第6单元 公司和员工
6.10 招聘与劳动纪律相结合：工资设定模型
- 劳动纪律问题、劳动纪律模型（labour discipline problem, labour discipline model）
- 雇主面临着如何激励员工努力工作的劳动纪律难题。在劳动纪律模型中，雇主通过设定包含经济租金（即就业租金）的工资来应对这一难题。员工一旦被解雇，将失去这部分收益。 另见：就业租金。
工资水平不仅影响着企业能够雇佣的员工数量，也影响着员工的工作努力程度（即劳动纪律问题）。企业如何通过设定工资，既吸引足够多的员工，又有效激励员工努力工作呢？通常情况下，仅仅为了满足招聘需求而设定的工资水平，可能不足以充分激励员工努力工作。
- 保留工资（reservation wage）
- 保留工资是员工愿意接受新工作机会的最低工资水平，它反映了员工在次优选择（保留选择）中所能获得的收入水平。对于那些将失业视为次优选择的员工而言，保留工资不仅取决于他们预期在新工作中获得的薪资，还包含失业期间可能获得的任何收入。
以巴黎语言学校为例（如6.5节所述），该校聘用年轻毕业生为来访学生提供短期法语课程。图6.10所示的保留工资曲线，描绘了该校雇佣\(N\)名员工所需的工资水平。潜在的招聘对象只有在提供的工资高于其个人保留工资时才会接受工作机会。由于每个人的失业效用不同，他们的保留工资也各异。因此，为了吸引和留住更多员工，该校必须提高工资水平。
例如，如果将工资设定为650欧元，则潜在的招聘对象将仅限于保留工资不超过650欧元的人员，最多可雇佣40名教师。若将工资提高到700欧元，则可吸引更多保留工资在650—700欧元之间的候选人，从而使总雇佣人数增加到60人。
图6.10 学校的保留工资曲线。
如果学校决定以650欧元的工资雇佣40名教师，这些教师的保留工资将在550—650欧元之间。然而，学校也希望他们能努力工作，因为高质量的教学效果依赖于教师的精心备课，而学校难以对每堂课的教学质量进行监督和评估。
- 就业租金（employment rent）
- 就业租金是指当员工工作所得净收益超过其次优选择（即失业）所得收益时，员工所获得的经济租金。 参见：经济租金。
假设马克是一名家庭教师，保留工资为650欧元。如果他的工资恰好是650欧元，他将不会努力工作，因为在这种情况下，工作与失业对他而言几乎没有差别。为了激励员工努力工作，工资必须高于其保留工资：一方面是为了补偿员工付出的努力成本，另一方面是为了使失业对其造成高昂的代价。换句话说，员工需要获得一定的就业租金，才能确保其更倾向于努力工作，而不是冒着被解雇的风险偷懒。
- 无懈怠工资（no-shirking wage）
- 无懈怠工资是指能够激励员工按雇主要求努力工作的工资水平。 另见：无懈怠条件。
防止员工偷懒所需的租金取决于两个因素：努力成本\(c\) 和偷懒者偷懒而未被发现的周数\(s\)。对于保留工资为\(w_r\)的教师来说，防止其偷懒所需的无懈怠工资计算公式如下：
\[w=w_r+c+\text{租金}(s,c)\]6.9节解释了该公式的推导过程。
假设每位教师每周的努力成本为25欧元，所需的租金为每周35欧元，则其无懈怠工资为：
\[\begin{align*} w&=w_r+25+35 \\ &=w_r+60 \end{align*}\]如图6.11 所示，我们在保留工资曲线上方绘制了一条无懈怠工资为60欧元的曲线。如果我们根据保留工资对潜在教师进行排序，保留工资为650欧元的马克排在第40位，而保留工资为600欧元的弗朗索瓦排在第20位。在这两种情况下，他们的无懈怠工资均比各自的保留工资高出60欧元。
图6.11 无懈怠工资曲线。
如果学校计划招聘40名教师，该怎么办？虽然以650欧元的工资能够招募到这么多员工，但由于该工资低于马克、弗朗索瓦等大部分人的无懈怠工资，因此无法激励他们努力工作。
图6.11表明，为了确保没有教师偷懒，学校应将工资提高到710欧元。
然而，这又带来了一个新问题：一些保留工资高于马克的员工会接受这份工作，但由于他们的无懈怠工资高于710欧元，因此他们会选择偷懒。为了解决这一问题，学校需要对求职者进行面试，以筛选出那些保留工资低于650欧元且工作努力程度较高的候选人。
对于企业和劳动者而言，签订劳动合同前充分了解对方非常重要，这也是劳动力市场匹配过程耗时费力的原因之一。在实践中，企业通常会对求职者进行面试。尽管筛选出真正愿意努力工作的员工并非易事，但在本简化模型中，我们假设企业能够完美地识别出合适人选。
因此，根据图6.11中的无懈怠曲线，可以确定学校希望雇佣一定数量努力工作的员工所需设定的最低工资水平。若要雇佣40名努力工作的教师，学校可将工资设定为710欧元，并筛选出那些在该薪资水平下愿意努力工作的求职者。
- 可行集（feasible set）
- 在决策者所面临的经济、物理或其他约束条件下，所有可供选择的商品或结果的组合。 参见：可行边界。
在上述情况中，学校也可以设定更高的工资。例如，如果学校将工资提高至730欧元，每个空缺职位将吸引更多申请者。与此同时，学校可以选择保持40人的雇佣规模不变。图6.12展示了学校工资水平与雇佣人数的可行集 。所有位于无懈怠工资曲线之上的点均为可行选项。
图6.12 可行集。
如果校长希望实现利润最大化，应如何设定员工的工资水平呢？要回答这个问题，需要考虑利润与雇佣人数 \(N\) 和工资 \(w\) 之间的关系。
利润和等利润曲线
企业的利润等于销售收入减去投入成本。
假设每位教师每周为学校带来的学费收入\(y\)为 800欧元。为了简化模型，我们假设工资是学校唯一的投入成本。如果以工资\(w\)雇佣\(N\)位教师，则每位教师创造的净利润为\(800 – w\)，学校的总周利润为：
\[\begin{align*} \text{周利润}&=(y-w) \times N\\ &=(800-w)N \end{align*}\]只要工资低于800欧元，学校就能实现正利润。工资\(w\)越低，雇佣的教师数\(N\)越多，利润也就越高。
- 等利润曲线（isoprofit curve）
- 一条将能为企业带来相同利润的不同商品价格和数量组合连接起来的曲线。
相同的利润水平可由不同的商品数量\(N\)和价格\(w\)组合实现，这些组合点可以绘制成图表。例如，当 \(N = 10\)，\(w = 650\) 时，利润为1,500欧元；同样，当 \(N = 40\)， \(w = 762.50\)，或\(N = 75\)，\(w\) = 780时，也能获得1,500欧元的利润。图6.13中的曲线连接了所有能够产生1,500欧元利润的 \(N\) 和 \(w\)组合，这条曲线即为等利润曲线。等利润曲线英文单词中的“iso”源自希腊语，意为“相同”。通过图6.13可以了解如何绘制其他等利润曲线。
图6.13 利润 = (800 – \(w\)) × \(N\) 时的等利润曲线。
实现 1,500 欧元利润的不同组合
零利润线
另一条等利润曲线
利润水平更高的等利润曲线
- 无差异曲线（indifference curve）
- 一条将所有提供给个体相同效用水平的商品组合连接起来的曲线。
我们可以将等利润曲线视为企业的无差异曲线，即企业对所有能带来相同利润水平的工资\(w\)和雇佣人数\(N\)组合持无差异态度。等利润曲线具有以下特点：
- 向上倾斜：例如，从 A 点开始，若增加员工数量，为保持总利润不变，可降低每位员工的边际利润，因此可以提高工资。
- 图中右下方的等利润曲线代表更高的利润水平，对应的雇佣人数\(N\)较高、工资\(w\)较低。
- 曲线形状相似：当\(N\)和 \(w\)都较低时，曲线较为陡峭；当\(N\)和 \(w\)都较高时，曲线趋于平坦。
为了理解最后一点，不妨考虑当雇佣人数\(N\)增加一人时的情形。要想保持在同一条等利润曲线上，即维持既有的利润水平，工资须作何调整？图表6.14展示了1,500 等利润曲线上两点的计算结果。当\(w\)和\(N\)较低时，增加一名员工能显著提升利润，因此需大幅提高\(w\)以抵消这部分额外利润，此时曲线的斜率较大。反之，当\(w\)和\(N\)较高时，新增员工的边际利润较小，因此无需大幅调整工资。
| 比较1,500等利润曲线上的两点 | 如果N增加 1，要想保持在同一条曲线上，工资需提高多少？ | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| N | w | 利润 | 员工单位利润 | N + 1 | 利润增加： | 若要保持利润不变，工资须提高： | 斜率 | |
| w和N较低 | 5 | 500 | 1,500 | 300 | 6 | 300 | 300/6 = 50 | 高 |
| w和N较高 | 75 | 780 | 1,500 | 20 | 76 | 20 | 20/76 = 0.26 | 低 |
图6.14 计算等利润曲线上两点的斜率。
利润最大化
当\(N\)较高且\(w\)较低时，利润较高。然而，并非所有的\(N\)和\(w\)组合都是可行的。学校需要在可行集中找到利润最大化的组合。图6.15 展示了各等利润曲线以及可行的（\(N，w\)）组合集——无懈怠工资曲线及其上方的点，这有助于确定利润最大化点。
图6.15 可行集内利润最大化点位于何处？
在可行集内，没有点能够实现5,000欧元的利润，这意味着企业无法达到这一利润水平。不过，一些可行点可以实现3,000欧元的利润，部分点可实现更高利润。
无懈怠工资曲线上任意一点所对应的利润，均高于该点正上方对应点的利润。这意味着，为了最大化利润，学校会选择该曲线上的某一点。因此，我们可以得知既定雇佣人数下学校的工资水平。
如图6.16所示，企业所能达到的最高等利润曲线为3,610欧元，恰好与无懈怠工资曲线相切。
图6.16 E点利润最大，达3,610欧元，此时\(w\)为705欧元，\(N\)为38人。
企业在E点以705欧元的工资雇佣38名教师，能够实现最大利润。
这一结果出现在保留工资曲线与等利润曲线相切的位置，与第3单元中讨论的预算约束与无差异曲线相切实现效用最大化的原理类似。
要理解这一点，可以设想一下沿着无懈怠工资曲线移动的过程。从纵轴附近、\(N\)值较小的地方开始，此时利润较低。沿该线移动，会依次经过1,500欧元和3,000欧元的等利润曲线，最终在E点达到最大利润3,610欧元。若继续前进，利润将逐渐下降，再次经过3,000欧元和1,500欧元的等利润曲线。因此，E点是实现利润最大化的最优选择。
我们的工资设定模型揭示了以下几点：
- 企业能够雇佣的员工数量取决于其提供的工资水平以及潜在员工的保留工资（即保留工资曲线）。若要增加雇佣人数，企业需提高工资，以吸引那些保留工资更高的求职者。
- 在确定工资时，企业会选择位于保留工资曲线之上的无懈怠工资曲线上的一点。这两条曲线之间的差值代表了员工的努力成本，也是防止员工偷懒所需的就业租金。
- 最终，企业会选择无懈怠工资曲线与最高等利润曲线相切的点。
- 劳动力市场权力（labour market power）
- 如果一家企业能够通过减少雇佣人数来压低工资水平，那么它就拥有劳动力市场权力（有时也称为垄断权力）。 有时也称为 垄断买方权力。
在该模型中，企业面临一个权衡：若想雇佣更多人员，就必须提高工资。以语言学校为例，只要工资低于800欧元，每增加一名教师就能获得更多利润，因此学校倾向于雇佣更多的教师。然而，随着雇员人数增加，必须相应提高工资，进而削减每位教师的边际利润。相反，限制雇佣人数可以维持较低的工资水平，进而提高每位员工的利润。企业通过这种方式控制工资的能力被称为劳动力市场权力。
我们的工资设定模型展示了企业如何通过设定工资来吸引和留住员工，并激励他们努力工作。在下一节中，我们将探讨这种机制的影响：当经济条件发生变化时，工资水平和雇佣人数将受到怎样的影响。
问题6.11 选择正确的表述（多选题）
阅读以下关于图6.16 的表述，选择其中的正确选项。
- （30，700）位于无懈怠工资曲线上方，因此对企业而言是一个可行的选择（尽管此时利润仅为3,000欧元）。
- （19，610）与E点处于同一条等利润曲线上（利润为3,610 欧元），而（16，550）的利润更高，达到（800 – 550） × 16 =4,000欧元。
- 企业的利润最大值点总是出现在无懈怠工资曲线与等利润曲线的切点处。由于等利润曲线在雇佣人数较低时斜率更陡，因此该切点对应的雇佣人数将低于E点的雇佣人数。
- 企业的利润最大值点总是出现在无懈怠工资曲线与等利润曲线的切点处。因此，即使企业拥有劳动力市场权力，利润最大值点仍然将位于无懈怠工资曲线上。
扩展6.10 通过设定工资实现利润最大化
在本节中，我们通过图表展示了一家企业（语言学校）是如何确定其工资水平和相应的雇佣人数的。利润最大化的工资\(w\)和雇佣人数\(N\)组合出现在无懈怠工资曲线与等利润曲线相切的点上。在本扩展部分，我们将运用微积分方法求解这一约束优化问题。具体方法详见 扩展3.5。建议您在继续阅读本部分之前，先复习扩展3.5的内容。
符号 Π 是大写的希腊字母π，在经济学中通常用于表示利润。
公司的总利润等于雇佣人数\(N\)与每位员工净利润（\(y-w\)）的乘积，其中\(y\)表示公司从每位员工处获得的收入。我们可将利润\(\Pi\)表示为工资和雇佣人数的函数：
\[\Pi(w, N) = (y - w)N\]图6.13（复制自图E6.3）展示了当\(y\) = 800时的等利润曲线，即连接所有利润相同的工资\(w\)和雇佣人数\(N\)组合的曲线。
图E6.3 当\(\text{利润} = (800\) – \(w) × N\)时的等利润曲线。
等利润曲线的特性
与特定利润水平\(Π_0\)相对应的等利润曲线等式为：
\[(y - w)N = \Pi_0\]为了分析该等利润曲线的形状，我们对其进行代数变形。由于图形以\(w\)为纵轴，等式可改写为：
\[w = y - \frac{\Pi_0}{N}\]该等式表明，\(w\)随着\(N\)的增加而增加（因为\(Π_0/N\)减小）。可通过求导进行验证：
\[\frac{dw}{dN} = \frac{\Pi_0}{N^2} > 0\]这表明，等利润曲线向上倾斜。将原始利润表达式\(Π_0 = (y-w)N\)代入后，斜率可以用\(w\)和\(N\)来表示：
\[\frac{dw}{dN} = \frac{(y - w)N}{N^2} = \frac{(y - w)}{N}\]通过该表达式，我们能够观察到曲线不同部分的变化情况，而无需计算各点的具体利润值：在曲线右上方区域，\(N\)和\(w\)均较高，因此曲线较为平缓。
对上一个方程进一步二阶导计算，结果表明，沿等利润曲线移动时，斜率 \(dw/dN\)逐渐减小，即随着\(N\)的增加，曲线变得越来越平坦：
\[\frac{d^2 w}{d N^2} = -\frac{\Pi_0}{N^3} < 0\]综上所述，这些等利润曲线呈现递增且凹性，而无差异曲线通常呈现递减且凸性（详见扩展 5.4）。
该等利润曲线方程还表明，在固定雇佣人数\(N\)的情况下，针对不同的\(Π_0\)值绘制一系列等利润曲线，较高的利润水平对应于较低的工资水平。换句话说，图中位置越低的曲线代表的利润越高。为了从代数上验证这一结论，我们可以在\(N\)保持不变的情况下，对\(w\)关于利润\(Π_0\)求偏导数：
\[w = y - \frac{\Pi_0}{N} \Rightarrow \frac{\partial w}{\partial \Pi_0} = -\frac{1}{N} < 0\]这表明，在既定雇佣人数下，为了获得更高的利润，企业往往需要降低工资。
解决企业面临的约束选择问题
企业所有者希望从可行集中选择\(w\)和\(N\)，以实现利润最大化。这里的可行集指的是所有位于无懈怠工资曲线及其上方的\(w\)和\(N\)组合集。
在本单元建立的模型中，无懈怠工资高于员工的保留工资，因为工资不仅需要补偿员工的努力成本，还要提供足够的就业租金，激励员工努力工作而非偷懒。因此，无懈怠工资曲线位于保留工资曲线上方，并与其平行，呈现向上倾斜的趋势。为保证利润最大化分析的普适性，我们不对该曲线做线性假设，仅假设\(w\)是 \(N\) 的递增函数：
\[w = W(N) \text{，其中} W'(N) > 0\]Note to authors: the link to Extension 6.5 will not work until the unit is live.
该模型的参数包括决定着企业招聘和留用策略的 \(m\) 和 \(q\)（参见扩展6.5），以及影响工人保留工资的\(b\)、\(v\) 和\(τ\)（参见6.8节）。扩展 6.8 详细阐述了这些因素如何共同作用，从而形成保留工资曲线。此外，无懈怠工资还取决于影响员工努力工作的 \(c\)、\(h\)和 \(s\)（参见6.9节）。
我们知道，无懈怠工资曲线的位置和斜率受多个劳动力市场参数的影响。为简化分析，本扩展暂不显式地将这些参数纳入函数\(W(N)\) ，而仅关注\(w\) 和\(N\)之间的关系。
Note to authors: the links below will not work until the units are live.
企业面临的约束选择问题与员工在消费和闲暇时间之间进行效用最大化选择的问题类似（参见扩展3.5和扩展5.5），但两者存在一个关键区别：对于员工而言，消费和闲暇时间都是“商品”，多多益善，因此他们的无差异曲线向上倾斜。而对于企业而言，当\(N\)尽可能大且\(w\)尽可能低时，利润才能最大化，因此企业的等利润曲线向下倾斜。
\(w\) 和\(N\)的可行组合需满足\(w ≥ W(N)\)。鉴于企业希望\(w\)尽可能低，我们知道它们会选择\(w=W(N)\)的组合。因此，如同在扩展3.5中对卡里姆案例的处理一样，我们可以用该等式而非不等式来表示约束条件。
雇主面临的约束选择问题
雇主面临的约束选择问题是如何在\(w=W(N)\)的约束条件下，选择最优的\(w\) 和\(N\)，以最大化利润\(\Pi(w, N)\)。
由于利润函数相对简单，我们可以通过替代法轻松求解。利润函数为：
\[\Pi = (y - w)N\]将约束条件\(w=W(N)\)代入，可将利润表示为\(N\)的函数：
\[\Pi = (y - W(N))N\]为了找到使利润最大化的\(N\)值，我们对利润函数关于\(N\)求导（运用乘积法则），并令其等于零：
\[\frac{d \Pi}{dN} = (y - W(N)) - W'(N)N = 0\]对该等式进行变形，得到一阶条件：
\[W'(N) = \frac{y - W(N)}{N}\]这表明，利润最大化出现在无懈怠工资曲线\(w = W(N)\)上的某一点，该点处的斜率等于等利润曲线的斜率（我们已证明，等利润曲线上任意一点的斜率为\((y \ – \ w)/N\)）。
如果已知无懈怠工资曲线的显式方程，即可通过求解由一阶条件和无懈怠工资方程构成的方程组，来确定雇主会选择的具体\(w\)和\(N\)。在练习E6.3中，你可以尝试在无懈怠工资曲线为线性函数的条件下，完成这一求解过程。
二阶条件
为了验证所得解为利润函数的最大值点，需进行二阶条件检验。对利润函数二次求导可得：
\[\frac{d^2 \Pi}{dN^2} = -2W'(N) - W''(N)\]在最大值点处，二阶导数必须为负。由于\(W(N)\) 是递增函数，第一项必然为负。然而，如果\(W(N)\) 的凹性显著（即\(W''(N)\)为显著负值），则第二项可能足够大，从而使整个二阶导数变为正。在这种情况下，我们找到的将是一个最小值点而非最大值点。因此，求解任何特定无懈怠工资曲线约束问题时，必须验证二阶条件。
你也可以尝试绘制一张草图，来更直观地理解这一点：当无懈怠工资曲线呈高度凹性时，它将位于等利润曲线的下方（而非图6.16所示的上方）。沿此无懈怠工资曲线从左侧接近切点，每经过一条等利润曲线，利润均递减，直至越过切点后利润才开始回升。因此，切点即为利润最低点。
练习E6.3 线性无懈怠工资曲线
假设无懈怠工资曲线为线性，其方程可表示为\(W = W_0 + W_1 N\)（其中\(W_0 \text {和} W_1\) 为常数）。
- F 根据\(W_0\)和\(W_1\)，求解利润最大化的工资和雇佣人数（务必验证二阶条件是否满足）。
- 解释当整个工资曲线向上平移时，利润最大化时的工资和雇佣人数将如何变化。
- 解释当工资曲线的斜率增加时，将发生什么变化。
延伸阅读：马尔科姆·彭伯顿和尼古拉斯·劳的《经济学家需要掌握的数学：一本入门教材》第 8 章（曲线绘制及极值求解），2015年第4版或2023年第5版，曼彻斯特：曼彻斯特大学出版社。Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
