 따라 증가한다. 한계비용곡선은 우상향하는 직선이다. 한계비용곡선과 함께 \(\Pi_0 = 0\)인 등이윤곡선(평균비용곡선), \(\Pi_0 = 310\) 및 \(640\)에 해당하는 곡선을 그림에 그려놓았다.
그림 E7.3 \(C(Q) = 320 + 2Q + 0.2Q^2\)일 때 한계비용, 평균비용, 등이윤곡선
등이윤곡선의 기울기 표현을 다시 한 번 살펴보자.
\[\frac{dP}{dQ} = \frac{\text{MC} - P}{Q}\]그림 E7.3에서 그림에서 \(P > MC\)인 부분에서는 등이윤곡선이 우하향하고, \(P < MC\)인 부분에서는 우상하고 있음을 확인할 수 있다. 심화학습 7.4에서 평균비용곡선이 U자형일 경우, 한계비용곡선은 평균비용이 최소화되는 지점에서 교차한다는 것을 증명했다. 이제, 어떤 등이윤곡선에서도 한계비용곡선은 \(P\)의 값이 가장 낮은 점에서 등이윤곡선과 교차한다는 것을 알게 되었을 것이다.
이윤을 극대화하기
기업의 소유주들은 실행가능집합에서 가격과 수량을 선택하여 최대의 이윤(\(\Pi = PQ − C(Q)\))을 얻으려고 한다. 가능한 \(P\)와 \(Q\)의 조합은 수요곡선 \(P = F(Q)\) 상에 또는 그 아래 영역에 위치한다. 수요곡선보다 위의 영역에 있는 점들은 가격이 너무 높아 그 가격으로는 주어진 수량을 판매할 수 없으므로 실행불가능한 점이다. 즉, \(P\)와 \(Q\)를 선택할 때, 기업은 \(P \leq f(Q)\)라는 제약에 직면한다.
이것은 제약하에서의 선택 문제로, 노동자가 효용을 극대화하고자 할 때 직면하는 문제와 유사하다(심화학습 3.5 및 5.5 참고). 제약조건을 부등식으로 표현했지만, 주어진 \(Q\)값에 대해 기업은 가장 높은 가능한 가격을 선택하여 최대 이윤을 얻을 것이다. 따라서 기업은 \(P\)와 \(Q\)의 조합이 수요곡선 상에 위치하도록 선택할 것이라고 보면, 제약조건을 부등식이 아닌 \(P = f(Q)\)로 쓸 수 있다. 그러면 제약하에서의 선택 문제는 심화학습 6.10에서 다룬 노동자의 문제 및 고용주의 문제와 동일한 형태가 된다.
기업의 제약하에서의 선택 문제
\(P = f(Q)\)라는 제약조건 하에서 \(P\)와 \(Q\)를 선택하여 \(\Pi(P, Q)\)를 극대화한다.
이 문제에서 해를 구할 수 있는 가장 간단한 방법은 대입법이다. 제약조건을 사용하여 이윤식의 \(P\)에 대입하면 이윤을 \(Q\)만의 함수로 표현할 수 있다.
\[\Pi = Qf(Q) - C(Q)\]이것이 그림 7.4b의 치리오스의 사례에서도 봤던 이윤함수이며, 아래의 그림 E7.4에 다시 그려 있다. 수요함수의 각 지점에서 얻을 수 있는 이윤의 크기를 보여준다.
그림 E7.4 수요곡선의 각 점에 해당하는 이윤의 크기
이윤함수를 극대화하는 \(Q\)의 값을 찾기 위해서 곱의 미분법칙을 이용하여 \(Q\)로 미분하면 다음과 같다:
\[\frac{d\Pi}{dQ} = f(Q) + Qf'(Q) - C'(Q)\]이윤을 극대화하는 수량 \(Q^*\)는 1계조건인 \(\Pi/dQ = 0\)을 만족해야 한다. 이 산출량 수준은 그림 E7.4d에서 이윤함수의 기울기가 0인 산출량 수준이다.
\[f(Q) + Qf'(Q) = C'(Q)\]함수 \(f(Q)\)와 \(C(Q)\)의 구체적인 형태를 알고 있다면, 이 방정식을 풀어 \(Q^*\)를 구할 수 있다. 그런 다음 이윤을 극대화하는 가격 \(P^* = f(Q^*)\)를 계산할 수 있다.
하지만 함수의 형태를 모르더라도 1계조건의 의미를 이해할 수 있다. 이윤을 극대화하는 \(Q\)값은 수요곡선 위에 있으므로, \(f(Q) = P\)이며, 따라서 1계조건은 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[f'(Q) = \frac{C'(Q) - P}{Q}\]이 방정식의 왼쪽 항은 수요곡선의 기울기이고, 오른쪽 항은 등이윤곡선의 기울기이다. 따라서 1계조건은 이윤을 극대화하는 선택이 수요곡선과 등이윤곡선의 접점에 있다는 것을 정확히 알려준다.
또한 1계조건은 이윤극대화 지점에서의 가격 마크업과 수요탄력성 간의 관계를 알려준다. 1계조건을 다시 정리해 보자.
\[P - C'(Q) = -Qf'(Q)\]역수요함수의 탄력성을 표현하는 공식인 \(\varepsilon = -\dfrac{f(Q)}{Qf'(Q)} = -\dfrac{P}{Qf'(Q)}\)를 사용하면 다음과 같은 관계를 얻는다.
\[\frac{P - C'(Q)}{P} = \frac{1}{\varepsilon}\]즉, 한계비용을 넘어서는 가격의 마크업은 가격 탄력성의 역수와 같다.
수치예
비용곡선이 \(C(Q) = 320 + 2Q + 0.2Q^2\)인 기업을 다시 한 번 고려하자, 이 기업의 역수요함수가 \(P = 44 − 0.5Q\)라고 가정하자. \(P\)를 대입하여 이윤을 \(Q\)의 함수로 표현하고, 이를 미분하여 1계조건을 구해보면 다음과 같다.
\[\begin{align*} \Pi& = Q(44 - 0.5Q) - (320 + 2Q + 0.2Q^2) \\ \frac{d\Pi}{dQ} &= 42 - 1.4Q = 0 \\ \text{and hence } Q^* &= 30 \end{align*}\]따라서 이윤을 극대화하는 수량은 \(Q^* = 30\)이며, 수요곡선에서 이 수량에 해당하는 가격은 \(P^* = 44 − 0.5Q* = 29\)이다. 그림 E7.5는 이 해를 그래프로 보여주고 있다.
그림 E7.5 이윤을 극대화하기(비용함수가 \(C(Q) = 320 + 2Q + 0.2Q^2\)이고, 역수요함수가 \(P = 44 − 0.5Q\)인 경우)
역수요함수의 기울기는 -0.5이며, \((Q^*, P^*)\)에서 등이윤곡선의 기울기도 -0.5임을 확인할 수 있다:
\[\begin {align*} \text{slope of isoprofit} &= \frac{C'(Q) - P}{Q} \\ &=\frac{2 + 0.4Q^* - P^*}{Q^*} \\ &=\frac{2 + 0.4 \times 30 - 29}{30} = -0.5 \end {align*}\]수요곡선은 항상 우하향하므로, 이윤극대화 점은 항상 등이윤곡선이 우하향하는 영역에 있다. 즉 기업은 한계비용을 초과하는 가격을 설정한다.
\(MR = MC\) 조건
이 절에서 그림을 통해 이윤극대화 수량이 한계수입과 한계비용이 일치하는 지점에서 찾아진다는 것을 확인한 바 있다.
이를 대수적으로 유도하기 위해, 역수요함수 \(P = f(Q)\)를 사용하여 기업의 수입 \(R=PQ\)를 \(Q\)의 함수로 표현해 보자. 수입함수에 역수요함수를 대입하면 수입함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[R(Q) = Qf(Q)\]이로부터 한계수입(MR)은 다음과 같다.
\[MR = R'(Q) = f(Q) + Qf'(Q)\]따라서 이윤극대화를 위한 1계조건은 정확히 MR = MC 조건과 동일하다.
\[\begin{align*} f(Q) + Qf'(Q) &=C'(Q) \\ \text{MR} &= \text{MC} \end{align*}\]이윤은 수입에서 비용을 뺀 것과 같기 때문에(\(\Pi(Q) = R(Q) − C(Q)\)) , 이윤함수를 미분하고 방정식 \(\Pi'(Q) = 0\)을 풀거나, 수입함수와 비용함수를 미분하여 MR = MC 방정식을 풀어 이윤극대화 문제의 해를 구할 수 있다. 두 접근법 모두 동일한 해답을 제공한다.
연습문제 E7.4 이윤극대화
어떤 기업의 비용함수가 \(C(Q) = 50 + 4Q + Q^2\)이고, 역수요함수는 \(P = 100 − 2Q\)라고 하자.
- 이윤 \(Pi_0\)에 해당하는 등이윤곡선의 방정식을 작성하라.
- 역수요함수와 200, 500, 1,000의 이윤에 해당하는 등이윤곡선을 그려라(그림 E7.3처럼 그리면 된다. 각 등이윤곡선에 이윤의 크기를 표시하라).
- 이윤 Pi의 식을 적고 제약하에서의 선택 문제로 표현한 다음, 이윤을 극대화하는 \(Q^*\)와 \(P^*\)를 찾아라. 질문 2에서 작성한 그림에 이 점을 표시해 보라.
- 이윤극대화 점을 지나는 등이윤곡선을 그려라. 이 점에서 등이윤곡선의 기울기가 역수요함수의 기울기와 같은지 확인하라. 등이윤곡선 상의 점들에서 이윤이 얼마인가?
- 한계수입과 한계비용의 식을 작성하라. 위 2번에서 그린 그림에 이 두 함수를 그리고, 한계수입곡선과 한계비용곡선이 교차하는 수량에서 이윤이 극대화되는지 확인하라.
더 읽어보기: 곡선 그리기와 극대값, 극소값을 구하는 법은 다음 책의 8장을 참고할 수 있다. Malcolm Pemberton와 Nicholas Rau의 “Mathematics for Economists: An Introductory Textbook” (4th ed., 2015 또는 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
