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第7单元 公司和客户

7.4 生产与成本：靓车公司的成本函数

当分析企业决定生产多少产出以及设定什么价格时，我们需要了解企业的生产成本如何随其产出水平变化——企业的成本函数。在7.2节关于苹果肉桂脆谷乐的例子中，我们采用了最简单的假设：每磅脆谷乐的单位成本是相同的，不受生产规模影响。换句话说，该企业生产的规模报酬不变。

但正如7.3节所解释的，单位产出的成本可能随生产水平的变化而变化。这如何影响企业的价格和数量决策呢？

想象一家制造汽车的企业。与每年生产超过900万辆汽车的大众汽车（Volkswagen）相比，这家企业生产的是特种汽车，规模相当小。我们将其称为靓车公司（Beautiful Cars）。

考虑生产和销售汽车的成本。该企业需要厂房（工厂），配备用于铸造、加工、压制、组装和焊接车身部件的机器。它可以从另一家公司租用这些设备，或者筹集资金投资于自己的厂房和设备。然后，它必须购买原材料和部件，并支付生产工人操作设备的费用。还需要其他工人来管理生产过程，以及营销和销售成品汽车。

构建块

若需了解机会成本的介绍，请阅读2.2节⁠.

成本函数（cost function）
描述企业总成本与产出数量之间关系的函数。成本函数\(C(Q)\)表示生产\(Q\)单位产出的总成本（包括资本的机会成本）。
机会成本（opportunity cost）
指在选择某一行动方案时，所放弃的次优选择可能带来的收益。例如：“我决定去度假而不是接受一份暑期工作。那份工作既乏味无趣又薪资低廉，因此度假的机会成本相对较低。”

如果企业的所有者——股东能通过在其他地方投资并获利来更好地利用他们的资金，那么他们通常不愿意投资于企业。他们在其他地方每投资一美元所能获得的回报，是机会成本的一个例子，在此情况下称为资本的机会成本。生产汽车的成本包括必须支付给股东以弥补资本的机会成本的金额——即吸引股东继续投资于企业生产汽车所需资产的金额。

资本的机会成本（opportunity cost of capital）
资本的机会成本是投资者在其他地方投资，每单位投资支出所能获得的收入。
可变成本（variable costs）
随着生产单位数量变化而变化的生产成本。
平均成本（average cost）
企业的总成本除以总产出单位数。
边际成本（marginal cost）
T生产额外一单位产出时总成本的增加量。它对应于总成本函数在每一点的斜率。

企业面临的生产成本可以分为固定成本和可变成本。企业无论生产和销售多少辆汽车都必须支付的成本称为固定成本。对于靓车公司，我们假设工厂的规模是固定的，因此相关成本也是固定的——无论是根据长期合同向另一家公司支付的设备租金，还是投资于工厂的资本的机会成本。这些成本无论生产很多汽车还是完全不生产都保持不变。同样，开发未来车型的研究与开发也带有固定成本。相对地，我们假设其他成本，如工资、原材料和设备成本是可变的，并随产出增加而增加：如果企业决定增加每天生产的汽车数量，就需要增加所有这些可变投入——从而提高总可变成本（包括工资支出和投资于新设备的资本的机会成本）。

假设靓车公司的固定成本为\(F\)，其可变成本与生产的汽车数量成正比。因此，其生产\(Q\)辆汽车的总成本为：

\[C(Q)=F+cQ\]

其中\(c\)是生产每辆汽车的成本。

图7.7的上半部分绘制了靓车公司的总成本函数\(C(Q)\)。它展示了当\(F\) =每天80,000美元，\(c\) =每辆车14,400美元时，总成本如何取决于每天生产的汽车数量\(Q\)。我们从总成本计算出了每辆车的平均成本，以及它随\(Q\)变化的情况，并将平均成本（AC）函数绘制在图7.7的下半部分。

靓车公司：总成本与平均成本。
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https://books.core-econ.org/microeconomics/zh/07-firm-and-customers-04-beautiful-cars.html#图7-7

图7.7 靓车公司：总成本与平均成本。

成本函数:
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成本函数

上半部分展示了成本函数\(C(Q)\)。它显示了每个产出水平\(Q\)的总成本。

固定成本:
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固定成本

靓车公司的固定成本为每天80,000美元。无论产出多少，企业都需承担这些成本。当\(Q\)=0时，唯一成本是固定成本：\(C(0)\)=80,000。

总成本增加:
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总成本增加

随着\(Q\)增加，企业需要雇用更多生产工人并购买更多原材料。每生产一辆车总成本增加14,400美元，因此成本函数是一条直线。在A点，生产10辆车，成本为224,000美元。

平均成本:
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平均成本

每辆车的平均成本是总成本除以汽车数量。如果企业每天生产10辆车，平均成本为AC=224,000美元/10=22,400美元。我们在图下半部分的A点处绘制了平均成本。

平均成本下降:
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平均成本下降

当产出超过A点时，平均成本下降。在B点，总成本为512,000美元，平均成本为17,067美元。在D点，平均成本更低，仅为16,000美元。

平均成本函数:
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平均成本函数

我们可以通过计算每个\(Q\)值的平均成本，在下半部分绘制平均成本（AC）函数。

成本函数的斜率告诉我们每额外生产一辆车总成本增加多少。当产出增加一个单位时成本的增加称为边际成本（MC）。对于靓车公司，该斜率（即边际成本）是一个常数\(c\)。因此，无论企业决定生产多少辆车，每辆车的边际成本（再生产一辆车的成本）均为\(c\)=14,400美元。

平均成本与边际成本

在成本函数\(C(Q)\)的每个\(Q\)点上，平均成本（AC）是生产\(Q\)单位产出的总成本除以数量\(Q\)：

\[\text{AC} = \frac{C(Q)}{Q}\]

边际成本（MC）是再生产一个单位产出的额外成本，对应成本函数的斜率。如果数量增加Δ\(Q\)时成本增加ΔC，边际成本可以估计为：

\[\text{MC} = \frac{\Delta C}{\Delta Q}\]

（Δ是一个数学符号，表示“变化量”。）

每当一个企业的成本函数具有固定成本和恒定的边际成本时，单位产出的平均成本会随着产出增加而下降。图7.7通过靓车公司的例子说明了这一点，我们也可以通过以下公式推导：

\[\text{AC}(Q)=\frac{C(Q)}{Q}=\frac{F+cQ}{Q}=c+\frac{F}{Q}\]

因此，一辆车的平均成本等于其边际成本加上固定成本的一部分。平均成本始终大于边际成本，但随着产出增加，固定成本被越来越多的汽车分摊，平均成本随之减少。图7.8展示了靓车公司的平均成本和边际成本函数——也称为AC和MC曲线。在图中，平均成本曲线向下倾斜，越来越接近恒定的边际成本14,400美元。

靓车公司：平均成本与边际成本。
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图7.8 靓车公司：平均成本与边际成本。

问题7.5 选择正确的表述

假设一家谷物生产者的成本函数为\(C(Q) = 2Q\)，其中\(Q\)指的是谷物的磅数。根据这一信息，阅读以下陈述并选择正确选项。

  • 生产中没有固定成本。
  • 生产的边际成本为2。
  • 生产者的平均成本随产出增加而下降。
  • 对于任何数量\(Q\)，平均成本与边际成本相同。
  • 当\(Q\)=0时，生产的总成本为0。如果存在固定生产成本，当\(Q\) = 0时总成本将为正（企业无论生产多少都需承担这些成本）。
  • 总成本函数的斜率是边际成本，在此案例中为2。
  • 对于所有产出，平均成本均为2。没有固定成本，因此平均成本不会随产出增加而下降。
  • 对于所有\(Q\)值，平均成本和边际成本均为2。

短期与长期成本

短期（short run）
短期并不指代具体的时间长度，而是指某些因素（如价格、工资、资本存量、技术或制度）被假设保持不变（它们被认为是固定的或外生的）的情况。例如，在短期内，厂商的资本存量可能是固定的。但在长期内，厂商可以通过出售一些或购买更多调整资本存量。

企业的边际成本并不总是恒定的——特别是当一些投入难以调整时。记住，边际成本是再生产一个单位产出的成本。一家汽车制造商可能会面临这样一种情况——利用现有设备库存提高产出的唯一方法是在装配线上引入加班轮班。如果加班工资率更高，那么每辆车的边际成本将更高。我们说，在短期内——即设备库存固定的情况下——其边际成本随产出增加而增加，此时边际成本可能高于平均成本。

在经济模型中，短期和长期并非指特定的时间段。在短期均衡中，一个或多个变量——通常是需要更多时间调整的因素——是外生的（即保持不变）。而当这类变量变为内生（即可以调整）时，我们就能得到长期均衡。

外生（exogenous）
外生是指“由模型外部决定”。在经济模型中，如果一个变量的数值由建模者设定，而不是由模型自身的运行机制决定，那么这个变量就是外生变量。 参见：内生。
内生（endogenous）
内生是指“由模型内部生成”。在经济模型中，如果一个变量的数值由模型的运行机制所决定（而非由建模者直接设定），那么这个变量就是内生变量。 参见：外生。
长期（long run）
长期并不指具体的时间长度，而是指在一个模型中哪些变量保持不变，哪些可以变化。短期是指某些变量（如价格、工资、资本存量）保持不变（被视为外生的）时所发生的情况；长期则指这些变量可以变化并由模型来决定（它们成为内生的）时所发生的情况。例如，长期成本曲线指的是厂商在能够完全调整包括资本品在内的所有投入时的成本。
范围经济（economies of scope）
当两个或更多的产品同时由一个单独的企业生产，而不是在各自独立的企业中生产时，所发生的成本节约。

我们在靓车公司的例子中描述的成本函数是一个长期成本函数，因为我们假设它可以在想要增加产出时增加设备数量和劳动力规模，从而使其边际成本保持恒定。

但我们也假设它有相当大的固定成本，包括建设工厂的成本。而在分析所谓“超长期”中靓车公司的决策时，它也可以调整工厂的规模。对于像靓车公司这样的制造企业，在超长期中，总成本的很大一部分将是可变的。但还有其他类型的企业确实具有较高的长期固定成本：我们将在7.11节中介绍一些例子。

示例：大学的成本函数

若想进一步了解关于成本的有趣讨论，请阅读经济学家乔治·斯蒂格勒（George Stigler）的《价格理论》（The Theory of Price）第7章。1

经济学家拉金达尔·科沙尔（Rajindar Koshal）和曼朱莉卡·科沙尔（Manjulika Koshal）研究了美国大学的成本函数。2 他们估计了1990—1991学年171所公立大学中教育本科生和研究生的边际成本与平均成本。（通过练习7.2探索平均成本和边际成本如何随本科生和研究生的人数变化。）他们发现，这些大学受益于所谓的范围经济：在同时生产多个产品——研究生教育、本科教育和研究——时存在成本节约。3

练习7.2 大学教育的成本函数

科沙尔和科沙尔根据他们的研究计算出1990—1991学年每名学生的平均成本和边际成本，如下表所示。

学生人数 边际成本（美元） 平均成本（美元） 总成本（美元）
本科生 2,750 7,259 7,659 21,062,250
5,500 6,548 7,348 40,414,000
8,250 5,838 7,038
11,000 5,125 6,727 73,997,000
13,750 4,417 6,417 88,233,750
16,500 3,706 6,106 100,749,000
学生人数 边际成本（美元） 平均成本（美元） 总成本（美元）
研究生 550 6,541 12,140 6,677,000
1,100 6,821 9,454 10,339,400
1,650 7,102 8,672
2,200 7,383 8,365 18,403,000
2,750 7,664 8,249 22,684,750
3,300 7,945 8,228 27,152,400
  1. 使用平均成本数据，填补总成本列中的缺失数字。
  2. 绘制本科教育的边际成本和平均成本曲线，纵轴为成本，横轴为学生人数。在另一张图上绘制研究生的相应曲线。（提示：关于如何在Excel中绘制成本曲线，可参考此教程的步骤1—4。）
  3. 描述本科生和研究生的边际成本与平均成本曲线的形状。并验证你的答案是否与本单元中作者的发现一致。
  4. 描述本科生曲线与研究生曲线之间的相似之处和差异。针对你的观察提出一些解释。

扩展7.4 当边际成本增加时的成本函数

在本节主要部分，我们假设靓车公司的可变成本是线性的：它们与产出\(Q\)成正比增加。在本扩展中，我们将描述更一般情况下的成本函数，使用微积分（导数）分析成本如何随产出增加而变化。

在本节主要部分，靓车公司的总成本函数为：

\[C(Q)=F+cQ\]

其中参数\(F\)表示其固定成本，\(c\)是其恒定的边际成本。但正如我们所解释的，边际成本并非总是恒定的，特别是在短期内。例如，如果增加单位产出需要更密集的生产，机器可能会故障，工人可能会疲惫，企业可能需要支付加班费，这些影响会使边际成本增加。而在其他情况下，更大的生产规模可能使企业更有效地使用其投入，此时边际成本可能随\(Q\)增加而下降。

正如扩展3.3中所解释的，我们在所有数学扩展中使用导数来衡量边际变化。

在本节主要部分，我们将边际成本定义为再生产一个单位产出对总成本的增量。为了更一般地描述成本函数，我们将\(Q\)视为连续变量，以便对成本函数\(C(Q)\)进行微分。那么边际成本对应于成本函数的导数，即成本对\(Q\)微小增加的响应变化率。一般来说，总成本必须随产出数量增加而增加，因此边际成本为正：

\[\text{MC}=C'(Q) > 0\]

图E7.1上半部分展示了靓车公司可能的一种非线性成本函数，显示了以下内容：

  • 企业具有固定成本，由成本函数与纵轴交叉的点表示：如果不生产汽车，成本为\(C(0) = F > 0\)。
  • 对于\(Q > 0\)，\(C\)是单增且呈凸形的，即成本曲线的斜率随\(Q\)增加而增加。

成本曲线的凸性表明边际成本是产出的递增函数：

\[\text{MC} =C'(Q) \Rightarrow \frac{d\text{MC}}{dQ}=C''(Q)>0\]

图的下半部分展示了与上半部分总成本函数对应的向上倾斜的边际成本函数，企业的边际成本随生产的汽车数量增加而迅速增加。

靓车公司的另一种成本函数。
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图E7.1 靓车公司的另一种成本函数。

平均成本（AC）定义为总成本除以生产的汽车数量。因此，如果生产\(Q\)辆车：

\[\text{AC} = \frac{C(Q)}{Q}\]

在图的上半部分，生产\(Q\)辆车的平均成本是从原点到点\((Q, C(Q))\)的直线斜率，该斜率随\(Q\)变化：AC本身是\(Q\)的函数。在图的下半部分，我们绘制了与成本函数每个点对应的平均成本，即函数\(\text{AC}(Q)\)的图形。

图E7.1中展示的特定成本函数为：\(C=118,750 + 1,500Q + 190Q^2\)。如果你愿意，可以验证上文描述的特性在此特定案例中是否成立。由于这个成本是二次函数，它具有一个并非通用的特性，即其边际成本函数为：

\[\text{MC} =C'(Q) =1,500 + 380Q\]

这个边际成本函数不仅是向上倾斜的，而且是一条直线。

图E7.1展示了边际成本随产出增加而上升的情况，但我们也可以使用相同的方法绘制边际成本下降的企业的成本曲线，如练习7.2所示。

平均成本函数的形状及MC与AC之间的关系

记住，一般来说，在任意点\(Q\)处：

  • 边际成本对应于成本函数\(C(Q)\)的斜率，
  • 平均成本对应于从原点到\(C(Q)\)的射线的斜率。

图E7.1的上半部分显示，当\(Q\)较低时，平均成本很高；随后逐渐下降，直到B点（\(Q=25\)），然后再次上升。这在图的下半部分体现为U形的AC曲线，且这个曲线在\(Q=25\)处达到最小值。

现在比较图下半部分中绘制的边际成本和平均成本：

  • 如果\(Q < 25\)，则\(\text{MC} < \text{AC}\)
  • 如果\(Q > 25\)，则\(\text{MC} > \text{AC}\)
  • 如果\(Q = 25\)，则\(\text{MC} = \text{AC}\)

这个例子说明了成本函数的一个普遍特性：\(\text{MC} - \text{AC}\)的差值始终与AC曲线的斜率具有相同的符号。在图7.8的线性成本函数案例中，AC曲线对于所有\(Q\)值都向下倾斜。相应地，其边际成本（在该案例中是一条水平线）始终位于AC曲线下方，即对于所有\(Q\)，\(\text{MC} < \text{AC}\)。

我们现在证明这是一个普遍特性——对于所有成本函数，无论其形状如何，\(\text{MC} - \text{AC}\)与AC曲线的斜率始终具有相同符号。根据AC的定义为总成本除以生产数量，并应用商的求导法则，得到AC曲线的斜率：

\[\frac{d}{dQ} \left( \frac{C(Q)}{Q} \right) = \frac{QC'(Q)- C(Q)}{Q^2}\]

现在，\(C'(Q)= \text{MC}\)，且\(C(Q) = Q \times \text{AC}\)。因此：

\[\begin{align*} \frac{d}{dQ} \left( \frac{C(Q)}{Q} \right) &= \frac{\text{MC}}{Q} - \frac{C(Q)}{Q^2} \\ &= \frac{\text{MC}}{Q} - \frac{Q(\text{AC})}{Q^2} \end{align*}\] \[\Rightarrow \frac{d}{dQ} (\text{AC} ) = \frac{\text{MC}-\text{AC}}{Q}\]

由于\(Q>0\)，因此AC曲线在每个\(Q\)值处的斜率与\(\text{MC}-\text{AC}\)具有相同的符号。

这一结果的一个推论是，如果企业的平均成本曲线呈U形，如图E7.1所示，则边际成本曲线会在平均成本最小化点处（即\(\text{MC} = \text{AC}\)）穿过平均成本曲线。

问题E.7.1 选择正确的表述

考虑一家具有固定生产成本的企业。根据这一信息，阅读以下关于企业平均成本（AC）和边际成本（MC）的陈述，并选择正确选项。

  • 当\(\text{AC} = \text{MC}\)时，AC曲线斜率为零。
  • 当\(\text{AC} > \text{MC}\)时，MC曲线向下倾斜。
  • 当\(\text{AC} < \text{MC}\)时，AC曲线向下倾斜。
  • MC曲线不能是水平的。
  • 当\(\text{AC} = \text{MC}\)时，额外一个单位的成本等于所有现有单位的平均成本。因此，新的AC将保持不变，斜率为零。
  • MC曲线可以是向上倾斜、水平或向下倾斜的，这与AC和MC的相对大小无关。
  • 当\(\text{AC} < \text{MC}\)时，额外一个单位的成本大于现有产出的平均成本。因此，新的AC将更大，AC曲线向上倾斜。
  • 如果MC是恒定的，则MC曲线是水平的。

练习E7.1 绘制非线性成本函数

给定以下两个成本函数：

  • 成本函数 #1: \(C(Q)=5Q^2+3Q+3,600\)
  • 成本函数 #2: \(C(Q)= -2Q^2+4Q+19,600\)

对于每个总成本函数，完成以下任务：

  1. 推导出i）边际成本曲线和ii）平均成本曲线的表达式（均定义为\(Q \geq 0\)）。
  2. 使用问题1的答案，绘制两个如图E7.1所示的图表：一个显示总成本曲线，另一个显示边际成本和平均成本曲线。记住仅绘制\(Q \geq 0\)的曲线（不包括负值\(Q\)）。
  3. 描述总成本曲线的形状与边际成本和平均成本曲线形状之间的关系。

延伸阅读：马尔科姆·彭伯顿和尼古拉斯·劳的《经济学家需要掌握的数学：一本入门教材》7.1节（商法则）与8.1、8.2和8.4节（曲线绘制和凸性）。Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.

  1. George J. Stigler. 1987. The Theory of Price. New York, NY: Collier Macmillan. ↩

  2. Rajindar K. Koshal and Manjulika Koshal. 1999. ‘Economies of Scale and Scope in Higher Education: A Case of Comprehensive Universities’. Economics of Education Review 18 (2): pp. 269–77. ↩

  3. Economies of Scale and Scope. The Economist. Updated 20 October 2008. ↩