Unidad 4 Interacciones estratégicas y dilemas sociales
4.3 Mejores respuestas en el juego del arroz y la yuca: el equilibrio de Nash
- mejor respuesta
- En teoría de juegos, la mejor respuesta de un jugador se corresponde con aquella estrategia que conducirá al resultado preferido por ese jugador, teniendo en cuenta las estrategias adoptadas por el resto de jugadores.
La teoría de juegos describe interacciones sociales; también puede ayudar a predecir qué ocurrirá. Para ello necesitamos conocer el concepto de mejor respuesta, que es la estrategia que da el resultado preferido por un jugador a partir de las estrategias seguidas por el resto de participantes.
En la figura 4.2b se representan los pagos de Anil y Bala en el juego del arroz y la yuca usando una configuración estándar denominada matriz de pagos. Una matriz no es más que una disposición rectangular de números. El primer número (izquierda inferior) de cada casilla es la recompensa que obtiene el jugador fila (cuyo nombre empieza por A para recordarnos que su pago es el primero). El segundo número indica el pago del jugador columna. Cada pago depende de cuánta cantidad puede cosechar cada jugador, pero también de la demanda: es decir, de cómo varía el precio de mercado con la cantidad de producto disponible.
Consideremos cuáles son las mejores respuestas en este juego. Supón que tú eres Anil y que te planteas el caso hipotético de que Bala elija cultivar arroz. ¿Qué acción te reportaría un pago mayor? Cultivarías yuca (con un pago de 6, en lugar de solo 4 si cultivaras arroz en su lugar).
Sigue los pasos de la figura 4.2b para conocer las mejores respuestas en cada situación hipotética usando un método práctico para llevar un registro de cuáles son las mejores respuestas: se trata de colocar puntos y círculos en la matriz de pagos.
Figura 4.2b Encuentra las mejores respuestas en el juego del arroz y la yuca.
Encuentra las mejores respuestas
La mejor respuesta de Anil si Bala cultiva arroz
La mejor respuesta de Anil si Bala cultiva yuca
Localiza ahora las mejores respuestas del jugador columna
La mejor respuesta de Bala es la misma si Anil elige yuca
Mejores respuestas mutuas
- equilibrio
- Un equilibrio es una situación o resultado de un modelo que se automantiene: si se llega a ese resultado, no cambiará a menos que una fuerza externa lo perturbe. Por «fuerza externa» se entiende algo que viene determinado desde fuera del modelo.
El método empleado en la figura 4.2b revela que hay un par de estrategias que dan los mejores resultados entre sí: Anil elige yuca y Bala elige arroz. Este par de estrategias se conoce como equilibrio del juego. En general, un equilibrio es una situación que se autoperpetúa. En este caso, si Anil elige yuca y Bala elige arroz, se llega a un equilibrio porque ninguno de los dos querrá cambiar de opinión al conocer la decisión del otro jugador.
Pieza clave
Consulta la sección 2.8 para ver otros ejemplos de equilibrio en modelos económicos.
- equilibrio de Nash
- Resultado económico en el que ninguno de los individuos implicados podría mejorar su situación cambiando unilateralmente su propia acción. En teoría de juegos se define en términos más formales como un conjunto de estrategias individuales que tiene la propiedad de que cada una de ellas es una mejor respuesta a las estrategias adoptadas por los demás jugadores. Véase también: teoría de juegos.
- juego de la mano invisible
- Un juego en el que existe un único equilibrio de Nash que es paretoeficiente puede denominarse juego de la mano invisible. Véase también: equilibrio de Nash, eficiencia de Pareto.
En teoría de juegos se denomina equilibrio de Nash al conjunto de estrategias de todas las personas participantes en el juego que da como resultado la mejor respuesta a las estrategias seguidas por el resto de jugadores. En el equilibrio de Nash del juego que nos ocupa aquí:
- Anil elige yuca
- Bala elige arroz.
Este equilibrio de Nash se puede abreviar como (yuca, arroz), es decir, indicando en primer lugar la estrategia del jugador fila (Anil). ¿Podemos predecir que Anil y Bala seguirán la estrategia que dé como resultado su equilibrio de Nash? Si consideramos la decisión desde el punto de vista de Anil, veremos que podría dudar en cuanto a qué hacer, puesto que su mejor respuesta depende de la decisión de Bala (querrá hacer lo contrario de lo que elija Bala). En cambio, la decisión de Bala es más fácil: con independencia de lo que haga Anil, Bala obtiene un pago mayor si elige arroz. Así que es de esperar que elija arroz. Por tanto, si Anil tiene en cuenta qué decidirá Bala, llegará a la misma conclusión de que elegirá cultivar arroz. Esto simplifica el problema para Anil: su mejor respuesta a la producción de arroz de Bala es cultivar yuca.
Este razonamiento sugiere que el equilibrio de Nash sí ofrece una predicción probable del resultado del juego. Por lo común, cuando encontramos que un juego tiene un solo equilibrio de Nash, este siempre es el resultado más probable, aunque es posible que en algunos juegos se perciba con más claridad que en otros.
En el equilibrio de Nash, tanto Anil como Bala se especializan en un cultivo, lo cual evita que haya excedentes de mercado. Además, ambos cultivos se desarrollan en terrenos adecuados para su crecimiento. Limitarse a seguir el interés propio (es decir, elegir la estrategia que proporciona el mayor pago) da como resultado el pago más alto posible para cada jugador.
En este ejemplo, el equilibrio de Nash también es el resultado que habría elegido cada participante si ambos hubieran tenido alguna posibilidad de coordinar sus decisiones. Aunque cada uno persiguió su propio interés de forma individual, los precios del mercado los guiaron hacia el resultado más beneficioso para cada uno de ellos.
La figura 4.2 es un ejemplo de un tipo de juego que a veces se denomina juego de la mano invisible porque refleja la idea de Adam Smith de que hay fuerzas no explícitas («invisibles») que pueden guiar a los jugadores hacia el mejor resultado para ambos. Un juego de la mano invisible se caracteriza porque la acción independiente de cada jugador en pos de su propio interés depara un equilibrio acorde a los intereses conjuntos de todos los jugadores implicados.
A veces se considera inmoral perseguir el interés propio sin tener en cuenta al resto de las personas, pero el análisis económico ha identificado situaciones en las que esa actitud conduce a resultados sociales deseables. En la próxima sección analizaremos un caso opuesto donde el resultado de decisiones tomadas siguiendo el interés propio no beneficia a ninguno de los jugadores: el juego del dilema del prisionero.
Pregunta 4.2 Elige las respuestas que sean correctas
A Adam le gusta más ir al cine que quedarse en casa viendo el fútbol. Bella, en cambio, prefiere ver el fútbol antes que ir al cine. Si uno de ellos elige su actividad favorita, la otra persona prefiere pasar la tarde juntos en lugar de pasarla por separado. La siguiente tabla muestra los distintos niveles de satisfacción (pagos) de Bella y Adam de acuerdo con la actividad elegida (el primer número indica la satisfacción de Adam, mientras que el segundo se corresponde con el de Bella).
A partir de la información anterior, podemos concluir que:
- Para Adam sería mejor elegir cine con independencia de lo que elija Bella (si Bella elige fútbol, Adam obtiene 4 eligiendo cine en lugar del 3 que le reportaría elegir fútbol; si Bella elige cine, él recibe 6 eligiendo cine en lugar del 1 que obtendría eligiendo fútbol).
- El equilibrio de Nash es (cine, fútbol): si Adam elige cine, la mejor respuesta de Bella es elegir fútbol (pago de 3 en lugar de 2); si Bella elige fútbol, la mejor respuesta de Adam es elegir cine (pago de 4 en lugar de 3).
- En el equilibrio de Nash, Adam recibe un pago de 4, y Bella recibe un pago de 3. Adam conseguiría su nivel más alto de felicidad (pago de 6) si ambos se pusieran de acuerdo para ir al cine juntos. De forma análoga, Bella lograría su mayor felicidad (pago de 5) si llegaran al acuerdo de quedarse viendo el fútbol.
- Esta afirmación es una propiedad del equilibrio de Nash. Los jugadores toman la mejor decisión posible teniendo en cuenta las acciones del resto de participantes, de modo que cada individuo no se beneficiaría si cambiara su decisión actual de forma unilateral.
Grandes economistas John Nash
John Nash (1928–2015) terminó su tesis doctoral en la Universidad de Princeton a la edad de 21 años. Solo constaba de 27 páginas, pero desarrollaba la teoría de juegos (por entonces una rama poco conocida de las matemáticas) de maneras que supusieron una transformación espectacular para la economía. Él planteó la siguiente pregunta: Cuando las personas interaccionan de forma estratégica, ¿qué se espera que hagan? Su respuesta fue lo que hoy se conoce como un equilibrio de Nash, donde cada persona sigue la estrategia de hacer lo mejor para sí misma teniendo en cuenta las estrategias del resto de participantes.
Nash demostró que tiene que existir un equilibrio en una gran clase general de juegos donde sus participantes pueden perseguir cualquier objetivo: ser egoístas, altruistas, revanchistas o ecuánimes, por ejemplo. Su demostración sobresalió porque matemáticos eminentes del siglo XX, como Émile Borel y John von Neumann, ya habían abordado el problema sin lograr grandes avances en la materia. Su resultado es útil porque admite estrategias muy complejas que especifican un plan de acción completo para cualquier situación que pueda darse. Aunque la cantidad de estrategias diferentes en el juego del ajedrez es mayor que el número de átomos que hay en el universo conocido, sabemos que en el ajedrez hay un equilibrio de Nash, aunque desconozcamos si ese equilibrio implica que ganen las blancas, las negras o que la partida acabe en tablas aseguradas.
La teoría de juegos ha transformado por completo casi todos los ámbitos de la economía, algo que habría sido imposible sin el concepto de equilibrio y la prueba de su existencia que brindó Nash. Pero esta no fue su única aportación revolucionaria para la economía; también hizo contribuciones de una originalidad brillante a la teoría de la negociación, así como otras aportaciones matemáticas pioneras por las que recibió el prestigioso Premio Abel.
Nash compartió el Premio Nobel de 1994 por su trabajo. El economista Roger Myerson, él mismo galardonado más tarde con este premio, describió el equilibrio de Nash como «una de las aportaciones más importantes en la historia del pensamiento económico».
Durante buena parte de su vida, Nash padeció una enfermedad mental que requirió su hospitalización. Sufría alucinaciones causadas por una esquizofrenia que empezó en 1959, aunque, tras un periodo que él mismo describió como «25 años de pensamiento parcialmente engañoso», retomó la enseñanza y la investigación en Princeton. La historia de su pensamiento y de su enfermedad se cuenta en el libro Una mente prodigiosa,1 llevado al cine con Russell Crowe como protagonista.
Ejercicio 4.2 Teoría de juegos en Una mente prodigiosa
En la película A Beautiful Mind (conocida en español como Una mente maravillosa o Una mente brillante) a John Nash se le ocurre la idea de la teoría de juegos durante una conversación con amigos en un bar sobre con qué mujer deberían hablar.
- Mira esa escena en este vídeo de YouTube y traza una matriz de pagos para representar la situación descrita. (Sugerencia: Tal vez te resulten útiles este artículo y esta explicación.)
- Usa la matriz de pagos que acabas de trazar para explicar si la propuesta que hace John Nash a sus amigos en la película es o no es un equilibrio de Nash.
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Sylvia Nasar. 2011. A Beautiful Mind: The Life of Mathematical Genius and Nobel Laureate John Nash. Nueva York: Simon & Schuster [Una mente prodigiosa, trad. cast. de Ricard Martínez y Muntada, Barcelona: Debolsillo, 2012]. ↩
