第6单元 公司和员工
6.5 管理招聘与离职：保留工资曲线
企业和劳动者如何在劳动力市场中相互匹配？他们又是如何决定是否建立匹配关系的？通常情况下，企业发布职位空缺信息，劳动者提交申请；企业会向符合要求的劳动者提供雇佣合同，而劳动者可以选择接受或拒绝。
他们作出决定的一个重要因素是工资。对于某些劳动者，例如高级管理人员，工资是通过谈判确定的。在某些类型的工作和特定国家，工会可能会与企业协商确定职位的工资标准。但对于大多数劳动者而言，工资由雇主设定，并且在企业内部从事相同工作的员工通常领取相同的工资。因此，雇主必须考虑工资水平需要达到多高才能吸引和留住所需数量的劳动者。
保留工资
在本单元的模型中，我们假设企业招募的劳动者是当前失业的劳动者。当然，在现实中，有些劳动者会直接从一份工作转到另一份工作。但专注于分析劳动者在就业与失业之间的流动，可以简化我们的分析，特别是让我们深入了解劳动力市场中的一个核心问题：是什么决定了整体就业和失业水平？
以弗朗索瓦（Françoise）为例，她最近从巴黎的一所大学毕业，目前尚未决定从事什么职业，因此她决定先寻找一份向非母语者教授法语的工作。在综合评估自己的资历以及教职招聘情况后，她认为自己可能找到一份每周收入700欧元的工作。
但现在有一家语言学校正在招聘，薪资为每周580欧元。她应该申请吗？
- 保留选项（reservation option）
- 当个人在特定情形中进行选择时，保留选项是指其可获得的次优替代方案。 亦称：备用选项。参见：保留价格.
- 效用（utility）
- 衡量个体对某一结果的价值判断的数值指标。当两个结果均可行时，具有较高效用而不是较低效用的结果会被优先选择。
弗朗索瓦是否应该申请取决于接受这份工作相比于选择保留选项，即失业并继续寻找薪资更高的工作，是否更令她满意。对于和弗朗索瓦一样面对这种抉择的人而言，保留选项的价值取决于以下三个因素：
- 她在失业期间的收入，包括失业补贴（如果她有资格领取）以及家庭可能提供的任何支持。
- 其他影响她在失业期间效用的因素，例如她是否可以利用时间进一步学习、帮助家人，或者失业期间可能产生的无聊感、孤立感以及对找工作的焦虑。
- 她认为找到更好的机会需要多长时间。
- 保留工资（reservation wage）
- 保留工资是员工愿意接受新工作机会的最低工资水平，它反映了员工在次优选择（保留选择）中所能获得的收入水平。对于那些将失业视为次优选择的员工而言，保留工资不仅取决于他们预期在新工作中获得的薪资，还包含失业期间可能获得的任何收入。
在考虑了这些因素后，她决定自己不应接受低于600欧元的工资。这就是她的保留工资。这其实意味着，她将失业视为相当于从事一份每周收入600欧元的工作。因此，她不会接受每周580欧元的工作，也决定不申请这份职位。
招聘与离职
现在来考虑巴黎一家语言学校的情况，该学校为学生提供法语强化课程。学校雇佣语言教师，其中大多数人像弗朗索瓦一样，是刚毕业的学生，他们可能只会工作六个月或一年，然后进入职业生涯的下一阶段。
假设学校雇佣的教师人数为\(N\)，平均每周有4%的教师离职，则每周离职人数为0.04\(N\)。如果学校希望维持\(N=50\)名教师的员工队伍，那么预计每周会有两名教师离职（0.04×50），学校需要每周雇佣两名教师来替代他们。
劳动者不会接受低于其保留工资的工作，而保留工资因个体情况的不同而有所差异。因此，当学校发布职位空缺时，能够雇佣到的教师数量取决于有多少人正在寻找工作并看到招聘广告，以及其中有多少人的保留工资低于学校提供的工资。
图6.5中向上倾斜的曲线显示了学校根据工资水平每周可以雇佣的教师数量。所有潜在应聘者中最低的保留工资为550欧元。如果学校提供的工资仅略高于550欧元，很少会有人接受这份工作。若学校提高工资，保留工资更高的劳动者也会接受工作，这样学校每周可以雇佣更多教师。在任意工资水平\(w\)下，招聘曲线表明每周有多少潜在应聘者的保留工资低于\(w\)。
要维持50名员工的队伍，学校需要每周雇佣2名教师，因此应将工资设定为675欧元。通过以下步骤，可以理解如果学校希望雇佣更多或更少员工时会发生什么情况。
图6.5 工资设置：招聘人数等于离职人数。
招聘曲线
50名员工的队伍
(N=70)和(N=20)的情况
图6.5显示了当员工人数\(N\)增加时，使招聘与离职相等的工资水平随之提高。基于这一关系，我们在图6.6中绘制了雇佣\(N\)名员工所需工资的曲线。在图的上半部分，招聘线和离职线显示，当\(N\) = 50时，每周平均有2名员工离职，需要将工资设定为675欧元以替代离职者。在图的下半部分，我们绘制了点\(（N = 50，w = 675）\)，其他雇佣水平的点也以相同方式标注。
图6.6 维持\(N\)名员工所需的工资。
图6.6中向上倾斜的曲线显示了雇佣\(N\)名员工所需的工资水平，但它同时也显示了以该工资水平雇佣的教师的保留工资。如果学校将工资设定为725欧元并雇佣70名教师，那么这些员工的保留工资将在550欧元到725欧元之间，其中有50名员工的保留工资低于675欧元。一家企业的所需工资曲线也可以看作其保留工资曲线（尽管在此例中是一条直线），它反映了员工的保留工资分布。
当语言学校设定工资水平时（见6.10节），保留工资曲线将是一个重要的考虑因素。但在此之前，我们需要讨论影响企业利润的另一个方面——员工工作的努力程度。
问题6.6 选择正确的表述（多选题）
阅读以下关于图6.6的陈述，并选择其中的正确选项。
- 纵轴截距表示最低的保留工资；招聘曲线上所有其他点也表示保留工资水平。
- T招聘曲线显示了企业为平均每周替换离职人数所需设定的工资水平。
- 725欧元是所有在职员工中最高的保留工资（保留工资低于725欧元的员工愿意被雇佣，保留工资高于725欧元的员工则不愿意被雇佣）；550欧元是最低的保留工资。
- 现在企业需要每周雇佣5名员工，而不是2名。如果招聘曲线和保留工资曲线保持不变，则企业需要设定的工资高于最初的水平。
扩展6.5 招聘与离职模型
在本节主要部分中，我们展示了工资\(w\)与员工人数\(N\)之间的正相关关系，这决定了如果企业希望拥有\(N\)名员工，其需要支付的工资水平是\(w\)。这种关系反映了潜在员工的保留工资。在本扩展中，我们推导了这一保留工资曲线的代数公式，该公式取决于描述企业所面临劳动力市场条件的参数。我们使用微积分（导数）来确定曲线的性质。
考虑一家希望雇佣\(N\)名员工的企业。企业知道，平均每周有占比为\(q\)员工会离职，即\(q\)是预期的离职率。因此，为了维持\(N\)名员工的队伍，企业每周需要雇佣\(qN\)名新员工。
寻找员工需要时间。企业需要寻找具备工作所需技能和素质的劳动者，而劳动者同样在寻找适合自己的工作。假设企业平均每周能遇到\(m\)名合适的劳动者。如果企业提供的工资至少达到他们的保留工资，这些劳动者将接受工作邀请。
然而，劳动者的保留工资各不相同，而企业必须为从事相同工作的所有员工设定相同的工资。假设企业提供的工资为\(w\)。我们用\(P(w)\)表示愿意接受工作的劳动者比例，即接受概率。工资\(w\)越高，接受工作的人数就越多。因此，\(P(w)\)是一个递增函数。
因此，企业每周可以招募的员工数量为\(mP(w)\)。为了维持企业的员工队伍规模为\(N\)，工资应设定得足够高，使得招聘人数等于离职人数：
\[\underbrace{mP(w)}_{\text{招聘人数}} = \underbrace{qN}_{\text{离职人数}}\]当这个方程成立时，企业处于“稳态”，即工资水平使得员工数量\(N\)随时间保持不变（稳定）。
图E6.1（取自图6.5）展示了我们在6.5节语言学校案例中使用的这个模型的具体情况。我们假设企业希望雇佣\(N=50\)名员工，并且离职率\(q\)为0.04。图中的竖线表示每周的平均离职人数\(qN=2\)，而向上倾斜的曲线表示每周的招聘人数\(mP(w)\)。招聘人数随着工资水平\(w\)的提高而增加。
满足方程\(mP(w)=qN\)的工资\(w\)是实现稳态雇佣\(N\)所需的工资水平。在图中，解为\(w=675\)，即两条曲线的交点处。
图E6.1 语言学校的招聘与离职模型，当\(N=50\)、\(q=0.04\)时。
在语言学校的例子中，为了简化模型，招聘曲线被设定为一条竖直线。更一般的情况是，我们可以假设招聘曲线是向上倾斜的——因为\(P(w)\)是一个递增函数，但其形状取决于劳动者群体中保留工资的分布。
企业的保留工资曲线
方程\(mP(w)=qN\)描述了\(w\)和\(N\)之间的重要关系。当能够保证对于每个\(N\)的值，该方程都有一个唯一的\(w\)值时，我们可以将其描述为保留工资曲线的方程。换句话说，我们需要确保图E6.1中的招聘曲线和离职曲线仅在一个点相交。
唯一的例外情况是离职率(\(q\))非常高且每周合适匹配的数量(\(m\))非常低，以至于即使工资高到所有劳动者都会接受工作（即\(P(w)=1\)），企业仍然无法找到所需数量的劳动者。
然而，这个方程是一个关于\(w\)的隐式方程——在不知道函数\(P(w)\)的具体形式时，我们无法将方程重新排列为以\(w\)为显式表达式（即将\(w\)单独列在一边）。即使知道\(P(w)\)，也可能无法做到这一点。但可以通过逻辑推断，方程应具有\(w\)的唯一解——因为方程的左侧是随\(w\)增加的递增函数，而右侧是常数，因此两者只能在一个点上相等。
因此，我们可以将方程\(mP(w)=qN\)理解为隐式地将工资\(w\)表示为员工人数\(N\)的函数。无论\(N\)的值是多少，该方程都告诉我们对应的所需工资\(w\)。同样地，对于任何\(w\)的值，它也能告诉我们企业可以实现的稳态雇佣水平\(N\)。
其次，该方程表明\(w\)和\(N\)之间是正相关关系，即\(w\)是\(N\)的递增函数。在本节主要部分中，我们通过图示推导出了这一结论；在图E6.1中，预期雇佣人数\(N\)的增加会使竖直的离职曲线向右移动，从而使曲线的交点处于更高的工资水平。
我们也可以通过代数方法进行推导。由于方程可以重排为\(N\)关于\(w\)的显式函数，我们可以通过求解\(dN/dw\)来验证这一关系：
\[N= \frac{mP(w)}{q} \Rightarrow \frac{dN}{dw}= \frac{mP'(w)}{q}\]由于\(P'(w)>0\)，且\(m\)和\(q\)也为正值，这表明\(dN/dw>0\)，即\(N\)是\(w\)的递增函数。同样地，\(w\)也是\(N\)的递增函数。我们可以应用反函数求导规则求出逆函数的导数：
\[\frac{dw}{dN}= \frac{1}{\frac{dN}{dw}}=\frac{q}{mP'(w)}>0\]图E6.2（取自图6.6）描述了这一关系。在图中，我们将\(w\)绘制在纵轴上，因此线的斜率为\(\frac{dw}{dN}\)。上述表达式告诉我们，如果工资的升降对招聘的影响很大（即\(P'(w)\)很高），曲线会比较平坦；而如果招聘对工资变化不敏感，则曲线会较陡峭。
图E6.2 用于雇佣\(N\)名员工的工资水平（保留工资曲线）。
回顾第6.5节，由于图E6.2中的关系是基于劳动者保留工资的分布推导出来的，因此它也揭示了企业员工保留工资的分布。对于任何工资水平\(w\)，它显示有多少员工的保留工资在该水平或以下。这也是为什么将其称为“保留工资曲线”。
匹配率和离职率的变化
回到保留工资曲线的基础方程，我们可以推导出当参数\(m\)或\(q\)变化时曲线如何移动。虽然\(N\)是\(w\)的递增函数，但它也取决于\(m\)和\(q\)，因此我们可以通过偏微分来确定这些参数变化的影响：
\[N= \frac{mP(w)}{q} \Rightarrow \frac{\partial N}{\partial m}= \frac{P(w)}{q}>0 \text{ 和 }\frac{\partial N}{\partial q}= -\frac{mP(w)}{q^2}<0\]因此，如果企业找到合适员工的匹配率\(m\)上升（但离职率\(q\)不变），企业在任何给定工资水平下可以雇佣更多员工，因此保留工资曲线向下移动。这是因为企业可以更快找到愿意接受该工资水平的员工。相反，若离职率\(q\)上升（其他条件不变），曲线向上移动。如果每周离职的员工数量增加，在给定工资水平下，招聘人数没有变化。为了使离职人数等于招聘人数，稳态下的员工数量必然减少。
练习E6.1 推导保留工资曲线
假设工资\(w\)的接受概率函数为\(P(w)=k(w\ - \ r_0)\)，其中\(r_0\)是劳动者群体中的最低保留工资（并且最高保留工资足够高，以至于企业永远无法招募到所有劳动者）。
推导该函数的保留工资曲线，并绘制一张类似图E6.2的示意图。利用数学和直觉解释当离职率上升时，曲线会如何变化。
延伸阅读：马尔科姆·彭伯顿和尼古拉斯·劳的《经济学家需要掌握的数学：一本入门教材》7.4节（关于反函数规则）。Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
