第7单元 公司和客户
7.6 利润最大化的价格与产量决策
与生产脆谷乐的厂商类似，靓车公司也将根据自身的需求曲线和生产成本来制定价格\(P\)和产量\(Q\)策略。需求曲线决定了\(P\)和\(Q\)的可行集。为了实现利润最大化，我们可以同样采用绘制等利润曲线的方法，并找到其与需求曲线的切点。
企业利润等于其总收入（价格乘以销售量）与总成本 \(C(Q)\) 之差：
\[\begin{align*} \text{利润} &= \text{总收入} - \text{总成本} \\ &= PQ - C(Q) \end{align*}\]- 利润，经济利润（profit, economic profit）
- 企业的利润是其收入减去总成本。我们通常称利润为经济利润，以强调成本包括资本的机会成本（这不包括在会计利润中）。
- 正常利润（normal profits）
- 正常利润是指企业为维持股东持续持股而必须提供的最低投资回报。它相当于企业资本的机会成本，并被计入企业的总成本之中。超出总成本的部分，即收入大于总成本所得的利润，被称为经济利润。因此，如果企业仅获得了正常利润，这意味着其经济利润为零。
上述计算得出的是经济利润。需要明确的是，企业为维持股东持续持股而必须提供的每单位投资回报（即资本的机会成本）已计入成本函数。这部分必须提供的回报被称为正常利润。因此，经济利润是指超出股东要求的最低回报之上的额外利润。
利润（更准确地说是经济利润）等于产量乘以单位利润，即产品价格与平均成本之差，可表示为：
\[\begin{align*} \text{利润} &= Q(P-\frac{C(Q)}{Q}) \\ &= Q(P- \text{平均成本}) \end{align*}\]等利润曲线的形状通常取决于平均成本曲线的形状。以靓车公司为例，假设其成本函数为 \(C(Q) = F + cQ\)，则其利润可表示为：
\[\text{利润} = Q(P-c)-F\]该等式表明，靓车公司与图7.2b中苹果肉桂脆谷乐的等利润曲线形状相同。两家公司的边际成本均为常数（但具体数值不同）：生产每磅脆谷乐的边际成本为 2美元，而生产每辆汽车的边际成本为14,400美元。两者的主要区别在于，靓车公司存在固定成本，这会影响其等利润曲线的利润水平。
图7.14展示了靓车公司的等利润曲线。图中，最下方的水平线代表价格等于边际成本，即\(P\) = 14,400美元。在此价格水平下，公司亏损额等于固定成本，即80,000美元。次低的曲线为零经济利润曲线，亦即平均成本曲线。在该曲线上的任意价格与产量组合均使得经济利润为零，因为此时价格恰好等于相应产量的平均成本。高于该曲线的其他曲线则代表经济利润为正。
图7.14 靓车公司的等利润曲线。
当价格等于边际成本时
当价格等于平均成本时
零利润曲线形状
更高的等利润曲线
利润= (Q)((P) − AC)
价格越高，利润越高
等利润曲线的陡峭程度与价格水平相关：在高价格区间，曲线更为陡峭；而在价格接近边际成本时，曲线则趋于平缓。等利润曲线上任意一点的斜率可表示为：
\[\text{等利润的斜率} = -\frac{(P- \text{边际成本})}{Q}\]为了更好地理解这一关系，请参考图7.14中代表产量为11（\(Q\) = 11）且价格远高于边际成本的G点。现在，我们考虑以下情况：
- 产量\(Q\)增加1单位；
- 价格\(P\)降低 \((P − c)/Q\)；
在这种情况下，利润将保持不变。这是因为新增第12辆车带来的额外利润 (\(P − c\)) ，恰好被前11辆车因降价而导致的收入减少 (\(P − c\)) 所抵消。
图7.15展示了靓车公司利润最大化的价格和产量决策。该公司的可行集由需求曲线及其下方的所有区域构成。利润最大化点出现在E点，该点为需求曲线与等利润曲线的切点。
图7.15 最大化靓车公司的利润。
在该利润最大化点，价格和产量分别为\(P^*\) = 27,200美元和\(Q^*\) = 32辆。每辆车的平均成本为16,900美元，由此可得每辆车的利润为10,300美元。因此，总利润为32辆 × 10,300美元 = 329,600美元，该数值在图中以阴影矩形的面积表示。
企业利润最大化点位于需求曲线与等利润曲线的切点，此时需求曲线的斜率与等利润曲线的斜率相等，表明这两种权衡达到了最优状态。
- 边际替代率（marginal rate of substitution，MRS）
- 指一个人在两种商品之间愿意作出的权衡取舍。在无差异曲线上的任意一点，边际替代率（MRS）等于该点斜率的绝对值。 参见：边际转换率。
- 边际转换率（marginal rate of transformation，MRT）
- 指为了获取额外一单位某种商品所必须放弃的另一种商品的数量。在任意一点上，它等于可行边界斜率的绝对值。 参见：边际替代率。
- 价格加成（price markup）
- 价格加成指的是价格超出边际成本的部分占价格的比例，即边际利润占价格的比例。如果企业追求利润最大化，那么价格加成与该价格下商品的需求弹性成反比。
- 等利润曲线（即无差异曲线）的斜率反映了利润创造过程中，增加销量与提高价格之间的边际替代率（MRS）。
- 需求曲线（即可行边界）的斜率反映了通过降低价格来扩大销售规模的边际转换率（MRT）。
在利润最大化E点，边际替代率等于边际转换率，即 MRS = MRT。
- 利润率（profit margin）
- T产品价格与其边际生产成本之间的差额。
值得注意的是，等利润曲线的斜率取决于边际利润，即价格与边际成本之差（\(P − c\)）。在E点，边际利润代表企业生产并销售第32辆汽车所获得的额外收益。此外，需求曲线的斜率与需求价格弹性 \(\varepsilon\) 密切相关：\(\varepsilon=-\frac{P}{Q} \times \text{斜率}\)，由此可推导出\(\text{斜率}=-\frac{P}{\varepsilon Q}\)。
如图7.16所示，切线条件MRS=MRT揭示了利润最大化的关键原则：当企业追求利润最大化时，其采取的定价策略应使得价格加成（即边际利润占价格的比例）等于需求曲线弹性的倒数。
| 等利润曲线的斜率 | 需求曲线的斜率 |
|---|---|
| MRS | MRT |
| $$ - \frac{(P-c)}{Q} $$ | $$ - \frac{P}{\varepsilon Q} $$ |
| MRS = MRT | |
| $$ \frac{(P-c)}{Q} = \frac{P}{\varepsilon Q} $$ | |
| $$ \frac{(P-c)}{P} = \frac{1}{\varepsilon} $$ | |
| 价格加成等于需求弹性的倒数 | |
图7.16 切线条件分析。
当市场竞争强度较低时，\(\varepsilon\) 也较低。这表明，企业此时设定的价格加成通常会高于竞争激烈时的价格加成。
利润最大化与固定成本
企业固定成本将如何影响其价格和产量决策？答案或许让人出乎意料：在固定成本发生变化时，企业利润最大化所对应的价格和产量组合并不会随之改变。
不妨考虑以下情景：靓车公司的固定成本增加1,000美元，而边际成本保持不变。\(\text{利润} = (P - c)Q - F\)。由此可见，如果两种不同的价格和产量组合在固定成本变动前能带来相同的利润水平，那么在固定成本增加后，这两种组合的利润水平仍然相同，但利润总额都会减少1,000美元。
因此，图7.15 中的所有等利润曲线的位置均保持不变。唯一不同的是，我们需对这些曲线进行重新标记，将每条曲线代表的利润值均降低1,000美元。这意味着企业仍会选择相同的价格和产量，但最终总利润将减少1,000美元。
利用边际收入与边际成本求解利润最大化产量
在图7.15 中，我们阐述了企业如何通过在可行集内寻找产量\(Q\)和价格\(P\)组合，以实现利润最大化。下面我们将介绍另一种方法，即分析利润随\(Q\)变化而变化的关系，并同时考虑\(Q\)变化对汽车价格的影响。
利润是收入与成本之差。对于任意产量\(Q\)，当\(Q\)增加一个单位时，所引起的利润变化（即边际利润）等于收入变化（即边际收入，MR）与成本变化（即边际成本，MC）之差：
\[\begin{align*} \text{利润} &= \text{总收入} - \text{总成本} \\ \text{边际利润} &= \text{MR} - \text{MC} \end{align*}\]- 当 MR 大于 MC 时，企业可通过增加\(Q\) 来提高利润。
- 当MR 小于MC时，边际利润为负，企业应减少\(Q\)。
- 因此，当\(Q\)达到利润最大化水平时，MR = MC。
图7.17展示了如何计算需求曲线上不同产量水平所对应的边际收入，并以此确定靓车公司实现利润最大化的产量。需要注意的是，靓车公司的边际成本保持不变，在图上表现为一条位于14,400美元的水平线，即MC。
Note to EBW: there are a few slide titles which have Mathjax that isn’t displaying correctly, which should be fixed if we implement the change as suggested in a previous section. There is also a problem with the table in slide B where the Mathjax is displaying, but it forces the variable onto its own line rather than displaying in-line. This has happened in some previous and following tables too.
图7.17 边际收入和边际成本。
需求曲线和边际成本曲线
| 当$$Q$$ = 20 时，计算MR | ||
|---|---|---|
| 收入 ，$$R = P \times Q$$ | ||
| $$Q$$ = 20 | $$P$$ = 32,000美元 | $$R$$ = 640,000美元 |
| $$Q$$ = 21 | $$P$$ = 31,600美元 | $$R$$ = 663,600美元 |
| Δ$$Q$$ = 1 | Δ$$P$$ = –400美元 | MR = 23,600美元 |
计算边际收入MR
当(Q) = 20 时，MR为正
在图中绘制边际收入
其他各点的边际收入
边际收入曲线
利润最大化点
边际收入曲线通常（尽管并非绝对）呈向下倾斜的趋势。图7.17展示了E’点的MR与MC相等，此时\(Q\) = 32。该图表明：
- 当\(Q\) < 32时，MR > MC，边际利润为正，因此利润随\(Q\)增加而增加。
- 当\(Q\) > 32时，MR < MC，边际利润为负，因此利润随\(Q\)增加而减少。
因此，理性的企业会避免产量低于32，因为增加产量能够提高利润；同时，企业也不会选择高于32的产量，因为这会导致利润下降。
综上所述，利润最大化的产量\(Q\) = 32。那么，最优价格应如何确定？为了实现利润最大化，企业应根据需求曲线，找到能够售出32辆汽车的最高价格。因此，利润在E点达到最大值：\(Q\) = 32，\(P\) = 27,200。
如图 7.18 显示，当 MR = MC 时，所对应的 E’点与先前采用切点法确定的利润最大化点相一致。
图7.18 利润最大化点既可通过MR与MC确定，也可通过等利润曲线确定。
问题7.9 选择正确的表述（多选题）
图7.15 展示了靓车公司的需求曲线、边际成本曲线以及等利润曲线。在 E 点，产量与价格的组合为 (\(Q^*\), \(P^*\)) = (32, 27,200)，对应利润为 329,600 美元。
假设该公司选择生产32 辆汽车，并将价格设定为 27,000 美元。请根据以上信息，阅读以下表述并选择正确选项。
- 由于产量仍为32辆，因此生产成本不变，但由于收入减少，导致利润下降。
- 由于产量仍为32辆，因此生产成本不变。每辆车的收入减少200美元，总收入减少6,400美元。因此，利润下降至323,200美元（329,600美元 - 6,400美元 = 323,200美元）。
- 在E点，\(Q^*\) = 32，\(P^*\) = 27,200美元，对应利润为329,600美元。由此可得，每辆车的利润为10,300美元（329,600美元/32辆= 10,300美元）。进一步推算，平均成本为16,900美元（27,200美元 - 10,300美元 = 16,900美元）。
- 在较低的价格水平下，市场需求大于32辆，因此公司能够以新价格售出全部32辆汽车，不存在销售问题。
问题7.10 选择正确的表述（多选题）
图7.15 展示了靓车公司的需求曲线、边际成本曲线以及等利润曲线。
假设该公司决定将价格从\(P^*\) = 27200美元调至更高价格，并在新价格下寻求利润最大化的产量。请根据以上信息，阅读以下表述并选择正确选项。
- 当价格高于\(P^*\) 时，最大销量将低于32辆，因此企业的产量不会超过销量。
- 在任何产量水平下，边际生产成本均保持不变。
- 由于企业产量将低于32辆，预计总成本将会降低。
- E点以外的任何其他可行点都将位于更低的等利润曲线上。
问题7.11 选择正确的表述（多选题）
图7.17展示了靓车公司的边际成本曲线、需求曲线和边际收入曲线。请根据图表信息，阅读以下表述并选择正确选项。
- 当\(Q\) = 40时，边际成本高于边际收入，导致边际利润为负，但总利润（所有售出单位的利润之和）不一定为负。
- \(Q\) = 10时的边际收入大于\(Q\) = 20时的边际收入。但由于当产量从10增加到20时，边际收入为正，因此总收入上升，即\(Q\) = 20时总收入更高。
- 边际收入曲线与边际成本曲线的交点，对应的边际利润为零。尽管如此，该点恰恰是企业利润最大化点，因此企业会选择按照该水平进行生产。（值得注意的是，企业此前销售的所有单位产品均能带来正利润，因此总利润为正。）
- 在E点之前的任何产量水平上，边际收入均高于边际成本。这意味着，随着产量增加，利润也在增长，因此 \(Q\) = 20时的利润高于\(Q\) = 10时的利润。
扩展7.6 利润最大化
本节主要通过图表，展示了靓车公司如何运用两种方法——等利润曲线法和边际收入与边际成本法——来确定利润最大化的价格和产量。本扩展部分将进一步采用微积分（求导）方法进行数学推导，并将应用扩展3.5 中阐述的约束选择问题求解法。建议您在继续阅读本部分内容之前，先复习扩展3.5的内容。
前文已通过两种图表法确定了利润最大化的价格和产量：一是绘制等利润曲线，并寻找其与需求曲线的切点；二是绘制边际收入曲线和边际成本曲线。本扩展部分将进一步运用微积分方法，从数学上进行推导求解。
假设靓车公司具有线性需求函数和成本函数，且边际成本恒定为14,400美元，固定成本为80,000美元。图E7.2（参考图7.15）展示了该情况下的等利润曲线和利润最大化点（E）。
图E7.2 靓车公司的等利润曲线和利润最大化点。
与扩展7.4和7.5一样，本节将进一步探讨更一般的情形：假设一家企业的成本函数为\(C(Q)\)，逆需求函数为\(P=f(Q)\)。该企业的平均成本函数AC(\(Q\))和边际成本函数MC(\(Q\))分别为：
\[\text{AC}(Q)=\frac{C(Q)}{Q} \text{ 和 } \text{MC}(Q)=C'(Q)\]符号\(\Pi\)为大写希腊字母π（pi），在经济学中通常用于表示利润。
因此，我们将企业利润记作\(\Pi\)，它是\(P\)和\(Q\)的函数：
\[\Pi (P, Q) = PQ - C(Q)\]等利润曲线的绘制与斜率计算
等利润曲线族是指在\(Q–P\)平面上的一组曲线集合，其中每条曲线代表一个特定的利润水平，其典型方程可以表示为：
\[PQ - C(Q) = \Pi_0\]式中，\(\Pi_0\)代表利润水平（常数）。不同的\(\Pi_0\)值对应不同的等利润曲线。
通过分析上述方程的代数性质，可以确定等利润曲线的形状。为了便于在以价格\(P\)为纵轴的坐标系中绘制等利润曲线，我们将方程改写为\(P\)关于\(Q\)的函数形式：
\[P = \frac{C(Q)+\Pi_0}{Q}\]该方程表明，对于任意给定的\(Q\)，利润水平 \(\Pi_0\) 的增加会导致\(P\)上升。因此，在等利润曲线族图中，位置越高的曲线代表利润水平越高。特别地，当利润为零（\(\Pi_0=0\)）时，等利润曲线与平均成本曲线\(C(Q)/Q\)重合。这意味着，当价格等于单位产出的平均成本时，企业的利润为零。
为了求出等利润曲线上任意一点的斜率，可以应用商的法则进行求导：
\[\frac{dP}{dQ}= -\frac{QC'(Q)-(C(Q)+\Pi_0)}{Q^2}\]考虑到\(C(Q)+\Pi_0=PQ\)，则上述斜率公式可表示为：
\[\frac{dP}{dQ} = \frac{C'(Q)-P}{Q}=\frac{\text{MC}-P}{Q}\]如本节针对“靓车公司”的分析所示，边际成本为常数（即 \(\text{MC}=c\)）。如图E7.2所示，当价格等于边际成本（即\(P=c\)）时，等利润曲线呈水平状态；而当价格高于边际成本（即\(P>c\)）时，等利润曲线向下倾斜。
然而，对于边际成本非常数的成本函数，在某些 \(P\) 和 \(Q\) 值下，等利润曲线可能向上倾斜，而在另一些值下则向下倾斜。下文将通过实例对此进行进一步说明。
实例
图E7.3展示了二次成本曲线\(C(Q)=320+2Q+0.2Q^2\)对应的等利润曲线。边际成本曲线和等利润曲线的方程分别为：
- 边际成本曲线：\(\text{MC}(Q)=C'(Q)=2+0.4Q\)
- 等利润曲线：\(P=\frac{320+\Pi_0}{Q}+2+0.2Q\)
该企业的固定成本为320，且边际成本随产量增加而递增，因此边际成本曲线向上倾斜。图E7.3同时展示了边际成本曲线，以及利润水平为0（对应于平均成本曲线）、310和640时的等利润曲线。
图E7.3 边际成本曲线、平均成本曲线和等利润曲线 \(C(Q)=320+2Q+0.2Q^2\).
进一步分析等利润曲线的斜率表达式：
\[\frac{dP}{dQ} = \frac{\text{MC}-P}{Q}\]如图E7.3所示，当价格高于边际成本（即\(P > \text{MC}\)）时，等利润曲线向下倾斜；反之，当价格低于边际成本（即\(P < \text{MC}\)）时，等利润曲线向上倾斜。正如扩展7.4所证明的，如果平均成本曲线呈U形，那么边际成本曲线将与平均成本曲线相交于平均成本的最低点。由此可知，在任何一条等利润曲线上，边际成本曲线均与该曲线上价格最低的点相交。
最大化利润
企业的目标是在可行集中选择最优的价格和产量组合，以实现最大化利润（\(\Pi=PQ-C(Q)\)）。\(P\)和\(Q\)的可行组合位于需求曲线\(P=f(Q)\)之上或其下方。高于需求曲线的点意味着价格过高，导致产品无法全部售出，因此不可行。这意味着，企业在选择\(P\)和\(Q\)时，必须满足约束条件\(P \leq f(Q)\)。
这构成了一个约束性选择问题，类似于工人追求效用最大化时所面临的问题（参见扩展3.5 和 5.5）。尽管约束条件表达为不等式，但企业为了在既定产量下实现利润最大化，必然会选择尽可能高的可行价格。因此，企业最终会选择位于需求曲线之上的\(P\)和\(Q\)组合。由此，我们可以将约束条件简化为等式\(P=f(Q)\)。简化后的约束性选择问题，在结构上便与工人效用最大化问题以及扩展6.10中讨论的雇主问题具有相似性。
企业面临的约束性选择问题
企业的目标是选择满足约束条件 \(P = f(Q)\) 的最优\(P\)和\(Q\)组合，以实现利润（\(\Pi(P, Q)\)）最大化。
解决此问题最直接的数学方法是代入法。通过将约束条件代入利润函数，可以将利润函数转化为仅关于 \(Q\) 的函数：
\[\Pi= Qf(Q) - C(Q)\]此形式与我们在图7.4b中绘制脆谷乐案例时的利润函数相同，此处在图 E7.4 中重新绘制，以便更清晰地展示。该函数反映了需求曲线上各产量水平所对应的利润水平。
图E7.4 需求函数各产量水平所对应的利润水平。
为了找到使利润函数最大化的 \(Q\) 值，我们需根据乘积法则，对利润函数关于 \(Q\) 求导：
\[\frac{d\Pi}{dQ} = f(Q) + Qf'(Q) - C'(Q)\]当利润最大化时，产量 \(Q^*\) 满足一阶条件 \(d\Pi/dQ = 0\)（如图 E7.4 所示，此时利润函数的斜率为零）：
\[f(Q)+Qf '(Q)= C'(Q)\]如果已知函数 \(f(Q)\) 和 \(C(Q)\) 的具体形式，则可通过求解上述方程得到最优产量 \(Q^*\)。利润最大化时的价格 \(P^*\) 进而可以通过 \(P^* = f(Q^*)\) 计算得出。
然而，即使在函数具体形式未知的情况下，我们仍可以深入分析一阶条件所揭示的信息。由于利润最大化时的产量 \(Q\) 必然位于需求曲线上，因此有 \(f(Q) = P\)。 于是，一阶条件可以改写为：
\[f'(Q)= \frac{C'(Q) - P}{Q}\]该方程左侧代表需求曲线的斜率，右侧则代表等利润曲线的斜率。由此可见，一阶条件清晰地表明，利润最大化点位于需求曲线与等利润曲线的切点处。
此外，一阶条件还揭示了利润最大化点处的价格加成与需求弹性之间的关系。对一阶条件进行如下变换：
\[P-C'(Q)=-Qf'(Q)\]结合逆需求函数的弹性公式：\(\varepsilon=-\dfrac{f(Q)}{Qf'(Q)}=-\dfrac{P}{Qf'(Q)}\)，可得：
\[\frac{P-C'(Q)}{P}=\frac{1}{\varepsilon}\]这意味着，价格超过边际成本的加成比例等于需求价格弹性的倒数。
实例
假设另一家企业的成本函数为\(C(Q)=320+2Q+0.2Q^2\)，逆需求函数为\(P=44-0.5Q\)。将\(P\)代入利润函数，可以得到仅关于产量\(Q\)的利润表达式。对该表达式求导，得到一阶条件。
\[\begin{align*} \Pi&=Q(44-0.5Q)-(320+2Q+0.2Q^2)\\\frac{d\Pi}{dQ} &= 42-1.4Q=0 \\ \text{ 于是 } Q^*&=30 \end{align*}\]由此可得，利润最大化时的产量\(Q^*=30\)。将该产量代入逆需求函数，可计算出对应价格\(P^*= 44-0.5Q^*=29\)。图E7.5直观地展示了这一结果。
图E7.5 成本函数\(C(Q)=320+2Q+0.2Q^2\)和逆需求函数\(P=44-0.5Q\)下的利润最大化。
逆需求函数的斜率为-0.5。为了验证等利润曲线在利润最大化点（\(Q^*\)， \(P^*\)）处的斜率也为−0.5，可进行如下计算：
\[\begin {align*} \text{等利润曲线的斜率} &= \frac{C'(Q)-P}{Q}\\&=\frac{2+0.4Q^* - P^*}{Q^*}\\&=\frac{2+0.4\times 30-29}{30}=-0.5 \end {align*}\]由于需求曲线向下倾斜，利润最大化点必然位于等利润曲线向下倾斜的区域。因此，在利润最大化时，企业设定的价格高于边际成本。
\(MR = MC\)
本节主要阐述了如何通过图形法确定利润最大化时的产量，即边际收入等于边际成本时的产量。以下将进行代数推导：
假设企业收入函数为\(R = PQ\)。利用逆需求函数\(P = f(Q)\)，将收入函数仅用产量 \(Q\) 表示，得到：
\[R(Q)=Qf(Q)\]边际收入MR为：
\[MR=R'(Q)=f(Q)+Qf'(Q)\]因此，利润最大化的一阶条件等价于 MR = MC：
\[\begin{align*} f(Q)+Qf'(Q)&=C'(Q)\\ \text{MR}&=\text{MC} \end{align*}\]由于利润等于收入减去成本 (\(\Pi(Q)= R(Q)-C(Q)\))，因此求解利润最大化问题通常有两种方法：一是直接对利润函数求导，并令 \(\Pi'(Q) = 0\)；二是分别对收入函数和成本函数求导，得到边际收入MR和边际成本MC，然后求解方程MR = MC。这两种方法在数学上是等价的。
练习E7.4 利润最大化
假设某公司的成本函数为\(C(Q) = 50 + 4Q + Q^2\)，逆需求函数为\(P = 100-2Q\)。
- 写出利润额为\(\Pi_0\)时对应的等利润曲线方程。
- 参照图 E7.3绘制图表，展示逆需求函数以及利润分别为200、500和1000时的等利润曲线 。（请务必在图中标注每条等利润曲线对应的利润水平。）
- 推导利润函数Π的表达式，并运用约束优化方法，求解利润最大化时的产量\(Q\)以及对应的价格\(P\)。在问题2的图表中标出该利润最大化点。
- 绘制通过利润最大化点的等利润曲线，并在图中标注。验证在该利润最大化点处，等利润曲线的斜率是否等于逆需求函数的斜率。解释该等利润曲线上各点对应的利润水平。
- 推导边际收入（MR）和边际成本（MC）的函数表达式。在问题2的图表中绘制出MR和MC函数曲线，并验证利润最大化点是否位于MR曲线与MC曲线的交点处。
延伸阅读：马尔科姆·彭伯顿和尼古拉斯·劳的《经济学家需要掌握的数学：一本入门教材》第 8 章（曲线绘制与极值求解）。Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
