第5单元博弈规则：谁得到什么，以及为什么

5.4 构建模型：技术与偏好

现在，我们将构建一个模型，用以研究不同的制度以及它们如何在经济互动中影响谁做什么、谁得到什么。其核心思想是，制度（博弈规则）会影响人们的选择范围（他们的可行集）以及某些群体成员对其他人所能行使的权力。正如本单元标题所概括的——《博弈规则：谁得到什么，以及为什么》——不同的博弈规则会以不同的方式在社会成员之间分配收入。制度还会影响博弈结果的效率和公平。

我们构建了一个农民安吉拉和土地所有者布鲁诺之间的互动模型。安吉拉种植谷物，而布鲁诺拥有安吉拉耕种的土地。谷物的产量取决于安吉拉每天的工作时长。我们可以将他们各自获得的谷物视为他们从这个互动中获得的收入。这是安吉拉唯一的收入来源，所以如果她得到的谷物太少，她就会挨饿。

根据博弈规则以及安吉拉的替代选项，布鲁诺对安吉拉的权力会有所不同。布鲁诺的权力范围从可以人身威胁安吉拉、强迫她长时间工作但只给她很少的谷物，到在安吉拉有权拒绝并离开时，仅向她收取使用土地的费用。当规则改变，他们可以协商达成一个双方都能接受的协议时，布鲁诺的权力就会减弱。

布鲁诺和安吉拉权力的性质和强弱决定了安吉拉的工作时长以及她产出的谷物如何在两人之间分配。不同的博弈规则会导致每位参与者获得不同的收益。这是我们用双人博弈来表示社会中不同群体（例如，土地所有者和租地者）之间互动的另一个例子。

偏好（preference）: 个人对必须作出的选择或决策的每个可能结果的相对价值的描述。
技术（technology）: 这是对一个生产过程的描述，该过程利用一系列原材料和其他投入（包括人力和机器的劳动）来进行生产。
可行集（feasible set）: 在决策者所面临的经济、物理或其他约束条件下，所有可供选择的商品或结果的组合。 参见：可行边界。
生产函数（production function）: 生产函数以图形或数学形式描述了生产过程中投入要素数量与产出数量之间的关系。
无差异曲线（indifference curve）: 一条将所有提供给个体相同效用水平的商品组合连接起来的曲线。

尽管制度有所不同，但在每种情况下，布鲁诺和安吉拉的偏好，以及安吉拉用来生产谷物的技术都是相同的：

安吉拉的目标：根据她的偏好（以及由此产生的无差异曲线），获得对她而言最优的谷物和自由支配时间组合。
布鲁诺的目标：尽可能多的谷物（他不做任何工作）。
安吉拉的工作时长和两人之间可分配的谷物总量所构成的可行集，由农业技术（即生产函数）决定。

安吉拉和布鲁诺的偏好

我们假设（与第4单元的实验参与者及其他人不同），两位行为人是完全自利的，他们的偏好仅关注自己的所得。

安吉拉既重视谷物（她用于消费的收入），也重视自由支配时间。我们可以像第3单元对卡里姆的分析一样，用无差异曲线来刻画她的偏好。

图5.3a中的每个点都表示谷物（以蒲式耳计量）和自由支配时间的一种组合，而无差异曲线则将安吉拉认为价值相等的组合连接在一起。例如，安吉拉对于“拥有16小时自由支配时间并消费33蒲式耳谷物”，与“只拥有10小时自由支配时间但消费56蒲式耳谷物”这两种情况是无差异的：这两个组合都在无差异曲线IC₃上。但是，如果我们从IC₃上的任意一点移动到上方或右方的另一点，安吉拉会更喜欢新组合，因为新组合能给她带来更多的两种商品。更高的无差异曲线，如IC₄和IC₅，对应着更高的效用水平。

全屏

https://books.core-econ.org/microeconomics/zh/05-the-rules-of-the-game-04-technology-and-preferences.html#图5-3a

图5.3a 安吉拉关于自由支配时间与谷物的无差异曲线。

从数学上讲，无差异曲线的斜率是负数。但边际替代率（MRS）是一个正数，表示两种商品数量之间权衡的大小。我们经常会说“MRS等于斜率”，但严格来说，我们指的是斜率的绝对值。

边际替代率（marginal rate of substitution，MRS）: 指一个人在两种商品之间愿意作出的权衡取舍。在无差异曲线上的任意一点，边际替代率（MRS）等于该点斜率的绝对值。 参见：边际转换率。
边际效用（marginal utility）: 指增加一单位商品的消费所带来的额外效用。

无差异曲线在任何一点的斜率都对应于谷物和自由时间之间的边际替代率（MRS）。它表示安吉拉愿意在两种商品之间作出的取舍。无差异曲线越陡峭，说明她相对于谷物更重视自由支配时间。

她拥有的自由支配时间越多（越靠右），曲线就越平坦——因为她对自由支配时间的评价降低了。因此，她不愿意为了额外的一小时自由支配时间而放弃太多谷物。换句话说，当她已经拥有大量自由支配时间时，自由支配时间的边际效用（即额外一小时自由支配时间所带来的额外效用）与谷物的边际效用相比较低。随着自由支配时间的增加，她从自由支配时间中获得的边际效用递减。

如果你从左向右观察时发现曲线之间的垂直距离似乎变宽了，这是一种视觉错觉。你可以通过测量来确认这一点。

我们假设安吉拉的无差异曲线是彼此的垂直平移。这意味着，首先，无论她的自由支配时间有多少，两条曲线之间的垂直距离都是相同的。图5.3b中的箭头显示，无论她拥有12小时还是18小时的自由支配时间，IC₃和IC₄之间的距离都是相同的。

对于给定横轴数值，所有无差异曲线的斜率都相同的偏好被称为拟线性偏好。本节的扩展部分展示了拟线性效用函数的数学形式和性质。

其次，在相同的自由支配时间水平下，每条无差异曲线的斜率都是相同的。当安吉拉有18小时自由支配时间时，无差异曲线的切线是彼此平行的。换句话说，安吉拉的MRS取决于她拥有的自由支配时间量，无论她获得更多或更少的谷物，MRS均不会改变。

全屏

https://books.core-econ.org/microeconomics/zh/05-the-rules-of-the-game-04-technology-and-preferences.html#图5-3b

图5.3b 安吉拉的MRS取决于她的自由支配时间量，而不取决于谷物的量。

我们采用这个假设来简化分析。特别是，它允许我们用谷物的蒲式耳为单位来衡量安吉拉在不同配置之间的效用差异。例如，我们可以说她更愿意选择Z点而不是Y点，其效用差异相当于17蒲式耳谷物。

图5.3c 使用相同的坐标轴展示了布鲁诺的偏好。安吉拉花多少时间生产谷物对他来说并不重要——他不在乎安吉拉有多少自由支配时间。他只关心作为土地所有者的自己能收到多少谷物——越多越好。因此，他的无差异曲线是水平的。

全屏

https://books.core-econ.org/microeconomics/zh/05-the-rules-of-the-game-04-technology-and-preferences.html#图5-3c

图5.3c 布鲁诺对谷物和安吉拉自由支配时间的偏好。

安吉拉的技术

我们暂时搁置一个在第6单元才会详细讨论的重要事实：完成的工作量不仅取决于工作时间，还取决于个人工作的努力和细致程度。

构建块

关于生产函数和劳动平均产量的介绍，请阅读1.6节⁠。

安吉拉能获得的谷物和自由支配时间的可行组合取决于农场生产谷物的技术。图5.4展示了生产函数，它告诉我们生产的谷物数量（产出）如何取决于安吉拉的工作量（投入，以每天的工作时间小时数衡量）。这与1.6节中的谷物生产函数相似，主要区别在于，1.6节中的投入是耕种土地的总农民数，而这里是一个农民每天在一块土地上的工作时间。

平均产量（average product）: 生产要素的平均产量指的是总产量与该生产要素总投入量的比值。例如，工人的平均产量（也称为劳动生产率）是总产量除以参与生产的工人人数。
可行边界（feasible frontier）: 由一系列点构成的曲线或直线，表示在某种商品数量给定的情形下，另一种商品可以获得的最大数量。 参见：可行集。

如果安吉拉每天工作5个小时，她能生产37蒲式耳谷物（图中的T点）。她的劳动平均产量是37/5=7.4蒲式耳。劳动平均产量对应于从原点到T点的射线的斜率。她的生产函数（又一次与1.6节中的函数相似）呈凹形：随着工作时间的增加，每小时工作的平均产量递减。与之前一样，这种情况发生是因为可用土地的数量是固定的：在同一块土地上工作两倍的时间并不会使产出翻倍。

全屏

https://books.core-econ.org/microeconomics/zh/05-the-rules-of-the-game-04-technology-and-preferences.html#图5-4

工作时间	0	1	2	3	4	5	6	8	12	16	24
谷物产量	0	17	24	29	34	37	41	46	54	60	64

图5.4 安吉拉的生产函数。

利用图5.4中的信息，我们可以计算出安吉拉的谷物产量和自由支配时间的可行组合。与第3单元一样，我们所说的自由支配时间是指不用于生产谷物的所有时间——它包括吃饭、睡觉以及不计入农场工作的所有其他活动的时间，还有她的闲暇时间。例如，我们知道安吉拉工作5小时可以生产37蒲式耳谷物。因此，19小时的自由支配时间和37蒲式耳谷物是可行的。在图5.5的表格中，我们已经计算出了与每种谷物产量相对应的自由支配时间量。然后，我们绘制了每个谷物和自由支配时间的组合，以获得可行边界。

图5.5中的可行边界是图5.4中生产函数的镜像，横轴表示的是自由支配时间而不是工作时间。它显示了对于每种可能的自由支配时间量，安吉拉能生产和消费的谷物量。

与边际替代率（MRS）一样，边际转换率（MRT）是一个正数，尽管斜率是负的。更准确地说，MRT等于斜率的绝对值。

边际转换率（marginal rate of transformation，MRT）: 指为了获取额外一单位某种商品所必须放弃的另一种商品的数量。在任意一点上，它等于可行边界斜率的绝对值。 参见：边际替代率。
机会成本（opportunity cost）: 指在选择某一行动方案时，所放弃的次优选择可能带来的收益。例如：“我决定去度假而不是接受一份暑期工作。那份工作既乏味无趣又薪资低廉，因此度假的机会成本相对较低。”

可行边界的斜率表示将自由支配时间转换为谷物的边际转换率（MRT）。边界上的每一点告诉我们安吉拉所面临的取舍：为了获得多一单位的自由支配时间，安吉拉需要放弃多少谷物。图5.5中的表格显示，如果安吉拉将她的自由支配时间从19小时（T点）减少到18小时，她的谷物产量将从37蒲式耳增加到41蒲式耳。因此，T点的MRT是每小时4蒲式耳。同样地，在T点，一小时自由支配时间的机会成本是4蒲式耳谷物。

第3单元中卡里姆的可行边界是一条直线，因此对他来说，边界上的每一点的MRT都是相同的。对于安吉拉来说，MRT是变化的：她拥有的自由支配时间越多，MRT就越大——当她已经拥有大量自由支配时间时，再增加一小时自由支配时间的机会成本就更高，她需要放弃的谷物就更多。

全屏

https://books.core-econ.org/microeconomics/zh/05-the-rules-of-the-game-04-technology-and-preferences.html#图5-5

自由支配时间	24	23	22	21	20	19	18	16	12	8	0
谷物产量	0	17	24	29	34	37	41	46	54	60	64

图5.5 安吉拉的可行边界。

问题5.1 选择正确的表述（多选题）

阅读以下关于图5.3b和图5.4的陈述，并选择正确的选项。

当安吉拉拥有更多自由支配时间时，她的无差异曲线更平坦，因为她对谷物的边际效用递减。
对于特定数量的自由支配时间，安吉拉的无差异曲线的斜率是相同的。
我们可以从安吉拉的生产函数推导出她的可行边界。
可行边界的斜率是边际替代率（MRS）。

无差异曲线在右侧的组合更平坦，但原因是自由支配时间的边际效用递减，而不是谷物的。当安吉拉拥有更多的自由支配时间时，相比于拥有很少的自由支配时间，她对自由支配时间的重视程度低。
安吉拉的无差异曲线具有这种特性，因此她的边际替代率（MRS）取决于她的自由支配时间量，而不取决于谷物数量。
生产函数显示了安吉拉每工作1小时能生产多少谷物。由于一天有24小时，我们可以使用这些信息来推导可行边界，它显示了安吉拉可获得的自由支配时间和谷物组合。
可行边界的斜率是MRT。MRS是安吉拉无差异曲线的斜率。

扩展5.4 凹生产函数和拟线性偏好的性质

我们用微积分来分析安吉拉的技术和偏好的数学特性。在阅读本扩展之前，你应先阅读扩展2.4中关于生产函数的介绍，并熟悉扩展3.3中对偏好的数学分析（必读）以及扩展3.4中的边际转换率概念。

安吉拉的技术和偏好具有一些在许多经济模型中都可以合理地假设成立的性质。她的生产函数呈凹形，类似于第1单元中的农业生产函数：它向上倾斜，但随着工作时间的增加，逐渐变得平坦。她的偏好，与第3单元中卡里姆的偏好类似（如扩展3.3所述）具有凸性：换句话说，她的无差异曲线向下倾斜，随着向右移动逐渐变得平坦。此外，她的偏好还具有一个在某些模型中很有用的特性：拟线性。

在本扩展中，我们将用数学语言来描述这些性质。首先，有必要明确“凹”和“凸”的含义。

凹函数和凸函数

凹的，凹函数（concave, concave function）: 如果函数$f(x)$ 的二阶导数在所有 $x$的取值处都为负，则称其为凹函数。
凸的，凸函数（convex, convex function）: 如果函数$f(x)$的二阶导数在所有 $x$的取值处都为正，则称其为凸函数。

如果函数 $f(x)$ 的二阶导数在所有 $x$ 的取值处都为负，那么该函数被称为凹函数；即如果 $f''(x)\leq0$。如果对于所有 $x$ 的值，$f''(x)<0$，则该函数是严格凹的。

如果一个函数是凹的，那么随着 $x$ 的增加，其斜率 $f'(x)$ 会减小。

相反地，如果函数 $f(x)$ 的二阶导数在所有 $x$ 的取值处都为正，那么该函数被称为凸函数；即如果 $f''(x)\geq0$。如果对于所有 $x$ 的值，$f''(x)>0$，则该函数是严格凸的。

如果一个函数是凸的，那么随着 $x$ 的增加，其斜率 $f'(x)$ 会增加。

图E5.1比较了四个可能的函数 $y=f(x)$ 的图像。上面的两个都是增函数（斜率是正的），这与我们对生产函数的预期相符。左侧是凹函数——与第1至5单元中的所有生产函数示例一致。随着 $x$ 的增加，其斜率减小，因此如果我们连接曲线上的任意两点，那么这条线会位于曲线的下方。右侧则展示了一个凸生产函数：其斜率随着 $x$ 的增加而增大，因此连接曲线上任意两点的线会位于曲线的上方。

全屏

https://books.core-econ.org/microeconomics/zh/05-the-rules-of-the-game-04-technology-and-preferences.html#图e5-1

图E5.1 凹函数和凸函数。

下面的两个都是减函数——例如，我们通常用减函数来表示无差异曲线。左侧的曲线是凹的：随着 $x$ 的增加，其斜率减小，变得更负。需要注意的是，曲线变得更陡峭是因为斜率的绝对值增加了，但斜率本身是在减小的。因此 $f''(x)<0$：该函数是凹函数。右下角的图显示了一个凸的减函数，这是我们期望大多数无差异曲线所具有的形状。随着 $x$ 的增加，曲线变得更平坦（其斜率变得不那么负），这意味着正的二阶导数。

用直线连接曲线上的两点可以快速且简单地区分凹函数和凸函数。在图E5.1中，对于左侧的两个凹函数，直线位于曲线的下方；而对于右侧的两个凸函数，直线位于曲线的上方。

生产函数的经济和数学性质

安吉拉的生产函数，如图5.4所示，与1.6节中的谷物生产函数和扩展2.4中的橄榄油生产函数相似。它们都展示了产品的产出如何随着用于生产的劳动数量的增加而增加。如果产出与劳动投入成比例增加，那么生产函数将是一条直线，斜率恒定。但在这些例子中，其他生产要素（土地或机器）是固定的，因此产出增加的幅度小于劳动力投入增加的幅度：随着雇佣的劳动力增多，函数的斜率逐渐减小。换句话说，这些例子都具有递增且严格凹的生产函数。

图E5.2a展示了另一个递增且严格凹的函数，我们假设它是像安吉拉这样的农民的生产函数，记做$y=g(h)$，其中$h \ge 0$表示每天的工作小时数，$y$表示生产的小麦蒲式耳数，且$g(0)=0$。

该函数具有经济示例中常用的简单代数形式：

\[g(h)=ah^b \text{，其中}a\text{和}b\text{是常数：} a>0, 0<b<1\]

在图中，$a=10$且$b=0.4$。

该图表明函数$g(h)$是递增且严格凹的。利用已知的$a$和$b$，通过代数方法验证这一点：

\[g'(h) = abh^{b-1}>0 \text{ 且 } g''(h)=ab(b-1)h^{b-2}<0 \text{，对于所有} h>0\]

$一个凹生产函数，$y = 10h^{0.4}$。$

全屏

https://books.core-econ.org/microeconomics/zh/05-the-rules-of-the-game-04-technology-and-preferences.html#图e5-2a

图E5.2a 一个凹生产函数，$y = 10h^{0.4}$。

边际产量（marginal product）: 生产中某种投入的边际产量（例如，劳动的边际产量）是指增加一单位该投入所产生的额外产出。

生产函数的斜率（导数）告诉我们劳动的边际产量：增加劳动投入所带来的额外产出数量。换句话说，它描述了产出随劳动量增加而上升的比率：

\[\text{MPL} = g'(h)\]

在这里，我们将劳动的边际产量定义为投入量发生微小（无穷小）增加时的产出增加率，尽管它通常被解释为当劳动投入增加1个完整单位（例如，1小时或1个工人）时的产出增加量——但这两者并不完全相同。

如扩展3.3所述，在数学扩展中，我们使用微积分方法来衡量边际变化，而在教科书的主体部分中，我们通常将其衡量为投入增加一个单位所产生的影响。一般来说，增加的比率 $g'(h)$ 与当 $h$ 增加一个单位时的产出增加量 $g(h+1)-g(h)$ 是不同的——除非 $h$ 以非常小的单位来衡量。

图E5.2a展示了生产函数在P点处的切线，其中$h=5$，$y=19.04$。切线的斜率为1.52，即$g'(5)=1.52$。我们说，当$h=5$时，劳动的边际产量是每小时1.52蒲式耳谷物。当生产函数是凹函数时，劳动的边际产量随着劳动力投入的增加而减少。

平均产量（average product）: 生产要素的平均产量指的是总产量与该生产要素总投入量的比值。例如，工人的平均产量（也称为劳动生产率）是总产量除以参与生产的工人人数。

边际产量与平均产量不同。$h$小时工作的劳动平均产量是$h$小时劳动所生产的平均数量：

\[\text{APL} = \frac{g(h)}{h}\]

在图E5.2a中，P点的劳动平均产量（APL）对应于从原点到P的射线的斜率，即19.04/5 = 3.8。

我们在本节的主体内容中指出，安吉拉的劳动平均产量随着她工作时间的增加而减少。这个性质对于任何严格凹的生产函数都成立。直观地理解，如果额外的一小时增加的产出比之前工作的每一小时增加的产出都少（边际产量递减），那么所有工作小时的平均产出也必须下降（平均产量递减）。

此外，如果我们使用商的求导法则对平均产量关于$h$求导，可以得到：

\[\frac{d \text{APL}}{dh} = \frac{d}{dh} \left( \frac{g(h)}{h} \right) = \left( \frac{hg'(h) - g(h)}{h^2} \right)\]

因此，平均产量递减等价于边际产量小于平均产量：

\[\begin{align*} \frac{d \text{APL}}{dh} < 0 & \Rightarrow hg'(h) - g(h) < 0 \Rightarrow g'(h) < \frac{g(h)}{h} \end{align*}\]

图E5.2a展示了这一性质：P点处的切线斜率小于P点与原点之间连线的斜率。我们可以直接证明形式为$g(h)=ah^b$的生产函数（其中$a>0$且$0<b<1$）满足这一性质：

\[g’(h)=abh^{b-1} < ah^{b-1}=\frac{g(h)}{h}\]

可行边界与边际转换率

如果技术由生产函数 $y=g(h)$ 描述，其中 $y$ 是谷物产出，$h$ 是每天的工作时间，且 $g$ 是一个递增且严格凹的函数，那么可行边界的形状如何？

商品（good）: 经济学家有时会在更广泛的语境下使用这个术语，用它指代个体在意并希望拥有更多数量的任何事物。除了在市场上交易的商品外，它还涵盖（诸如）“自由支配时间”或“清洁空气”。

为了找到安吉拉的可行边界方程，我们将技术用对她来说有价值的两种商品来表示：产出和自由支配时间 $t$。由于 $h=24-t$，可行边界为：

\[y=g(24-t)\]

对 $t$ 求导，使用复合函数求导法则（有时被称为链式法则）：

\[\frac{dy}{dt}=g'(24-t)\frac{d}{dt}(24-t)=-g'(24-t)\]

由于 $g$ 是一个递增函数（$g'>0$），我们可以得出可行边界的斜率是负的。通过再次求导，我们可以得出可行边界是严格凹的：

\[\frac{d^2y}{dt^2}=-g''(24-t)\frac{d}{dt}(24-t)=g''(24-t)<0\]

如扩展3.4中所述，可行边界斜率的绝对值是边际转换率——在这种情况下，是自由支配时间和谷物之间的边际转换率：

\[\text{MRT}=\left|\frac{dy}{dt}\right|=g'(24-t)\]

边际转换率等于劳动的边际产量。沿着边界变化，当 $t$ 增加且 $y$ 减少时，边际转换率增加：

\[\frac{d\text{MRT}}{dt}=-g''(24-t)>0\]

当生产函数的形式为 $g(h)=ah^b$ 时，可行边界的方程为 $y=a(24-t)^b$。求导（并记住 $a>0$ 且 $0<b<1$）：

\[\begin{align*} \frac{dy}{dt}&=-ab(24-t)^{b-1}<0;\ \frac{d^2y}{dt^2}=ab(b-1)(24-t)^{b-2} < 0 \end{align*}\]

因此，可行边界在 $t$ 上是递减且凹的，边际转换率为 $ab(24-t)^{b-1}$。图E5.2b展示了与图E5.2a中示例相对应的可行边界，其中 $a=10$ 且 $b=0.4$。可行边界是生产函数的镜像。

$一个凹的可行边界，$y = 10(24 - h)^{0.4}$$

全屏

https://books.core-econ.org/microeconomics/zh/05-the-rules-of-the-game-04-technology-and-preferences.html#图5-2b

图5.2b 一个凹的可行边界，$y = 10(24 - h)^{0.4}$

安吉拉的偏好：拟线性

凸偏好（convex preferences）: 如果某人的无差异曲线呈凸形，也就是说，当你沿着图中的无差异曲线向右移动时曲线趋于平坦，那么我们称此人具有凸偏好。这种典型形状之所以会出现，是因为当一个人拥有较多数量的某种商品（相较于其他商品）时，他们会愿意舍弃更多数量的该商品以换取一单位的另一种商品。这也就表现为他们的边际替代率沿着曲线降低。

我们通常认为无差异曲线是递减且凸的。扩展3.3中对卡里姆的假设，以及在本节主体部分对安吉拉的假设都是如此。我们说安吉拉和卡里姆一样，具有凸偏好。无差异曲线斜率的绝对值，即边际替代率，随着横轴商品数量的增加而减小；换句话说，他们拥有的某种商品越多，就越愿意用它来交换另一种商品。如果我们把无差异曲线的方程写成一个轴上的商品数量是另一个轴上商品数量的函数，那么这个函数是凸函数。

拟线性，拟线性函数（quasi-linear, quasi-linear function）: 如果效用函数线性依赖于一种商品的数量，而非线性依赖于另一种商品的数量，则称该效用函数为拟线性的。这两种商品之间的边际替代率仅取决于非线性变量。

但安吉拉对消费和自由支配时间的偏好还具有一个特殊性质：她的无差异曲线是彼此的垂直平移。这种性质被称为拟线性。如本节主体部分所述，这意味着她对谷物和自由支配时间的边际替代率（MRS）取决于她拥有的自由支配时间量，如果她获得更多或更少的谷物，这个比率不会改变。一般来说，拟线性偏好的假设不太合理，但在一些模型中，它是一个有用的简化，可以帮助我们专注于问题的特定方面。

设 $t$ 为安吉拉每天的自由支配时间，$c$ 为她每天消费的谷物蒲式耳数。拟线性如图5.3b所示，该图在下文中重现为图E5.3。记住，任何一点的边际替代率都是无差异曲线的斜率。该图显示，所有在 $t=18$ 处的切线都是彼此平行的。因此，如果安吉拉有18小时的自由支配时间，无论她消费多少谷物，她的边际替代率都是相同的。

全屏

https://books.core-econ.org/microeconomics/zh/05-the-rules-of-the-game-04-technology-and-preferences.html#图e5-3

图E5.3 安吉拉的MRS取决于她的自由支配时间量，但不取决于谷物量。

拟线性偏好可以用以下形式的效用函数表示：

\[u(t, c) = c + v(t)\]

其中 $v$ 是 $t$ 的递增函数：$v'(t) > 0$，因为安吉拉喜欢更多的自由支配时间。这样的效用函数被称为拟线性，因为效用对 $c$ 是线性的。我们现在证明这个效用函数具有所需的性质。

在扩展3.3中，我们证明了对于任何效用函数，MRS是边际效用的比率：

\[\text{MRS} = \frac{\partial u}{\partial t} \left/ \frac{\partial u}{\partial c} \right.\]

将该公式应用于拟线性效用函数的情况，$\frac{\partial u}{\partial t}=v'(t)$ and $\frac{\partial u}{\partial c}=1$，所以：

\[\text{MRS} = v'(t)\]

因此，安吉拉在消费和自由支配时间之间的MRS取决于她有多少自由支配时间 $t$，但不取决于她的消费 $c$。

不借助一般公式也可以直接得到相同的结果。无差异曲线的方程是 $v(t) + c = u_0$，其中 $u_0$ 是一个常数。整理这个方程，我们可以将 $c$ 表示为 $t$ 的函数：

\[c=u_0-v(t)\]

因此，无差异曲线的斜率是 $\frac{dc}{dt}=-v’(t)$，MRS是斜率的绝对值，即 $v'(t)$。

以这种方式书写无差异曲线还表明它们是彼此的垂直平移。效用水平为 $u_0$ 的无差异曲线与另一条效用水平更高为$u_1$的无差异曲线之间的垂直距离是 $(u_1-v(t))-(u_0-v(t))=u_1-u_0$，与 $t$无关。

凸的拟线性偏好

在图E5.3中，无差异曲线既是拟线性的，又是凸的——它们具有通常的MRS递减的性质，随着向右移动变得更平坦。由于MRS是 $v'(t)$，因此 $v'(t)$ 必须随着 $t$ 的增加而减少。换句话说，拟线性偏好是凸的，当：

\[v''(t) < 0\]

有点令人困惑的是，这意味着 $v(t)$ 必须是一个凹函数。如上所述，我们可以重新整理无差异曲线，将 $c$ 表示为 $t$ 的函数：$c=u_0-v(t)$。然后：

\[\frac{dc}{dt}=-v'(t) \text { 和 }\frac{d^2c}{dt^2}=- v''(t)\]

因此，当且仅当 $v(t)$ 是凹函数时（即 $v''(t) > 0$），无差异曲线是凸的。

为什么使用拟线性偏好的假设？

使用拟线性效用函数意味着我们对偏好作出了限制性的假设，这个假设并非在所有经济模型中都是合理的。但它具有一个非常有用的含义。因为效用函数的形式是“$c + \text{某个函数}$”，所以它与消费使用相同的单位来衡量。安吉拉将$t$小时的自由支配时间估值为$v(t)$蒲式耳谷物。

这一点对于研究一个既重视闲暇时间、又重视可通过劳动收入购买的所有商品的劳动者来说尤为重要。想象一下，安吉拉不仅可以消费谷物，还可以在市场上出售谷物，并用所得收入购买其他食物、衣服或任何其他东西。那么，除了自由支配时间之外的所有东西都可以用相同的单位来衡量：货币收入。如果我们用拟线性偏好来建模，我们可以使用货币收入来衡量由于消费、闲暇时间或二者变化而导致的总效用增减。

拟线性：示例

拟线性效用函数的一个例子是：

\[u(t,\ c) = c+ \beta t^\alpha\]

其中 $\beta$ 和 $\alpha$ 是正常数，且 $\alpha < 1$。它符合一般形式 $v(t) + c$ ，其中 $v(t) = \beta t^\alpha$。为了证明它是一个如上所述的拟线性效用函数，我们必须证明函数 $v$ 在 $t$ 上是递增且凹的。可以轻松验证：

\[v'(t)= \alpha \beta t^{\alpha -1}\]

是正的，因为 $\beta$ 和 $\alpha$ 都是正的，且

\[v''(t)= (\alpha -1)\alpha \beta t^{\alpha -2}\]

是负的，因为 $\beta > 0$ 且 $0 < \alpha < 1$。

或者，也可以从无差异曲线的方程 $c = u_0 - \beta t^\alpha$ 出发，对其求导得到 $\frac{dc}{dt}$ 和 $\frac{d^2c}{dt^2}$。

练习E5.1 拟线性效用函数

对于每个效用函数，通过求导判断其是否为拟线性的，并计算MRS。

$u(t,c) = c + bln(t)$
$u(t, c) = c + \frac{1}{(1 + t)^{b}} \text{ 其中 } b \gt 1$
$u(t,c) = (ac^2 + (1-a)t^2)^{1/2}$

延伸阅读：马尔科姆·彭伯顿和尼古拉斯·劳的《经济学家需要掌握的数学：一本入门教材》的14.1节，17.1节和17.3节。Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.

第5单元 博弈规则：谁得到什么，以及为什么