第5单元 博弈规则：谁得到什么，以及为什么
5.5 制度与独立农民的情形
作为分析的起点，首先考虑基准情形——如果安吉拉自己拥有农场，她会如何选择——是很有帮助的。她会工作多少小时，又会消费多少谷物？然后，我们考虑布鲁诺拥有土地的三种不同制度环境。对于每种情形，我们确定谷物的总产量、安吉拉的工作时长，以及安吉拉和布鲁诺各自获得的谷物数量。接下来，我们将探讨不同博弈规则如何导致结果差异。
图5.6总结了不同情形下博弈规则的差异：
- 产权（property rights）
- 法律对所有权的保护，包括排除他人使用、从拥有的物品中获利和将其出售的权利。如果被法律体系保护，产权可能涵盖广义的商品，如干净的水、安全或教育。
- 安吉拉的工作时间如何决定：由她自己决定、由布鲁诺决定、还是双方通过协商决定。
- 安吉拉的替代选项（她的最佳替代方案）：尝试逃离布鲁诺的胁迫，接受其他工作。
- 政府的作用：执行布鲁诺对安吉拉的胁迫，保护安吉拉的人身自由但同时维护布鲁诺的产权，或者在一个民选政府的监督下促进双方协商。
| 独立农民 基准情形：安吉拉拥有土地 |
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|---|---|---|
| 安吉拉自己拥有土地，政府保护她的排除他人使用土地（或占有其产出）的权利。 安吉拉决定：工作多少小时，生产和消费多少谷物。 |
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| 土地所有者和农民 布鲁诺拥有土地，安吉拉耕种 结果取决于制度环境。 |
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| 情形1 强迫劳动 |
情形2 “要么接受要么拒绝”的合同 |
情形3 民主制度下的协商 |
| 博弈规则 | ||
| 布鲁诺可以强迫安吉拉为他工作，占有安吉拉生产的谷物。 布鲁诺决定：安吉拉必须工作的时间，以及她可以消费的谷物量。 安吉拉决定：服从，或尝试逃跑，或联合其他农民反抗（后两种情况均面临生命危险）。 |
布鲁诺向安吉拉提供一份合同（可能是雇佣合同，也可能是农场租赁合同），但合同的条款不可协商，安吉拉可以选择接受或拒绝。布鲁诺不能对安吉拉进行人身威胁，安吉拉可以拒绝合同并寻找其他工作。如有必要，政府将保护布鲁诺的产权，并执行合同。 布鲁诺决定：向安吉拉提供的合同内容。 安吉拉决定：接受或拒绝布鲁诺的合同。如果她接受租赁合同，她还要决定工作多少小时。 |
布鲁诺向安吉拉提供一份合同，安吉拉可以接受、拒绝或就合同条款进行协商。安吉拉和其他农民都有投票权，他们可以选举出一个政府，该政府通过立法限制最长工作时间，并规定最低工资标准，这一标准与她在情形2中本能获得的收入相等。 布鲁诺和安吉拉进行协商：安吉拉和其他人会投票以改善自身选项。然后，她和布鲁诺协商一份合同。 |
图5.6 不同制度环境下的博弈规则。
基准情形：独立生产者的私有产权
我们首先考虑安吉拉拥有土地并耕种的情形。她可以选择自己的工作时长，并消费自己生产的谷物。这个情形中没有其他角色——只有安吉拉，所以这不是一个社会互动，也不存在收入分配问题。
土地保有制度
个人或家庭对土地的所有是私人财产的一种形式，意味着所有者可以排除他人使用土地或享用其产品，并且可以自由出售或赠予该财产。私有产权是众多土地保有制度中的一种，即规定谁可以使用、购买或出售土地，以及这些行为可以在什么条件下进行的规则（成文的或非正式的）。除了私有产权外，其他形式的土地保有制度还包括：社区保有（例如，社区成员有权在公共牧场上放牧牲畜）；开放获取（特定权利未分配给任何人，任何人都不能被排除在外，如海洋和部分森林）；国家所有（产权被分配给公共部门的某个机构，如国家或地方政府）。
安吉拉的土地所有权意味着她可以排除他人使用土地或获取其产出。如有必要，政府将强制执行这一权利，对任何试图侵犯该权利的人进行处罚。
安吉拉作为独立生产者的决策
当安吉拉可以自主选择如何经营农场，并消费她生产的所有谷物时，她面临一个受约束选择问题，类似于我们在第 3 单元分析的卡里姆所遇到的问题。她想要在自由支配时间和消费组合的可行集中找到一个点，这个点能给她带来尽可能高的效用。
和卡里姆类似，她会选择可行边界达到最高可能无差异曲线的点。请通过研究图5.7找出她将生产多少谷物，以及她将享有多少自由支配时间。
图5.7 独立农民安吉拉在自由支配时间与谷物之间的选择。
可行边界
安吉拉的最优选择
效用最大时MRS = MRT
该图表明，安吉拉会选择A点，拥有16小时自由支配时间和46蒲式耳谷物。在该点她的取舍达到了平衡：她愿意在谷物和自由支配时间之间做出的取舍（她的MRS）等于她的技术限制她必须做出的取舍（MRT）。
思考这些取舍能让你从另一个角度理解为何这是安吉拉的最优选择。例如，假设她选择拥有超过16小时的自由支配时间。那么她的可行边界会更陡峭，而她的无差异曲线会比在A点时更平坦，所以MRT > MRS。这意味着她可以将1小时的自由支配时间转化为谷物，这些谷物比她愿意为失去1小时自由支配时间所接受的最少谷物还要多。因此，她可以通过减少自由支配时间来增加效用。同样地，如果她选择拥有更少的自由支配时间，即MRT < MRS，她可以通过增加自由支配时间并减少谷物来增加效用。
我们可以将A点处的自由支配时间和谷物组合视为安吉拉生活水平的衡量标准。图5.8总结了这一结果。
| 安吉拉的自由支配时间小时数 | 16 |
| 安吉拉的谷物蒲式耳数 | 46 |
| 布鲁诺的谷物蒲式耳数 | 不适用（布鲁诺不是此情形中的角色） |
图5.8 基准情形下的结果。
作为独立农民，这是安吉拉能实现的最好结果。在接下来的部分中，我们将逐一考虑布鲁诺拥有土地的三种情形。正如你可能预期的，当安吉拉为布鲁诺工作时，她的生活水平会下降。
问题5.2 选择正确的表述（多选题）
下图显示了安吉拉的可行边界和部分无差异曲线。根据这些信息，阅读以下陈述并选择正确的选项。
- 在B点，由于自由支配时间的边际效用递减，安吉拉的无差异曲线斜率（她的MRS）比A点更陡峭。
- 如果安吉拉沿着可行边界向右移动，远离B点，她的效用会增加，直到到达A点。例如，在12小时自由支配时间时，切割可行边界的无差异曲线比通过B点的无差异曲线更高（这条无差异曲线在图中未显示）。
- 谷物生产的机会成本是MRT。安吉拉愿意为额外1小时自由支配时间放弃的谷物数量由MRS给出。在B点，可行边界比IC3更平缓，这表明MRT < MRS。
- 安吉拉不会选择C点，因为现有技术无法实现该点。
扩展5.5 安吉拉的工作时间选择
在扩展5.4的基础上，我们使用微积分方法来求解受约束选择问题，分析具有拟线性偏好的独立农民安吉拉的工作时长选择问题。这些方法在扩展3.5中已有解释，建议在阅读本扩展之前重新阅读扩展3.5。我们将考虑一般情况以及一个具体示例。
作为独立农民，安吉拉将她的时间在工作和自由支配时间之间分配。她的工作产生一定数量的谷物（\(y\)），这些谷物也是她每天的消费。她每天的自由支配时间用\(t\)表示，每天消费的谷物蒲式耳数用\(c\)表示。
在扩展5.4中，我们解释了
- 安吉拉具有凸的拟线性偏好，因此她的效用函数可以写成：
其中，函数\(v\)是递增且凹的，她的边际替代率（MRS）是\(v'(t)\)。
- 她的谷物生产可行边界是：
其中，\(g(24 - t)\) 是她的生产函数，也是递增且凹的，她的边际转换率（MRT）是\(g'(24 - t)\)。
由于她可以消费她生产的所有谷物，因此\(c = y\)。所以她的消费可行边界也是\(y = g(24 - t)\)，同样有\(\text{MRT} = g'(24 - t)\)。
与3.5节中的卡里姆和3.7节中的学生一样，安吉拉面临一个受约束选择问题。
独立农民的受约束选择问题
在约束条件 \(c=g(24-t)\)下，选择 \(t\) 和 \(c\) 以最大化 \(u(t, c)\)。
这个问题可以通过扩展3.5中解释的两种方法中的任何一种来解决：通过应用条件 \(\text{MRT}=\text{MRS}\)，或者使用约束条件在目标函数 \(u\) 中替换 \(c\)，然后进行微分。无论哪种方法，一阶条件都给出方程：
\[v'(t) = g'(24-t)\]效用最大化的\(t\)选择必须满足此方程。一旦我们知道 \(t\)，就可以从约束条件中找到对应的 \(c\) 值：
\[c=g(24-t)\]一个例子
假设安吉拉的拟线性效用函数 \(u(t, c) = v(t) + c\) 中，函数 \(v(t)\) 为：
\[v(t) = 4\sqrt{t}\]通过微分，你可以验证这个函数是递增且凹的，符合凸的拟线性偏好的要求。
其次，假设安吉拉的生产函数为 \(y=2\sqrt{2h}\)，其中 \(h\) 是工作小时数。那么，她的可行边界方程为：
\[c = 2\sqrt{2(24-t)}\]同样，通过求导你可以验证可行边界是向下倾斜且凹的。边际转换率和边际替代率为：
\[\text{MRT} = -g'(t) = \frac{2}{\sqrt{48 -2t}}\ \text{ , } \quad \text{MRS} = v'(t) = \frac{2}{\sqrt{t}}\]一阶条件 \(\text{MRT} = \text{MRS}\) 为：\(\frac{2}{\sqrt{48-2t}}=\frac{2}{\sqrt{t}}\)，解得 \(t=16\)；对应的 \(c\) 值为 \(c=2\sqrt{48-32}=8\)。
图E5.4展示了这个例子的解。安吉拉选择每天工作8小时，拥有16小时的自由支配时间。她消费8蒲式耳谷物。
图E5.4 效用函数为 \(u=4\sqrt{t}+c\) ，可行边界为 \(c = 2\sqrt{2(24-t)}\) 的受约束选择问题的解。
从图中可以看出这是一个最大值点，但你可以通过计算二阶条件从数学上验证这一点。
关于一般情况的进一步讨论
在上面的例子中，一阶条件有一个解，且该解为最大值点。无论函数 \(v\) 和 \(g\) 的具体形式如何，这种情况是否总会发生？我们考虑三个问题：
1.可能存在多个解吗？
一般情况的一阶条件为：
\[v'(t) = g'(24-t)\]由于 \(v(t)\) 是凹函数，方程的左侧 \(v'(t)\) 是 \(t\) 的递减函数（一条向下倾斜的线）。并且由于 \(g\) 是凹函数，右侧是 \(t\) 的递增函数（向上倾斜）。如果两条线相交，它们只能相交一次，交点就是解。这表明，如果我们能找到一个解，那么它就是唯一的解。
2.我们能确定一阶条件有解吗？
函数 \(g\) 和 \(v\) 可能使得两条线在 \(t\) 的可行范围（即 \(t=0\) 到 \(t=24\) 之间）内不相交。在这种情况下，一阶条件没有可行解，安吉拉的最优选择要么是 \(t=0\)，要么是 \(t=24\)，取决于哪种选择给她更高的效用（这被称为“角点解”）。
虽然角点解在数学问题中可能发生，但在经济上通常不太有趣。如果我们发现独立农民安吉拉选择根本不工作，或者一直工作，这表明我们为\(v\) 或 \(g\)选择的函数并不是她效用或技术的合理表示。
3. 如果一阶条件有解，那么该解是最大值点吗？
从代入法中找到二阶条件最容易。目标函数的二阶导数为：
\[\frac{d^2u}{dt^2}= g''(24-t)+v''(t)\]由于 \(v\) 和 \(g\) 都是凹函数，\(g''\) 和 \(v''\) 都是负的，这个表达式对于所有 \(t\) 的值均为负。因此，一阶条件的解必为最大值点。
正是 \(v\) 和 \(g\) 的凹性使我们能够对上述第一个和第三个问题回答“是”。当我们用数学模型表示经济问题时，我们经常使用一般函数（而不是像例子中的特定函数），并对凹性和凸性做出假设以简化数学。但我们应该确保可以通过经济解释来证明这些假设的合理性。
练习E5.2 另一个例子
假设安吉拉的朋友也是一位农民，其生产函数为 \(c(t) = 100 \text{ ln } (25-t)\)，效用函数为 \(u(t,c)= c + 75 \text{ ln } (t)\)，其中 \(t\) 是每天的自由支配时间小时数，\(c\) 是谷物蒲式耳数。
- 使用两种方法（代入法和MRS=MRT）来确定安吉拉的朋友会选择多少自由支配时间和蒲式耳谷物。（两种方法应该得到相同的答案。）
- 绘制并标注如图E5.4所示的图来说明问题1的答案（对于 \(t\) = 1，…，24）。
延伸阅读：马尔科姆·彭伯顿和尼古拉斯·劳的《经济学家需要掌握的数学：一本入门教材》的17.1节—17.3节。Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
