第3单元 尽你所能：稀缺性、福祉与工作时长
3.5 决策制定和稀缺性
我们已经描述了卡里姆对不同消费和自由支配时间组合的偏好，并分析了哪些组合对他来说是可行的。在对他的工作时长决策进行建模时，第三步是将决策者的偏好和可行集结合起来，以确定他最终会选择的消费与自由支配时间的组合。图3.7a同时展示了卡里姆的可行边界（图3.6）和无差异曲线（图3.4）。回忆一下，无差异曲线反映了卡里姆的偏好，其斜率代表着他愿意作出的权衡；而可行边界是对他选择范围的限制，其斜率代表着他不得不作出的权衡。
图3.7a展示了四条无差异曲线，分别标记为IC1至IC4。其中IC4离原点最远，代表着最高的效用水平。然而，这条无差异曲线完全位于可行集之外，因此对卡里姆来说IC4上任何组合都是不可行的。假设卡里姆考虑在可行集内选择IC1上的某个组合。图3.7a中的步骤展示了他如何通过移动到更高无差异曲线上的点来提升效用，直到找到一个能使其实现效用最大化的可行选择。
图3.7a 卡里姆决定工作多少小时？
卡里姆将选择哪个点？
可行组合
还可以变得更好
还可以变得更好
可行的最优权衡结果
最优且可行的取舍结果
MRS=MRT
卡里姆在E点实现了效用最大化。在该点处，他的无差异曲线与可行边界相切（二者相接但不相交）。根据模型预测结果，卡里姆将会：
- 选择每天将7小时用于工作，17小时用于其他活动。
- 拥有210欧元的消费预算。
在图3.7a中，卡里姆在E点处达到了他所能企及的最高无差异曲线：该点位于可行边界上，且无差异曲线的斜率与可行边界的斜率相同。现在，回忆一下，这两个斜率代表了卡里姆面临的两种取舍关系：
- 无差异曲线的斜率表示MRS，即卡里姆在自由支配时间和消费之间愿意作出的取舍；
- 可行边界的斜率表示MRT，即由于受到可行边界的限制，他在自由支配时间和消费之间不得不面对的取舍。
卡里姆在两种取舍关系恰好取得平衡的地方（E点）实现了效用最大化。他关于消费与自由支配时间的最优组合位于边际转换率等于边际替代率的点上。
图3.7b展示了图3.7a中各点的MRS（无差异曲线的斜率）和MRT（可行边界的斜率）。在B点和D点，卡里姆愿意为多1小时自由支配时间放弃的消费量（MRS）大于他必须放弃的消费量（MRT），因此他倾向于增加自由支配时间。在A点，边MRT大于MRS，因此他倾向于减少自由支配时间。在E点，正如预期的那样，MRS和MRT相等。
| B | D | E | A | |
|---|---|---|---|---|
| 自由支配时间 | 9.5 | 12 | 17 | 21.9 |
| 消费 | 435 | 360 | 210 | 63 |
| MRT | 30 | 30 | 30 | 30 |
| MRS | 223 | 105 | 30 | 2 |
图3.7b 卡里姆决定工作多少小时？
- 受约束选择问题（constrained choice problem）
- 在这类问题中，决策者需要在特定约束条件下选择一个或多个变量的值以实现某一目标（如利润最大化或效用最大化）。其中，约束条件决定了决策者的可行集（如需求曲线或预算约束）。
我们将卡里姆关于劳动时长的决策制定建模为所谓的受约束选择问题：决策者（卡里姆）在某种约束条件（他的可行边界）的限制下追求某一目标（在这个例子中是效用最大化）。
在我们的例子中，对卡里姆来说，自由支配时间和消费都是稀缺的，这是因为：
- 自由支配时间和消费都是“商品”：卡里姆对二者都很看重。
- 获得每种商品都需要付出机会成本：一种“商品”增多意味着另一种“商品”减少。
在受约束选择问题中，最优解指的是最能满足个人目标的选项。如果我们假设卡里姆的目标是实现效用最大化，那么最优的消费与自由支配时间组合必然落在可行边界上，并满足以下条件：
\[\text{MRS} = \text{MRT}\]图3.8中的表格总结了卡里姆面临的取舍关系。
| 取舍关系 | 在图中的对应 | |
|---|---|---|
| MRS | 卡里姆愿意为多1个小时自由支配时间放弃的消费量（以欧元计） | 无差异曲线的斜率 |
| MRT | 卡里姆放弃（或增加）1个小时自由支配时间所能够获得（或失去）的消费量 | 预算约束线（可行边界）的斜率，其绝对值等于工资水平 |
图3.8 卡里姆面临的取舍关系。
我们有时会说“MRS等于无差异曲线的斜率”“MRT等于可行前沿的斜率”。但实际上，MRS和MRT是正数，而斜率是负数。严格来说，我们的意思是MRS和MRT等于这些斜率的绝对值。
练习3.4 佐伊的受约束选择问题
还记得练习3.3中佐伊面临的选择吗？她有240英镑的预算，可以用于购买电影票（每张10英镑）和与朋友外出社交（平均每次16英镑）。我们可以将她面临的选择问题类比为卡里姆的情况：电影票和外出社交对她而言都是商品，她希望尽可能多地享受这两种活动，但她的选择范围受到预算的限制。
- 请根据练习3.3中可行集的图示，绘制佐伊的无差异曲线，以展示她对这两种商品的偏好。假设佐伊无差异曲线的形状类似于卡里姆的无差异曲线（向下倾斜，并且随着自由支配时间增加而逐渐变得平坦）。请解释，为什么作出这样的假设是合理的（提示：思考一下，当你沿着一条无差异曲线移动时，边际替代率是如何随之变化的）。你能想到为什么无差异曲线可能会有不同的形状吗（例如，它们可能是直线，或者随着横轴上商品数量增加，曲线变得更为陡峭）？
- 请在你绘制的无差异曲线上，标记出她最偏好的电影票和外出社交活动的组合。（这只是一个示意草图，但请确保你画的所有无差异曲线形状合理且不相交。）
- 在你标出的最优组合点上，佐伊的边际替代率是多少？你是如何得到这一结论的？
练习3.5 阿列克谢的受约束选择问题
考虑学生阿列克谢的情况，他知道自己的期末成绩取决于他每天平均学习时长。如果他不学习，他的成绩将是0分；每学习1小时，他的成绩会提高8分。但他每天最多学习12小时，在此之后增加更多学习时间也不会让成绩进一步提高。
- 假设阿列克谢只关心两件事：期末成绩和自由支配时间。对阿列克谢来说，这两种商品是稀缺的吗？请解释原因。
- 请绘制一张图，展示阿列克谢的成绩如何取决于他的学习时间（横轴为每日学习时长）。
- 请在另一张图中将横轴改为每日自由支配时间，纵轴仍为成绩，绘制阿列克谢的无差异曲线，以此来表示他的偏好。和之前一样，我们假设这些无差异曲线向下倾斜，并且随着自由支配时间增加逐渐趋于平坦。
- 请在图中添加阿列克谢的可行边界和可行集。（提示：它应该是问题2所绘制图形的镜像。）他在自由支配时间和成绩之间的边际转换率是多少？
- 请在图中标记出阿列克谢的最优选择。（你的答案将取决于你所绘制的无差异曲线的形状。）他最终会选择每天学习多少小时？
- 请（在单独的图上）绘制另一组无差异曲线，以展示一种能使阿列克谢每天恰好选择12小时自由支配时间的偏好结构。并且在这种特殊情况下，他的MRS可能会小于MRT。他会在这种偏好下选择拥有少于12小时的自由支配时间吗？请说明原因。
问题3.7 选择正确的答案（多选题）
图3.7a展示了卡里姆的可行边界，以及他关于每日消费和自由支配时间的无差异曲线。假设其他资历相似的劳动者拥有相同的可行边界，但由于偏好不同，他们的无差异曲线斜率可能有所不同。
根据此图，阅读以下陈述并选择正确的选项。
- 如果卡里姆位于可行边界上边际替代率不等于边际转换率的点，那么他愿意为某种商品所付出的代价超过实际所需付出的代价。因此，他会选择不断调整组合中各种商品的数量，直到达到MRS等于MRT的点。
- 在可行边界上，卡里姆在E点处的无差异曲线高于在D点处的无差异曲线。因此，D点不是他的最优选择。
- 无差异曲线更平坦的消费者（更愿意为消费牺牲闲暇）边际替代率更低。因此，他们会选择E点左侧的组合（如D点），在这些点上他们的无差异曲线与可行边界相切。
- 在可行边界E点左侧的点处，消费相对闲暇的比例更高。但卡里姆更偏好E点，因为在该点处边际替代率等于边际转换率。
扩展3.5 求解消费与闲暇的受约束选择问题
在许多经济模型中，我们都会遇到受约束选择问题。虽然图（正如本节正文所示）能够帮助我们理解这些问题，但通过数学方法求解不仅能为我们提供更深入的见解，还能避免我们受到图形绘制方式的误导。在本扩展内容中，我们将介绍两种运用微积分求解受约束选择问题的方法。一种方法结合了扩展3.3和3.4中的分析思路和经济学见解；另一种是数学代换法，有时也可用于求解受约束选择问题。
卡里姆希望在尽量少牺牲自由支配时间的同时实现尽可能多的消费。图3.7a（此处重现为图E3.3）以图示方式展示了这一点：他通过选择无差异曲线与可行边界相切的E点来最大化效用。在E点，他的边际替代率（MRS）等于边际转换率（MRT）。在本扩展内容中，我们将展示如何将卡里姆的决策用数学语言表述为一个受约束选择问题，并在此基础上求解出他在消费和闲暇之间的最优组合。
图E3.3 卡里姆决定工作多少小时？
卡里姆的效用函数（如图E3.3所示）为：
Translation query: we are missing the text translation (“for”) in the formula below.
\[u(t,c)=(t-6)^2(c-45) \text{ for } t>6, c>45\]以及可行边界（他的预算约束线）的方程为\(c= w(24-t)\)，其中\(w\)表示工资水平（在图E3.3中等于30美元）。
卡里姆的受约束选择问题
在约束条件\(c=w(24\ –\ t)\)下选择\(t\)和\(c\)以最大化效用函数\(u(t, c)\)。
在受约束选择问题中，我们想要最大化（或在某些问题中是最小化）的函数被称为“目标函数”。卡里姆的目标是最大化他的效用。
在这类问题中，约束条件有时会写成不等式的形式\(c \leq w(24\ –\ t)\)，这表示他的选择必须位于可行集之内。但由于卡里姆的效用随着\(t\)和\(c\)的增加而提高，我们知道他一定会选择恰好位于可行边界上的点。因此，我们可以将约束条件写成一个等式，这样能让数学求解更加简便。
求解卡里姆受约束选择问题的两种方法
求解卡里姆选择问题的第一种方法是利用约束条件，将效用函数中的\(c\)替换为关于\(t\)的表达式，从而将效用函数转化为单变量\(t\)的函数：
\[u = (t-6)^2(w(24-t)-45)\]接下来，我们对\(t\)求导并令导数等于零，从而求解其最大值。利用乘积法则进行求导：
\[\begin{align} \frac{du}{dt} = 2(t - 6)(w (24 - t) - 45) - w (t - 6)^{2} &= 0 \\ \Rightarrow 2(w(24 - t) - 45) &= w(t - 6) \end{align}\]重新整理这个方程以求解\(t\)，可得：
\[t=18-\frac{30}{w}\]当\(w=30\)时，代入上式可得\(t=17\)。随后我们将其带入预算约束，可求得对应的消费水平：\(c = 30(24-17) = 210\)。
为了验证我们找到的是一个最大值点（而不是最小值点或拐点），我们需要检查该点处二阶导数\(d^2u/dt^2\)的符号。对上面\(du/dt\)的表达式求导，可以得到\(d^2u/dt^2=90(23-2t)\)。当\(t=17\)时，该二阶导数为负，因此这个点确实是效用函数的最大值点。
总之，为了在预算约束下实现效用最大化，卡里姆应该选择每天将17小时用于闲暇，7小时用于工作，并获得210美元的消费。这就是图E3.3中的E点。
另一种方法是凭借我们在绘制无差异曲线和预算约束线过程中得到的直观结论来求解这一问题。具体来说，对卡里姆而言，\(c\)（消费）和\(t\)（自由支配时间）的最优组合必然位于预算约束线与无差异曲线的切点处。因此该点将同时满足两个条件：
- 该点在预算约束线上。
- 在该点处\(\text{MRS}=\text{MRT}\)。
根据扩展3.3，我们可知MRS等于边际效用之比，即\(\frac{\partial u}{\partial t}/\frac{\partial u}{\partial c}\)：
\[\frac{\partial u}{\partial t} = 2(t-6)(c-45) \ \text{以及} \ \frac{\partial u}{\partial c} = (t-6)^2 \Rightarrow \text{MRS} = \frac{2(c-45)}{(t-6)}\]而根据扩展3.4，我们知道边际转换率等于工资\(w\)。所以卡里姆最优组合所满足的两个条件是：
\[c = w(24-t)\] \[\frac{2(c-45)}{(t-6)} = w\]这样我们便得到了关于\(t\)和\(c\)的一组联立方程。最简单的求解方法是使用第一个方程替代第二个方程中的\(c\)。你会发现，最终我们得到的关于\(t\)的方程与采用第一种方法所得到的结果一致
一阶条件
在经济模型中，你还会遇到许多其他受约束选择问题的例子。通常情况下，我们会在约束条件上找到满足所谓“一阶条件”的点，这便是受约束选择问题的最优解。
在卡里姆的问题中，最优选择位于预算约束线上，并且满足一阶条件：MRS等于MRT。之所以称这一条件为“一阶”，是因为它涉及一阶导数。在使用代换法时，我们通过令目标函数的一阶导数为零来得到一阶条件。
请注意，当我们使用代换法时，我们还检查了“二阶条件”——通过目标函数的二阶导数来判断该点是否为最大值点。而对于另一种方法，我们没有检查二阶条件，因为基于对问题的经济学理解（并借助图示），我们已经可以推断出切点必然为最大值点。
练习E3.4 使用两种方法求解受约束选择问题
卡里姆朋友的效用函数为\(u(t,c)=t^{3}c\)并且他的时薪为25美元。
- 假设卡里姆的朋友想要最大化自身效用。请使用代换法求解他会选择多少小时的自由支配时间（\(t\)）以及相对应的消费水平（\(c\)）。
- 请验证是否可以利用“MRS=MRT”方法得到相同的答案。
- 请使用一般形式的效用函数方程\(u(t,c)=t^a c^b\)和预算约束方程\(c=w(24-t)\)，证明代换法和“MRS=MRT”方法能够得到相同的结果。
延伸阅读：马尔科姆·彭伯顿和尼古拉斯·劳的《经济学家需要掌握的数学：一本入门教材》8.1节至8.3节。Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed, 2023). Manchester: Manchester University Press.
