第7单元公司和客户

7.5 需求、弹性和收入

差异化产品（differentiated product）: 由单一企业生产的、与其他企业类似产品相比具有某些独特特征的产品。

靓车公司（Beautiful Cars）是生产差异化产品企业的一个例子。并非所有汽车都相同。每个品牌和型号的汽车都只由一家企业生产，并在设计和性能上有一些独特之处，使其区别于其他企业生产的汽车。

当一家企业销售差异化产品时，它面临一条向下倾斜的需求曲线。7.2节给出了苹果肉桂脆谷乐（另一种差异化产品）的需求曲线的实证例子。如果靓车公司的价格很高，需求将很低，因为只有那些强烈偏好靓车公司胜过所有其他品牌的消费者才会购买。随着价格下降，更多原本可能购买福特或沃尔沃的消费者会被吸引购买靓车公司。

需求曲线

对于消费者可能希望购买的任何产品，产品需求曲线是一种关系，它告诉你在每个可能的价格下消费者将购买的物品数量（即需求量）。对于靓车公司可以建立一个简单的需求模型，想象有100个潜在消费者，每人今天都会购买一辆靓车公司，前提是价格足够低。

支付意愿（willingness to pay，WTP）: 一个人对商品价值的评估，通过他为获取一单位该商品愿意支付的最大金额来衡量。 参见：接受意愿。

每个消费者对靓车公司都有一个支付意愿（WTP），这取决于顾客个人对商品价值的评价（当然，前提是有购买的资源）。如果价格低于或等于他或她的支付意愿，消费者就会购买一辆车。假设我们按支付意愿从高到低排列消费者，并绘制图形显示支付意愿如何变化（图7.9）。然后，如果我们选择一个价格，例如$P$ = 32,800美元，图形将显示支付意愿大于或等于$P$的消费者数量。在这个例子中，有18个消费者愿意支付32,800美元或更高的价格，因此在价格为32,800美元时，对汽车的需求量为18。

Translation query: please provide a translation for the linked glossary term in the definition pop-up above: willingness to accept (WTA).

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https://books.core-econ.org/microeconomics/zh/07-firm-and-customers-05-demand-elasticity-revenue.html#图7-9

图7.9 汽车需求（每天）。

需求法则可以追溯到17世纪，由格雷戈里·金（Gregory King，1648—1712）和查尔斯·达文南特（Charles Davenant，1656—1714）提出。金是伦敦纹章院的传令官，他进行了英格兰人口和财富的详细估算。达文南特是一位政治家，他在1699年利用金的数据发表了达文南特-金需求法则，描述了玉米价格如何随收成大小变化。例如，他计算出收成“不足”或短缺十分之一（10%）将使价格上涨30%。

如果$P$较低，愿意购买产品的消费者数量会增加，因此需求更高。需求曲线通常被绘制为直线，如本例所示，尽管现实中没有理由期望它们一定是直线——苹果肉桂脆谷乐的需求曲线就不是直线。但我们确实预期需求曲线向下倾斜：随着价格上升，消费者需求的数量下降。相反，当可出售的数量较少时，则可以以高价出售。这种价格与数量之间的关系有时被称为需求法则。

问题7.6 选择正确的表述

下图描绘了产品的两条可能的需求曲线，D和D′。根据此图，阅读以下陈述并选择正确选项。

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在需求曲线D上，当价格为5,000英镑时，企业可以卖出15个单位的产品。
在需求曲线D′上，企业可以以3,000英镑的价格卖出70个单位的产品。
在1,000英镑的价格下，企业可以在D′上比D多卖出40个单位的产品。
当产出为30个单位时，企业在D′上可以比D多收取2,000英镑。

在需求曲线D上，当价格为5,000英镑时，企业可以卖出10个单位的产品。
当$Q$=70时，D′上对应的价格为3,000英镑。
D′是D向右移动40个单位。因此，对于任何价格，企业在D′上可以比D多卖出40个单位的产品。
当产出为30个单位时，企业在D′上可以比D多收取4,000英镑。

需求弹性

需求曲线代表企业在价格与数量之间必须作出的权衡。为了最大化利润，企业希望两者都尽可能高——但如果它提高价格，愿意购买的消费者会减少。因此，企业选择价格取决于需求曲线的斜率——价格变化时需求会变化多少。如果需求曲线很陡，企业可以提高价格而销量不会显著减少。

需求的价格弹性（price elasticity of demand）: 价格增加1%导致的需求变化的百分比。我们将其表示为正数。若弹性大于1，则需求是有弹性的；若小于1，则需求是缺乏弹性的。

需求的价格弹性是衡量消费者对价格变化响应程度的指标，它被定义为价格增加1%时需求量的百分比变化。例如，假设某产品价格上涨10%，可以观察到销售量下降5%，我们按以下方式计算弹性$\varepsilon$：

\[\varepsilon = -\frac{\% \text{需求变化}}{\% \text{价格变化}}\]

$\varepsilon$是希腊字母epsilon，常用于表示弹性。对于需求曲线，当价格上升时，数量下降。因此，如果价格变化为正，则需求变化为负，反之亦然。公式中的负号确保我们得到的弹性是一个正数。在这个例子中，计算如下：

\[\begin{align*} \varepsilon &= -\frac{-5}{10} \\ &= 0.5 \end{align*}\]

如果需求曲线几乎是平的，价格变化时数量变化很大，则弹性很高；相反，较陡的需求曲线对应较低的弹性。但需求曲线的斜率与弹性并非同一回事。我们将解释为什么即使斜率不变，沿着需求曲线移动时弹性会发生变化。

假设靓车公司每天生产18辆车，并以32,800美元的价格出售（图7.9中的K点）。为了计算此时的需求弹性，我们需要算出如果企业沿需求曲线小幅移动——例如到另一点L（$Q = 19$）——$Q$和$P$会如何变化。需求曲线的斜率恒定为−400（你可以从它与坐标轴交叉的点验证这一点），因此从K点移到L点时，价格下降到32,400美元。

图7.10中的表格显示了计算过程。沿需求曲线向下移动代表$Q$增加5.56%，$P$减少1.22%。取百分比变化的比率，得到弹性为4.56。

	K点	L点	变化	变化率（％）	弹性
$$Q$$ $$P$$	18 32,800	19 32,400	∆ $$Q$$ = 1 ∆$$P$$ = −400	$$ \frac{100×\Delta Q}{18} = 5.56\% $$ $$ \frac{100× \Delta P}{32,800} = −1.22\% $$	$$ \varepsilon = \frac{5.56}{1.22} = 4.56 $$

图7.10 在需求曲线一点计算弹性。

弹性告诉我们，当靓车公司在K点运营时，将价格提高（或降低）1%将导致汽车销售量下降（或上升）4.56%。

有几种不同的方法可以根据$P$和$Q$的变化计算弹性，总结在图7.11的表格中。它们都是等价的——你可以选择使用任意一种。

假设价格变化$$(\Delta P)$$，需求变化$$(\Delta Q)$$。那么需求弹性可以用以下四种方式表达：
$$ − \frac{\% Q\text{的变化}}{\% P\text{的变化}} $$	$$ \varepsilon = − \frac{100 \Delta Q}{Q} / \frac{100 \Delta P}{P} $$
$$ − \frac{Q\text{的比例变化}}{P\text{的比例变化}} $$	$$ \varepsilon = − \frac{\Delta Q}{Q} / \frac{\Delta P}{P} $$
这个分数可以简化得到：	$$ \varepsilon = − \frac{P}{Q} \frac{\Delta Q}{\Delta P} $$
由于$ \dfrac{\Delta P}{\Delta Q} $是需求曲线的斜率：	$$ \varepsilon = − \frac{P}{Q} \frac{1}{\text{斜率}} $$

图7.11 计算弹性的公式。

图7.12使用第四个表达式计算靓车公司需求曲线上其他点的弹性。这条需求曲线的斜率是恒定的；沿曲线向下移动，$P$下降，$Q$上升，因此弹性下降。当价格较低时，需求的弹性较低。

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https://books.core-econ.org/microeconomics/zh/07-firm-and-customers-05-demand-elasticity-revenue.html#图7-12

$$ \varepsilon = − \frac{P}{Q} \frac{1}{\text{斜率}} $$
	A	B	C
$$Q$$	20	40	70
$$P$$	32,000美元	24,000美元	12,000美元
斜率	−400	−400	−400
弹性	4.00	1.50	0.43

图7.12 汽车需求的弹性。

我们说，如果价格弹性大于1，需求具有弹性——价格增加1%将导致销售量下降超过1%。如果弹性小于1，我们说需求缺乏弹性。对于靓车公司而言，需求在A点和B点具有弹性，但在C点缺乏弹性。

为什么需求的价格弹性对企业很重要？

企业的需求价格弹性取决于它面临来自其他企业的竞争程度。如果许多企业销售类似的汽车，且顾客认为这些是潜在替代品，那么对靓车公司的需求将更具弹性。这时，如果它提高价格，消费者会寻找其他卖家，许多人可能会选择在别处购买。在这种情况下，来自具有相似特征的竞争产品的竞争将限制企业提高价格的能力。

但如果靓车公司的产品具有吸引消费者的独特品质，且这些品质在其他地方无法获得，其需求价格弹性将较低（需求较缺乏弹性）。这时，它可以从高价中获益。销售量将保持较高水平，并且每售出一单位产品它都能获得更高的利润。

总收入，收入（total revenue, revenue）: 厂商的总收入是指销售的数量乘以每单位的价格。

需求弹性与企业收入随数量变化的变化之间存在直接关系。图7.13显示了一家企业在需求曲线上的E点上运营，此时$Q = 5$，$P = 20$。其收入（价格×数量）由需求曲线下的矩形面积表示。通过图表能够直观地理解，如果企业增加数量，收入是上升还是下降取决于需求是具有弹性还是缺乏弹性。

Note to EBW: we need to enable titles in slidelines to display Mathjax since we can’t indicate the “Q” as italics for slide 7.13C

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https://books.core-econ.org/microeconomics/zh/07-firm-and-customers-05-demand-elasticity-revenue.html#图7-13

图7.13 竞争、弹性和收入。

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https://books.core-econ.org/microeconomics/zh/07-firm-and-customers-05-demand-elasticity-revenue.html#图7-13a

竞争与弹性

在A面板中，企业面临较少的竞争，因此其需求曲线较陡。如果价格上升，许多消费者仍会想购买。在E点，需求缺乏弹性（弹性=0.4）。在B面板中，企业面临更多竞争，因此需求曲线较平坦。在E点，需求具有弹性（弹性=2）。

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https://books.core-econ.org/microeconomics/zh/07-firm-and-customers-05-demand-elasticity-revenue.html#图7-13b

企业的收入

如果企业在E点运营，此时$P=20$，$Q=5$，其收入等于曲线下的矩形面积，即收入=$P \times Q=100$，在两种情况下均如此。

$如果产出增加到$Q=6$:$

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如果产出增加到(Q=6)

在两种情况下，企业能从额外单位上获得收益；但由于价格下降，它会在原来的五个单位上损失收入。产出增加一个单位时，价格的减少在缺乏弹性的需求下（A面板）比在具有弹性的需求下（B面板）更大。

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https://books.core-econ.org/microeconomics/zh/07-firm-and-customers-05-demand-elasticity-revenue.html#图7-13d

弹性与收入

如果需求缺乏弹性，则损失超过收益，收入下降；如果需求具有弹性，则收益大于损失，收入上升。

边际收益（marginal revenue）: 销售数量增加一单位所获得的收益变化量。

当产出增加一个单位时收入的变化被称为边际收益。在图7.13中：

当需求具有弹性（$\varepsilon > 1$）时，边际收益为正；企业可以通过增加产出来提高收入，因为价格仅小幅下降。
当需求缺乏弹性时，边际收益为负；企业可以通过减少产出来增加收入，因为价格大幅上升。

本节末尾的扩展内容证明了这一结果对所有需求曲线都成立。在后续章节中，我们将展示面临较少竞争和较低弹性需求曲线的企业会设定更高的价格。

问题7.7 选择正确的表述（多选题）

一家商店每周以每顶10美元的价格卖出20顶帽子。当价格提高到12美元时，每周卖出的帽子数量下降到15顶。根据这一信息，阅读以下陈述并选择正确选项。

当价格从10美元增加到12美元时，需求减少25%。
价格增加20%导致需求下降25%。
对帽子的需求缺乏弹性。
使用这些数据，我们可以估计需求弹性为1.25。

当价格从10美元增加到12美元时，需求减少100×(20−15)/20=25%。
价格百分比增加为100×2/10=20%。这导致需求百分比减少100×5/20=25%。
使用这些数据估计需求价格弹性得出大于1的值，因此需求具有弹性。
价格百分比增加为100×2/10=20%；需求百分比减少为100×5/20=25%。因此，弹性可以估计为25/20=1.25。

问题7.8 选择正确的表述（多选题）

该图表描绘了两条需求曲线，D₁和D₂。

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根据此图表，阅读以下陈述并选择正确选项。

在E点，需求曲线D₁比D₂缺乏弹性。
在A点和C点的弹性相同。
拥有需求曲线D₁的企业可能比拥有需求曲线D₂的企业面临更多竞争。
在E点的弹性高于B点。

在E点，两条需求曲线的价格和数量相同，但D₁更陡，因此比D₂缺乏弹性。
在A点和C点的斜率相同，但A点的价格更高、数量更低，因此弹性更高。
需求曲线D₁比D₂缺乏弹性，因此拥有需求曲线D₁的企业可能比拥有需求曲线D₂的企业面临更少竞争。
在E点和B点的斜率相同。但在E点价格更高、数量更低，因此弹性更高。

扩展7.5 需求弹性与边际收益

在本节主要部分，我们考察了线性需求曲线的需求弹性；在这种情况下，由于需求曲线的斜率是恒定的，弹性易于计算。现在，我们将展示如何在需求曲线不是直线时测量弹性，使用微积分（导数）来确定斜率。

需求的价格弹性衡量了需求对价格变化的敏感性。我们已根据需求曲线上数量和价格的百分比变化定义了它：

\[\varepsilon = \frac{Q\text{的变化}}{P\text{的变化}} = -\frac{P}{Q} \frac{\Delta Q}{\Delta P}\]

对于线性需求曲线，无论我们选择多大的$\Delta P$，$\Delta Q$/$\Delta P$都是相同的。而对于其他需求曲线，使用微积分定义弹性更为方便。

需求曲线的方程

我们可以从两种不同方式考虑需求曲线的方程。我们为靓车公司绘制的需求曲线将价格显示在纵轴上，数量显示在横轴上。换句话说，我们将价格表示为数量的函数：

\[P = f(Q)\]

我们称$f(Q)$为逆需求函数：它是企业恰好能卖出$Q$辆车时的最高价格。为了定义弹性，将需求函数写成直接形式更为方便：

\[Q = g(P)\]

$g(P)$是价格为$P$时对靓车公司的需求量。函数$g$是$f$的逆函数，在数学上，我们可以将其写成$g(P)=f^{-1}(P)$。

为了使用微积分定义弹性，我们将$Q$视为连续变量，就像我们在扩展7.4中计算边际成本时所做的那样。然后，我们通过取表达式$-\frac{P}{Q}\frac{\Delta Q}{\Delta P}$在$\Delta P$趋于0时的极限，找到在$Q$点处的弹性：

\[\varepsilon = - \frac{P}{Q} \, \frac{ dQ}{dP}\]

这给出了用需求函数的导数表示的弹性$dQ/dP=g'(P)$。弹性的值通常为正，因为根据需求法则，需求函数的导数将为负。

如果你像之前那样通过需求曲线上两点之间的变化计算弹性，通常不会得到与使用导数时相同的答案。对于线性需求曲线，答案相同，因为斜率是恒定的。但在其他情况下，微积分方法相当于使用两个无穷接近的点；取较远的两点会给出不同的答案，因为它们对某一点斜率的估计不够准确。

你可能想知道为什么我们不直接使用需求函数的斜率$dQ/dP$来衡量对价格的响应性。问题在于$dQ/dP$取决于$P$和$Q$的计量单位：例如，如果我们用美元而不是欧元衡量价格，会得到不同的答案；而以比例变化定义的弹性则与计量单位无关。

弹性的两种表达方式

上述弹性表达式同时依赖于$P$和$Q$。但通过使用需求函数$Q=g(P)$代换$Q$，我们可以完全用价格表示弹性：

\[\varepsilon = - \frac{P}{Q} \, \frac{ dQ}{dP} =-\frac{Pg'(P)}{g(P)}\]

如果我们使用逆需求函数$P=f(Q)$，则可以完全用数量表示弹性。要理解这一点，你需要记住逆函数规则：

\[\frac{dP}{dQ} = 1 \left/ \frac{dQ}{dP} \right.\]

那么：

\[\varepsilon = - \frac{P}{Q} \left/ \frac{dP}{dQ} \right. = - \frac{f(Q)}{Qf'(Q)}\]

示例1：线性需求函数的弹性

图7.12中靓车公司的需求曲线对应的逆需求函数：

\[P= f(Q) \text{，其中} f(Q) = 400(100-Q)\] \[\Rightarrow P=400(100-Q)\]

将其重新整理为$Q$关于$P$的函数，得到需求函数：

\[Q=g(P) \text{，其中} g(P) = 100 - \frac{P}{400}\]

使用关于$P$的弹性表达式，我们得到：

\[\varepsilon =-\frac{Pg'(P)}{g(P)} =-\frac{P \times \frac{-1}{400}}{100-\frac{P}{400}} =\frac{P}{40,000 - P}\]

使用关于$Q$的弹性表达式，我们得到：

\[\varepsilon =- \frac{f(Q)}{Qf'(Q)} =-\frac{400(100-Q)}{Q\times -400} =\frac{100-Q}{Q}\]

这两种$\varepsilon$表达式都表明，沿着需求曲线向右移动（$Q$增加，$P$减少）时，弹性下降。（这对所有线性需求函数都成立。）例如：

如果靓车公司设定一个很高的价格，每天仅卖出5辆车，则$\varepsilon=(100-5)/5=19$。
如果设定一个足够低的价格，每天卖出95辆车，则$\varepsilon=(100-95)/95 \approx 0.053$。

示例2：具有恒定弹性的需求函数

考虑需求函数：

\[Q=100 P^{-0.8}\]

在这里：

\[\varepsilon=-\frac{P}{Q}\,\frac{dQ}{dP} = -\frac{P}{100P^{-0.8}}\times -80P^{-1.8} = 0.8\]

在这个特殊情况下，需求弹性是恒定的——在需求曲线上所有点的弹性均为0.8。

这种恒定弹性特性适用于任何形式为$Q=aP^{-b}$的需求曲线，其中$a$和$b$为正的常数——你可以验证需求弹性等于$b$。这是唯一一类弹性恒定的需求函数。

弹性与边际收益

边际收益（marginal revenue）: 销售数量增加一单位所获得的收益变化量。

企业的收入由$\text{价格} \times \text{数量}$给出，即$R=PQ$。逆需求函数$P=f(Q)$告诉我们在销售$Q$辆车时所能获得的最大价格$P$。因此，我们可以将收入写成仅关于$Q$的函数。我们称之为收入函数，记为$R(Q)$：

\[R(Q) = f(Q) \times Q\]

之前，我们将边际收益定义为产出增加一个单位时收入的变化$\text{MR}=\Delta R / \Delta Q$。将$Q$视为连续变量并使用微积分，写作

\[\text{MR}=\frac{dR}{dQ}\]

也就是说，边际收益是收入对$Q$微小（无穷小）变化的响应增加率。使用乘积求导法则对$R(Q)=Qf(Q)$进行微分：

\[\text{MR} = \frac{d}{dQ} (Qf(Q)) = f(Q) + Qf'(Q) = P+Qf'(Q)\]

利用公式$\varepsilon=-\dfrac{f(Q)}{Qf'(Q)}$重写此表达式，并使用$P=f(Q)$，能够推导出边际收益与需求弹性之间的关系：

\[\text{MR} = f(Q) - \frac{f(Q)}{\varepsilon} = P\left(1 - \frac{1}{\varepsilon}\right)\]

这表明，当$\varepsilon>1$时，边际收益为正；当$\varepsilon<1$时，边际收益为负。

记住，需求在$\varepsilon > 1$时被称为具有弹性，在$\varepsilon < 1$时被称为缺乏弹性，并且（除了上文示例2中的特殊情况外）它会随着我们在需求曲线上的移动而变化。我们刚刚证明，边际收益为正的充分必要条件是企业在需求曲线的弹性部分运营。这一结果在图7.13的线性需求曲线中得到了说明；正如我们在此所做的那样，用弹性来表达边际收益表明，这一结论适用于所有需求曲线。

练习E7.2 线性需求函数：弹性与边际收益

一家企业面临以下需求函数：$Q = 800 - 2P$。

对于此需求函数：

求逆需求函数（$P$作为$Q$的函数），并使用此函数推导出需求弹性的表达式（作为$Q$的函数）。
使用问题1的答案绘制一个图表，显示需求弹性如何随$Q$变化（横轴为$Q$，纵轴为$\varepsilon$）。
描述弹性函数的形状。在哪些数量下需求具有弹性？
推导出边际收益的表达式（作为$Q$的函数）。在同一图表上绘制边际收益函数和需求函数，横轴为$Q$，纵轴为价格和边际收益。
描述边际收益曲线的形状，并使用问题2和3的答案验证当$\varepsilon < 1$时边际收益为正，当$\varepsilon < 1$时边际收益为负。

练习E7.3 恒定弹性需求：弹性与边际收益

一家企业面临以下需求函数：$Q = 5P^{-1.4}$。