第3单元 尽你所能：稀缺性、福祉与工作时长
3.4 可行集
- 机会成本（opportunity cost）
- 指在选择某一行动方案时，所放弃的次优选择可能带来的收益。例如：“我决定去度假而不是接受一份暑期工作。那份工作既乏味无趣又薪资低廉，因此度假的机会成本相对较低。”
从卡里姆的偏好可知，他既想尽情消费，又想拥有充足的自由支配时间。然而，消费与自由支配时间的组合方式并非随心所欲，而是受到这份时薪30欧元工作所能提供的选择范围的限制。这让他陷入两难：自由支配时间越多，消费就越少。也就是说，自由支配时间是有机会成本的：卡里姆若想多些自由支配时间，就只能放弃获得更高消费水平的机会。
构建块
想要了解机会成本的相关内容，请阅读 2.2节。
他的总消费金额取决于他选择多少小时的自由支配时间。还记得，如果他以每小时\(w\)的工资水平工作\(h\)小时，他的收入就是\(y = wh\)。所以，如果他每天选择\(t\)小时的自由支配时间，那么他的每日工作时长就是\((24 - t)\)小时，他的最高消费水平\(c\)则可以表示为：
\[c = w(24 - t)\]- 预算约束（budget constraint）
- 预算约束是一个等式，表示在恰好用尽全部预算情况下，个人能够获得的所有商品和服务组合。
我们将这一等式称为卡里姆的预算约束，因为它表明了卡里姆能够负担得起的消费选择。
图3.6展示了卡里姆在意的两种商品：自由支配时间(\(t\))（横轴），以及消费(\(c\))（纵轴）。在图3.6的表格中，我们计算了当他每天工作时间在0到16小时之间变化时，对应的自由支配时间以及他在时薪\(w\) = 30欧元的条件下所能实现的最高消费金额。
| 工作时长（小时） | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
| 自由支配时间（小时） | 24 | 22 | 20 | 18 | 16 | 14 | 12 | 10 | 8 |
| 消费（欧元） | 0 | 60 | 120 | 180 | 240 | 300 | 360 | 420 | 480 |
图3.6 预算约束和可行集。
当我们把表格中的数据绘制在图中时，会得到一条向下倾斜的直线：这便是预算约束线。其对应的方程为：
\[c = 30(24 - t)\]图3.6中预算约束线的图形与图3.3中收入和工作时长之间关系的图形呈镜像对称。预算约束线是一条直线，其斜率不变且对应着工资水平。但是它向下倾斜，意味着斜率为负。在这条直线上的任意一点，如果自由支配时间增加1小时，最高消费金额就会减少30欧元，所以其斜率为－30。
\[\begin{align} \text{斜率} &= \frac{\text{垂直方向变化量}}{\text{水平方向变化量}} \\ &= \frac{-30}{1} \\ &= -30 \end{align}\]图3.6展示了在众多消费和自由支配时间的组合中，哪些对于卡里姆而言是可行的，哪些是不可行的。所有位于预算约束线之上的点均不可行。例如，C点对应着12小时自由支配时间和450欧元的消费。这对于卡里姆是不可行的，因为如果他选择12小时自由支配时间，他的收入将只有360欧元。
而所有位于预算约束线上或其下方阴影区域内的点都是可行的。例如，卡里姆可以选择D点，该点对应着18小时的自由支配时间和70欧元的消费。根据我们对他偏好的了解，我们预计他不会作出这样的选择，因为此时他的消费低于收入——还记得，他只在乎自己的消费和自由支配时间，因此他的收入并不存在其他用途。假如他选择预算约束线下方的组合，那就等于主动放弃了一部分本可以轻松获得的好处：他完全可以在不牺牲任何自由支配时间的情形下获得更多消费，或者在不降低消费水平的情形下拥有更多自由支配时间。但无论如何，D点对他来说仍是一个可行的选择。
- 可行集（feasible set）
- 在决策者所面临的经济、物理或其他约束条件下，所有可供选择的商品或结果的组合。 参见：可行边界。
- 可行边界（feasible frontier）
- 由一系列点构成的曲线或直线，表示在某种商品数量给定的情形下，另一种商品可以获得的最大数量。 参见：可行集。
- 边际转换率（marginal rate of transformation，MRT）
- 指为了获取额外一单位某种商品所必须放弃的另一种商品的数量。在任意一点上，它等于可行边界斜率的绝对值。 参见：边际替代率。
阴影部分代表卡里姆的可行集。所谓集（或集合），其实就是由若干事物构成的整体。在这里，它包含了所有可以实现的自由支配时间和消费的组合。原则上，只要他愿意，他可以选择集合中的任意一点。预算约束线构成了可行集的上边界，因此也被称作可行边界。
可行边界的斜率（对应工资水平）决定了卡里姆所面临的取舍程度：为了多获得1小时自由支配时间，他必须放弃多少消费。1小时自由支配时间的机会成本等于他的工资收入，也就是他通过工作本可以获得的30欧元消费。
我们还可以用另一种方式来描述这一取舍：可行边界反映了卡里姆的边际转换率（MRT），即他将自由支配时间转换为消费的比率。当卡里姆的时薪为30欧元时，他能够以每小时30欧元的比率将自由支配时间转换为消费。如果时薪提高到35欧元，那么预算约束线会变得更陡峭，斜率变为－35，此时他的边际转换率就是每小时35欧元。
截至目前，我们已经发现存在两种取舍关系：
- 边际替代率（MRS）：如前所述，MRS衡量的是卡里姆主观上愿意在消费和自由支配时间之间作出的取舍。
- 边际转换率（MRT）：相反，MRT衡量的是卡里姆受可行边界约束、客观上必须面对的取舍。
下一节将展示卡里姆如何在消费和自由支配时间之间作出选择，从而平衡这两种取舍关系。
问题3.6 选择正确的答案（多选题）
复制一份图3.6，该图展示了卡里姆在工资水平为每小时30欧元情形下的预算约束。在该图中再添加一条线，表示当他工资水平上涨到每小时40欧元时的预算约束。假设他选择16小时的每日自由支配时间和240欧元的消费。在图上我们将该点标记为E点。
阅读以下陈述并选择正确选项。
- 工资水平上涨后，E点仍然可行，因为它仍位于新的可行边界之内。卡里姆每天可从工作中获得320欧元，所以完全可以承担240欧元的消费。
- 当工资水平为30欧元时，自由支配时间为12小时、消费为400欧元的组合并不可行。
- 预算约束线围绕着点（24，0）向外转动。原则上，24小时自由支配时间和无消费的组合是始终可行的。
- 在工资水平提高后，原可行集中的所有点，以及两条预算约束线之间的所有点，都是可行的。
练习3.3 一个学生的预算问题
佐伊是一名即将前往伦敦上大学的新生，他正在为自己的第一学期规划预算。她从一个学生网站上的调查报告中了解到，2021年英国学生每月在社交和外出就餐方面的平均支出为88英镑，其中“外出活动”方面花费47英镑，“外卖及外出就餐”方面花费41英镑。参考这些数据，她决定在本学期为社交和娱乐活动预留240英镑。她估计，和朋友外出玩一晚的平均花费为16英镑，不过她也希望能定期去看电影，而电影票的价格为每张10英镑。
- 如果佐伊把全部预算都用于夜间社交活动，她能参与几次这样的活动？
- 如果她把全部预算都用来购买电影票，总共能买几张电影票？
- 请填写下表，计算佐伊在购买给定数量的电影票后，还能安排几次夜间社交活动。（注意：并非所有答案都是整数）
- 利用表格中的信息绘制佐伊的预算约束线，横轴为电影票数，纵轴为夜间社交活动次数。她的边际转换率是多少？
| 电影票数（c） | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
| 夜晚外出社交次数（n） |
扩展3.4 边际转换率
本扩展部分使用微积分方法，将MRT表示为可行边界的斜率。在本节正文中，我们使用了一个非常简单的例子来介绍可行集与MRT的概念；在这里我们将进一步说明如何将这些概念推广到更复杂的情形——劳动者的可行边界不再是直线。这一情形将在第5单元中出现。
我们将卡里姆的边际转换率定义为他将自由支配时间转换为消费的比率。从图形上看，它是可行边界斜率的绝对值。
卡里姆的可行边界就是他的预算约束线；位于该边界及其以下的所有自由支配时间\(t\)和消费\(c\)的组合对他来说都是可行的选择。在这种情形下，计算他的MRT十分简单，因为他的预算约束线是一条直线，其斜率是固定不变的：
\[c= w(24-t) \Rightarrow \frac{dc}{dt}=-w\]所以，卡里姆的MRT就是他的工资水平\(w\)，并且是一个常数：也就是说，对于可行边界上的每一点，MRT都是相同的。然而，在许多涉及可行集的经济模型中，可行边界并非总是直线。本节将提供一个例子，另一个会在第5单元中出现。与扩展3.3类似，我们将使用微积分方法，从边际量的角度来度量MRT。
考虑玛丽娜的情况，她靠撰写短篇小说并卖给杂志社为生。和卡里姆一样，她看重消费\(c\)和自由支配时间\(t\)，并且她的消费水平取决于每天的工作时间。然而，与卡里姆不同的是，玛丽娜并不能从工作中获得固定时薪。每天早上开始工作的前一两个小时里，她的写作效率最高，因此每小时的收入也最高；之后随着写作时长的增加，她的工作效率和工资水平也逐渐下降。
假设她工作\(h\)小时，其每日收入由函数\(f(h)\)给出。随着\(h\)从0增加到16小时，该函数\(f(h)\)从0增加到400美元。我们可以将这一关系视为她的生产函数：它表明玛丽娜在不同工作时长下所能“产出”的收入。函数\(f\)具有以下性质：
\[f(0)=0;\ f(16)=400;\ f'(h)>0; \text{ 以及 } f''(h)<0\]二阶导数\(f''(h)\)为负，这说明：随着工作时长增加，她的生产效率逐渐降低。也就是说，她的收入虽然持续增加，但增速却不断减缓。
玛丽娜的消费水平是\(c = f(h)\) 。我们可以代入\(h = 24 - t\)，将其改写为自由支配时间而非工作时长的函数。这就得到了可行边界的方程，即如果她每天拥有\(t\)小时自由支配时间，所能达到的最大消费水平\(c\)：
\[c=f(24-t)\]图E3.2展示了当函数\(f\)满足上述性质时可行边界的形状。
我们在绘制该图过程中实际使用的函数为\(f(h)=400(1-(1 - h/16)^{a})^{1/a}\)，其中参数\(a\)为1.6。
与图3.6中卡里姆的可行边界相比，这一可行边界的主要区别在于：当我们沿着无差异曲线移动时，可行边界的斜率会发生变化。例如，在B点，此时玛丽娜每天拥有22个小时的自由支配时间、仅工作2小时，曲线的切线较为陡峭；而随着她每日工作时长增加，曲线切线会变得越来越平坦。
图E3.2 玛丽娜的可行边界。
为了计算MRT，我们只需对可行边界方程关于\(t\)求导：
\[c=f(24-t) \Rightarrow \frac{dc}{dt} = f'(24-t) \frac{d}{dt}(24-t)\]运用复合函数求导法则（也称为链式求导法则），可得：
\[\begin{align} \frac{dc}{dt} &= -f^{\prime}(24 - t) \\ \text{MRT} &= f^{\prime}(24 - t) \end{align}\]随着自由支配时间\(t\)增加，边际转换率上升：
\[\frac{d\text{MRT}}{dt} = \frac{d}{dt}f^{\prime}(24-t) = -f^{\prime\prime}(24-t) > 0\]（再次使用链式法则）
回忆一下，卡里姆的MRT（即他将自由支配时间转换为消费的比率）就是他的工资水平。我们可以用类似的方式来理解玛丽娜的MRT，它反映了玛丽娜将自由支配时间转换为收入的比率，实际上也就相当于她的工资水平。只不过，随着工作时长增加，她的“工资水平”每时每刻都在降低。根据我们绘制图E3.2时所使用的函数，在B点（\(t = 22\)），她的实际时薪（MRT）是42.81美元；而在A点，她的工作时间更长，自由支配时间仅为16小时，此时她的实际时薪已降至每小时19.16美元。
练习E3.3 边际转换率的计算与解读
假设玛丽娜可行边界的方程为\(f(t)=100\ln(25 - t)\)。
- 请绘制她的可行边界，其中纵轴为每日消费（美元），横轴为每日自由支配时间（小时），\(t\)的取值范围为8，……，24。
- 请运用微积分方法推导玛丽娜的MRT表达式。结合你绘制的图形和推导的结果，阐述MRT如何随着玛丽娜自由支配时间的改变而发生变化。
- 请分别计算玛丽娜拥有16小时和22小时自由支配时间时的MRT，并将其与图E3.2中可行边界对应的众多MRT进行比较。请结合比较结果，讨论可能影响个人MRT的一些现实因素。
延伸阅读：马尔科姆·彭伯顿和尼古拉斯·劳的《经济学家需要掌握的数学：一本入门教材》7.2节（关于复合函数求导法则）。Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed, 2023). Manchester: Manchester University Press.
