第3单元 尽你所能：稀缺性、福祉与工作时长

扩展3.3 无差异曲线、边际变化和边际替代率

在图3.4（此处重新展示为图E3.1）中，我们通过找出能给卡里姆带来相同效用的组合点，并将这些点连成无差异曲线，从而描绘出卡里姆的偏好。我们可以对图中不同点进行比较，从而判断他更偏好哪一个点。然而，这并不能全面地刻画他的偏好：例如，如果在图E3.1任意两条无差异曲线之间的区域选取两个点，我们可能就无法判断他更偏好哪一个点。

效用函数

效用函数（utility function）

效用函数是对个人在一种或多种商品上偏好程度的数学表示。它为每一种可能的商品组合赋予一个数值，用以代表个人从该组合中获得的效用。

为了全面描述偏好，我们使用效用函数这一工具，它能够说明一个人的“效用单位”如何依赖于他能够获得的商品数量。卡里姆只在意两种商品：自由支配时间和消费。如果他有\(t\)小时的自由支配时间和\(c\)单位的消费，那么他的效用可以表示为以下函数形式：

\[u(t, c)\]

由于自由支配时间和消费都是卡里姆想要的商品（他希望二者都尽可能得多），因此效用函数必然具备以下性质：增加\(t\)（自由支配时间）或\(c\)（消费）都能够提升\(u\)（效用）。我们可以通过求偏导数分析效用如何随着\(t\)的增加而变化：具体来说，就是把\(c\)当作常数，对效用函数关于\(t\)求导。类似地，我们也可以对\(c\)求偏导数，以此判断\(c\)的变化对效用的影响。两个偏导数可分别表示为：

\[\frac{\partial u}{\partial t} \text{ 和 } \frac{\partial u}{\partial c}\]

当满足以下条件时，效用随着\(t\)和\(c\)的增加而提高：

\[\frac{\partial u}{\partial t}>0; \frac{\partial u}{\partial c}>0\]

我们称效用与\(t\)和\(c\)“正相关”。

卡里姆的效用函数包含两个自变量。正如一元函数可以在平面上表示为一条曲线，二元函数则可以在三维空间内表示为一个曲面（如扩展2.4中所示）。但是三维图形在分析上往往不太直观，因此经济学家通常采用与我们日常描述三维空间相同的方法来图示效用——等高线图。等高线图通过连接海拔相同的点来描述地形。类似地，无差异曲线将效用相同的点连接在一起，就像是效用曲面的等高线。

（我们用于绘制图E3.1的）卡里姆的效用函数如下：

\[u=(t-6)^2(c-45) \text{ 其中 } t>6, c>45\]

卡里姆在消费和自由支配时间方面都有基本的“生存需求”：只有当\(t>6\)且\(c>45\)时，他才能获得效用。根据这个效用函数，他在E点(\(t\) = 16，\(c\) = 446)的效用为\(u\) = 40,100。你可以验证，图E3.1下方表格中的其他点也具有大致相同的效用水平（因为表格中的消费数据经过四舍五入取整，所以效用值可能存在轻微误差）。

在许多模型中，效用值\(u\)的具体数值并无实际意义。效用函数的作用在于刻画人们的偏好，也就是告诉我们两个点之间的哪一个点能够带来更高的效用。效用的具体数值并不重要。例如，如果使用效用函数\(u = 23(t - 6)^2(c - 45)\)，我们依然会得到完全相同的无差异曲线和偏好关系。

绘制卡里姆的无差异曲线

如果已知某人的偏好可由效用函数\(u(t, c)\)表示，那么每条无差异曲线的方程可以记作以下形式：

\[u(t, c) = u_0\]

其中，\(u_0\)是常数，代表无差异曲线对应的效用水平。根据卡里姆的效用函数，无差异曲线的方程为：

\[(t-6)^2(c-45) = u_0\]

经过整理后，可以得到：

\[c = \frac{u_0}{(t-6)^2} + 45\]

要绘制一条无差异曲线，我们可以为\(u_0\)选定一个数值，然后以\(t\)为横轴、\(c\)为纵轴，根据上述关系式绘制图形。我们可以绘制出图E3.1中的无差异曲线：首先选取\(u_0 = 40,100\)，得到图中位置最高的那条无差异曲线，然后依次选取\(u_0 = 21,000\)和\(u_0 = 8,000\)，绘制出另外两条位置较低的无差异曲线。

计算卡里姆的边际替代率

卡里姆的边际替代率（MRS），即他用消费来换取额外1小时自由支配时间的意愿，取决于他所拥有的商品组合\((t, c)\) 。这一比率等于穿过该点的无差异曲线\(u(t, c)=u_0\)的斜率的绝对值。

那么，我们应该如何计算无差异曲线\(u(t, c)=u_0\)的斜率呢？

对于我们为卡里姆设定的效用函数，使用微积分工具能够轻松完成计算。和之前一样，我们将无差异曲线的方程整理为\(c\)关于\(t\)的函数：

\[c = \frac{u_0}{(t-6)^2} + 45\]

然后我们对其求导，得到无差异曲线的斜率：

\[\frac{dc}{dt} = \frac{-2u_0}{(t-6)^3}\]

这为我们提供了一个关于\(t\)和\(u_0\)（该点处效用水平）的斜率表达式。但通常，我们希望将其表示为\(t\)和\(c\)的函数。为此，我们可以将无差异曲线的方程代入\(u_0\)，得到：

\[\frac{dc}{dt} = \frac{-2(t-6)^2(c-45)}{(t-6)^3} = \frac{-2(c-45)}{(t-6)}\]

该式取值为负（在\(c>45\)且\(t>6\)的情况下）——请记住，无差异曲线是向下倾斜的。MRS为该斜率的绝对值：

\[\text{MRS} = \frac{2(c-45)}{(t-6)}\]

这一表达式可用于计算卡里姆在任意自由支配时间和消费组合\((t, c)\)下的MRS。例如，A点处\((t = 15, c = 540)\)的MRS为：

\[\text{A点处的MRS} = \frac{2 \times (540-45)}{15-6} = 110\]

使用这一方法计算得到的A点处MRS数值与图3.5中的MRS数值并不相同。在中，我们使用整数进行计算，并将MRS定义为卡里姆愿意为了增加一小时自由支配时间而放弃的消费数量。在A点，这相当于从A点到E点的直线的斜率。而在这里，我们运用微积分方法，通过计算A点处无差异曲线的精确斜率求得该点处的MRS，因此结果略有不同。不过，无论采用哪种方法，MRS的度量单位是一致的：在卡里姆的例子中，MRS的单位是欧元/小时。

导数与边际变化

边际变化（marginal change）

当两个变量\(x\)和\(y\)相关时，边际变化的影响是指随着\(x\)的微小增加，\(y\)所产生的相应变化。如果\(y\)是\(x\)的连续函数，那么\(y\)的边际变化就是\(y\)相对于\(x\)的变化率，即该函数的导数。

边际替代率衡量的是一种变化率，经济学家通常将其描述为边际变化的影响。这是你在学习经济学的过程中将会接触到的众多边际变化之一。我们常常把两个变量\(x\)和\(y\)之间的关系建模为函数\(y = f(x)\)，并希望度量当\(x\)增加时\(y\)的变化速度，也就是\(y\)相对于\(x\)的变化率。我们把这一指标记作\(x\)边际变化所导致的y的边际变化。

当我们绘制该函数的图像时，边际变化的影响是通过直线或曲线的斜率来度量的。如果函数图像是一条曲线，不同\(x\)取值处对应的斜率数值是不同的。MRS便是无差异曲线在某一点处的斜率。

边际效用

边际效用（marginal utility）

指增加一单位商品的消费所带来的额外效用。

边际变化的另一个例子是边际效用，即当某种商品数量增加时效用的变化率。使用微积分方法，边际效用可以表示为偏导数的形式：对卡里姆而言，\(\frac{\partial u}{\partial t}\)是自由支配时间的边际效用，\(\frac{\partial u}{\partial c}\)是消费的边际效用。边际效用与边际替代率密切相关，我们将在下文作具体解释。

边际替代率：一个通用公式

在前文中，我们通过对卡里姆无差异曲线的特定方程进行代数变形，并求导以得到其斜率，从而计算出他的MRS。而对于一般形式的效用函数\(u(t, c)\)，我们可以利用边际效用（即\(\frac{\partial u}{\partial t}\)和\(\frac{\partial u}{\partial c}\)来计算无差异曲线的斜率。

我们采用一种名为隐函数求导的方法，这种方法在许多经济模型中都有所应用。在这里，这一方法的基本思路是：如果自由支配时间增加一个微小的量，为了保持效用不变，消费需要如何变化。

从无差异曲线\(u(t, c)=u_0\)上的某一点出发，假设\(t\)和\(c\)都发生了微小的变化，变化量分别为\(\Delta t\)和\(\Delta c\)。使用二元函数的全微分公式，将效用的变化量\(\Delta u\)近似表示为“自由支配时间效应”“消费效应”之和：

\[\Delta u \approx \frac{\partial u}{\partial t} \Delta t + \frac{\partial u}{\partial c} \Delta c\]

如果我们选择的微小变化量\(\Delta t\)和\(\Delta c\)使得移动后的商品组合仍位于同一条无差异曲线上，那么效用水平则不会发生变化。此时\(\Delta u = 0\)，这也就意味着：

\[\frac{\partial u}{\partial t} \Delta t + \frac{\partial u}{\partial c} \Delta c \approx 0\]

重新整理后可得：

\[\frac{\Delta c}{\Delta t} \approx - \frac{\partial u}{\partial t} \bigg/ \frac{\partial u}{\partial c}\]

变化量\(\Delta t\)和\(\Delta c\)共同形成了商品组合沿无差异曲线的微小移动。因此，当我们取极限\(\Delta t \rightarrow 0\)时，等式左侧趋近于该曲线的斜率，从而使原本的近似关系转化为一个严格的等式。

因此，经过任意点\((t, c)\)的无差异曲线的斜率可表示为以下公式：

\[\frac{dc}{dt} = -\frac{\partial u}{\partial t} \bigg/ \frac{\partial u}{\partial c}\]

只要两种商品的边际效用均取值为正（无论是增加自由支配时间还是消费，都能够提高效用），该等式右侧取值就为负数。这个公式表明，只要效用函数的边际效用为正，对应的无差异曲线就会像图中那样向下倾斜。边际替代率（MRS）是该斜率的绝对值：

\[\text{MRS} = \frac{\partial u}{\partial t} \bigg/ \frac{\partial u}{\partial c}\]

或者可用文字表述为：

\[\text{边际替代率} = \frac{\text{自由支配时间的边际效用}}{\text{消费的边际效用}}\]

将该公式应用于卡里姆的效用函数\(u = (t - 6)^2(c - 45)\)，可以计算出其边际效用为：

\[\frac{\partial u}{\partial t} = 2(t-6)(c-45) \ \text{和} \ \frac{\partial u}{\partial c} = (t-6)^2\]

因此MRS为：

\[\text{MRS} = \frac{2(t-6)(c-45)}{(t-6)^2} = \frac{2(c-45)}{(t-6)}\]

这正是我们之前通过直接计算得到的结果。

凸偏好

凸偏好（convex preferences）

如果某人的无差异曲线呈凸形，也就是说，当你沿着图中的无差异曲线向右移动时曲线趋于平坦，那么我们称此人具有凸偏好。这种典型形状之所以会出现，是因为当一个人拥有较多数量的某种商品（相较于其他商品）时，他们会愿意舍弃更多数量的该商品以换取一单位的另一种商品。这也就表现为他们的边际替代率沿着曲线降低。

在图E3.1中，每条无差异曲线在向右移动时都会趋于平坦：换句话说，随着\(t\)的增加，卡里姆的MRS沿着无差异曲线降低。你可以从表达式\(\text{MRS}=\frac{2(c - 45)}{(t - 6)}\)推断出这一点：当我们沿着无差异曲线向右移动时，分母中的\(t\)增大，分子中的\(c\)减小，所以MRS变小。

卡里姆偏好的这一特征被称为边际替代率递减。在绘制包含两种商品的无差异曲线时，我们通常会做此假设，即如果一个人拥有某种商品数量越多，他就越愿意用这一商品去换取另一种商品。

描述这种特征的另一方式是称卡里姆的无差异曲线具有凸性。如果一条曲线上任意两点之间连成的直线始终位于曲线之上，那么这条曲线就是凸的。由于卡里姆的无差异曲线具有这种形状，我们便称他具有凸偏好。

我们可以使用代数方法来验证卡里姆的效用函数\(u=(t - 6)^2(c - 45)\)是否具有这一特征。我们将他的无差异曲线再次表示为关于\(t\)的函数：

\[c = \frac{u_0}{(t-6)^2} + 45\]

在保持\(u_0\)不变的情况下对\(t\)求导，得到：

\[\frac{dc}{dt} = \frac{-2u_0}{(t-6)^3} \ \text{ 因此 MRS =} \ \frac{2u_0}{(t-6)^3}\]

再次求导，得到：

\[\frac{d \text{MRS}}{dt} = \frac{-6u_0}{(t-6)^4} < 0\]

因此，随着\(t\)沿无差异曲线不断增加，MRS逐渐降低。

具有凸偏好的个体总是更偏好商品的组合，而非极端地只拥有某一种商品。如果我们在同一条无差异曲线上的两点之间画一条直线，那么这条直线上的每一点都是这两个端点的“组合”（即加权平均值）。当无差异曲线是凸的时，连线上这些点所带来的效用都高于两个端点所带来的效用。

柯布—道格拉斯效用函数

假设卡里姆的效用函数是另一种形式：

\[u (t, c)= t^\alpha c^\beta\]

其中，\(\alpha\)和\(\beta\)为大于零的常数。这个函数具有一些非常便于分析的数学性质。它被称为柯布—道格拉斯（The Cobb-Douglas）函数，这一名称来自于将其引入经济学领域的两位学者的名字。

为了绘制卡里姆的无差异曲线，我们再次整理上式，令效用水平固定为某一常数\(u_0\)，将\(c\)表示为关于\(t\)的方程：

\[c=\left(\frac{u_0}{t^\alpha}\right)^\frac{1}{\beta}\]

为了得到自由支配时间和消费的边际效用，我们需要分别计算效用函数的偏导数。对\(u\)关于\(t\)求偏导，得到自由支配时间的边际效用为：

\[\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha t^{\alpha -1} c^\beta\]

从效用函数中我们可知\(t^{\alpha -1} c^\beta = u/t\) ，因此可将上述表达式简化为：

\[\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\alpha u}{t}\]

同样地，消费的边际效用为：

\[\frac{\partial u}{\partial c} = \beta t^{\alpha} c^{\beta-1} = \frac{\beta u}{c}\]

当\(t\)和\(c\)为正数时，\(u\)也为正数。因此，假设\(\alpha\)为正意味着\(\frac{\partial u}{\partial t}>0\)。同样地，假设\(\beta>0\)意味着\(\frac{\partial u}{\partial c}>0\)。换句话说，假设\(\alpha\)和\(\beta\)均为正数，意味着我们确保“两种商品都是有价值的”：当自由支配时间或消费增加时，卡里姆的效用就会提高。

延伸阅读：马尔科姆·彭伯顿和尼古拉斯·劳的《经济学家需要掌握的数学：一本入门教材》14.2节（关于微小增量公式）和15.1节（关于等高线和隐函数求导）。Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed, 2023). Manchester: Manchester University Press.