第3单元 尽你所能：稀缺性、福祉与工作时长
3.7 收入效应和替代效应对工作及自由支配时间的影响
当我们使用受约束选择模型分析工资上涨的影响时（如3.6节中卡里姆的案例），我们发现人们的生活水平（在模型中用效用表示）总是提高的。然而，工作时长可能增加也可能减少，具体取决于两种相反效应中哪一种占主导地位。在本节中，我们通过另一个例子更详细地分析这两种效应，以便将它们区分开来。
设想你正在规划如何度过为期10周的大学暑假。你可以在当地的一家商店打工，日薪为90美元。但你也想要留出时间与朋友聚会、度假、预习新学年的课程。那么，在暑假期间你应该工作多少天呢？
我们假设，和卡里姆一样，你关心两种商品：凭借劳动所得实现的消费水平，以及可支配的空闲天数。由于你是为整个暑假做计划，这里我们关注的是你的总消费量和总自由支配时间，而非每日或者每周的平均值。
暑假总天数为70天。若日薪为\(w\)，你选择休息\(d\)天，则工作天数为\((70 − d)\)天，此时你的最大消费水平\(c\)由以下预算约束决定：
\[c = w(70 - d)\]图3.10展示了当日薪为90美元时，你的预算约束线和可行集。
预算约束线的斜率对应日薪水平：每增加1天闲暇，总消费将减少90美元。你的可行集是预算约束线下方的区域。你的问题与卡里姆的问题非常相似：自由支配时间与消费的边际转换率（即休息1天的机会成本）恒定且等于日薪水平，此处为90美元/天。
你会如何抉择呢？这取决于你的个人偏好，而偏好又会受到具体情境的影响。例如，如果你与家人同住且无需支付房租，那么收入对你的重要性可能低于那些需要支付房租的学生，你可能会更看重自由支配时间。而如果你需要用部分薪酬来支付下学期的消费开支，你可能会更愿意牺牲自由支配时间以换取更多的消费。对你来说，自由支配时间与消费的最优组合将位于可行边界所能达到的最高无差异曲线处。在图3.10中，我们绘制了典型形状的无差异曲线，请按照步骤来逐步找到你最偏好的组合。
| 工作天数 | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
| 空闲天数 | 70 | 60 | 50 | 40 | 30 | 20 | 10 | 0 |
| 消费量（美元） | 0 | 900 | 1,800 | 2,700 | 3,600 | 4,500 | 5,400 | 6,300 |
图3.10 闲暇与消费的最优选择
| 工作天数 | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
| 空闲天数 | 70 | 60 | 50 | 40 | 30 | 20 | 10 | 0 |
| 消费量（美元） | 0 | 900 | 1,800 | 2,700 | 3,600 | 4,500 | 5,400 | 6,300 |
预算约束线和可行集
| 工作天数 | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
| 空闲天数 | 70 | 60 | 50 | 40 | 30 | 20 | 10 | 0 |
| 消费量（美元） | 0 | 900 | 1,800 | 2,700 | 3,600 | 4,500 | 5,400 | 6,300 |
边际转换率
| 工作天数 | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
| 空闲天数 | 70 | 60 | 50 | 40 | 30 | 20 | 10 | 0 |
| 消费量（美元） | 0 | 900 | 1,800 | 2,700 | 3,600 | 4,500 | 5,400 | 6,300 |
你的最佳计划
如果你的无差异曲线形状与图3.10中的一致，那么你的最优选择就位于点A，即暑假中有34天自由支配时间，并在商店工作36天，总薪酬为3,240美元。
和卡里姆一样，你在权衡两种取舍关系：你的MRS，即你愿意用空闲天数换取额外消费的比率；以及你的MRT，即你实际能够将空闲天数转换为消费的比率，这等于你的每日工资。消费与自由支配时间的效用最大化组合位于预算约束线上的某一点，该点满足以下条件：
\[\text{MRS} = \text{MRT} = w\]当你正在考虑是否采取这一决策时，你收到了一封邮件：某位神秘的资助人愿意无偿赠予1,000美元供你自由支配（只需你提供银行账户信息）。你立刻意识到这将改变你的暑期计划。如图3.11所示，在任意空闲天数下，你的总收入（薪酬加神秘赠款）都较此前增加了1,000美元。因此，预算约束线整体上移了1,000美元，可行集得以扩展。新的预算约束方程变为：
\[c = 90(70 - d) + \text{1,000}\]
图3.11 额外收入对自由支配时间和消费选择的影响。
这笔额外的1,000美元收入并未改变你时间的机会成本：每增加1天自由支配时间，消费仍将减少90美元（即工资）。在新的情境下，你的最优选择位于点B，对应39天自由支配时间。点B位于无差异曲线IC3上，此时MRS等于90美元。从图中的无差异曲线可以看出，你在获得额外收入后并非只是简单地增加1,000美元的消费——实际上，你的消费增幅小于1,000美元，同时你还享受了更多的自由支配时间。然而，另一位具有不同偏好的学生可能并不会增加自由支配时间：如图3.12所示，当两条无差异曲线上各种自由支配时间水平所对应的MRS完全相同时，该学生将选择保持空闲天数不变，并增加1,000美元的消费。
图3.12 一个具有不同偏好的学生：消费提升时MRS保持恒定。
- 收入效应（income effect）
- 指个人收入增加对其商品需求量（即个人选择购买的数量）产生的影响，这种影响源于收入增加扩大了商品购买的可行集。当某种商品的价格发生变化时，这种变化会通过扩大或缩小可行集产生收入效应，同时还会引起替代效应。 参见：替代效应。
图3.11和图3.12展示了收入效应的典型案例：额外收入对自由支配时间选择的影响。在图3.11中，你的收入效应表现为正值——额外收入提高了你选择的自由支配时间水平。而对于图3.12中的学生而言，收入效应为零。经济学假设大多数商品的收入效应要么为正，要么为零，但不会为负，即收入增加不会导致你减少对自己看重的某种商品的消费水平。
- 替代效应（substitution effect）
- 指当商品价格发生变化时，由于该商品相对价格变化所导致的消费量变化。价格变化还会通过扩大或收缩可行集产生收入效应。 参见：收入效应。
这1,000美元赠款属于非工资收入，因此它仅具有收入效应。由于MRT未发生变化，因此并不会产生额外的工作激励，也不存在替代效应：自由支配时间的机会成本仍为90美元/天，你没有理由用更多的消费来替代自由支配时间。
你突然意识到，向这位神秘资助人提供银行账户信息存在风险（这可能是一场骗局）。遗憾之下，你决定坚持最初的计划，即在暑假期间工作34天。然而，意外之喜突然降临：你听说超市有一个空缺岗位，日薪高达130美元。此时，你的预算约束变为：
\[c = 130(70 - d)\]图3.13a 展示了当日薪从90美元提高到130美元时，预算约束线是如何发生变化的。此时，每放弃一天自由支配时间，消费可以增加130美元而非90美元，因此预算约束线变得更为陡峭。它围绕着点 (70, 0) 旋转——无论工资水平是多少，如果不参加工作，消费水平始终为零。此时你的可行集也随之扩大，并且效用最大化点移至D点：你仅在暑假期间享受30天空闲，但消费预算将达到5,200美元。于是，你立刻向超市提交了求职申请。
图3.13a 工资上涨对自由支配时间与消费选择的影响。
对比图3.11与图3.13a可见：当非工资收入增加时，你会选择减少工作的天数，而工资上涨（图3.13a）却使你决定增加工作天数。为何会出现这种差异？原因在于工资上涨带来的替代效应超过了收入效应：
- 可行集扩大，提高了你的潜在效用：在任意自由支配时间水平上，你都能够获得更高的消费预算。当自由支配时间不变时，你的MRS会随着收入提升而相应提高，这意味着你更愿意牺牲消费以换取额外的自由支配时间。这正是图3.11展示的收入效应机制：你对额外收入的反应是既增加消费，也增加自由支配时间。
- 预算约束线变得更加陡峭：自由支配时间的机会成本上升。换句话说，时间转换为收入的边际转换率（MRT）上升。这意味着你有了更多的动力去工作，并促使你减少自由支配时间。这便是替代效应，并且在图3.13a中，它超过了收入效应的影响。
我们可以利用图示更精确地量化收入效应和替代效应。工资上涨前，你位于无差异曲线IC2的A点；工资提高后，你能够达到无差异曲线IC4的D点。图3.13b展示了如何将从A点到D点的变化分解为两个效应的影响。
图3.13b 工资上涨对自由支配时间与消费选择的影响。
工资上涨
现在你可以达到更高的无差异曲线
如果自由支配时间的机会成本没有改变
收入效应
替代效应
收入效应与替代效应的总和
收入效应与替代效应
我们现在可以更精确地描述收入效应和替代效应。工资上涨会：
- 在任意自由支配时间水平下提高收入，实现更高的效用水平；
- 提高自由支配时间的机会成本。
因此，工资上涨对你的自由支配时间选择产生了两种影响：
- 收入效应（由于预算约束线向外移动）：如果自由支配时间的机会成本保持不变，额外收入本身所带来的影响；
- 替代效应（由于预算约束线的斜率即MRT上升）：给定新的效用水平，机会成本变化所带来的影响。
如图3.13b所示，对于这一典型形状的无差异曲线，替代效应总是负的：当自由支配时间的机会成本提高时，你会选择无差异曲线上MRS更高的点（即自由支配时间减少、消费增加）。工资上涨的总效应取决于收入效应和替代效应之和：在图3.13b中，负的替代效应大于正的收入效应，因此自由支配时间减少。
替代效应是否足以超过收入效应，取决于工作时间与消费之间相互替代的难易程度。对于正在决定如何度过暑假的学生而言，他们的时间安排较为灵活，因此更愿意在消费与自由支配时间之间进行替代。这一点会反映在其无差异曲线的形状上。即便工资水平的变化较小，也可能对他们的自由支配时间选择产生较大影响。
然而，对于一个家庭责任繁重的人来说，减少自由支配时间可能更为困难。在这种情况下，工资的小幅提升对他们增加工作时间的激励作用有限：此时替代效应较弱，收入效应更可能占据主导地位。
问题3.9 选择正确答案（多选）
图3.14描绘了时薪为15美元的工人关于每日消费与自由支配时间的可行集。
图3.14 时薪为15美元的工人的可行集。
阅读以下陈述，并选择正确的选项：
- 每增加1小时自由支配时间闲暇，工人的消费支出就会减少15美元，因此预算约束线的斜率为−15。
- 赠款将使预算约束线向外平行移动，因为在任意自由支配时间水平下，工人的消费水平均可增加60美元
- 工资下降将使预算约束线围绕着点（24，0）向内旋转。此时可行集缩小，并且工人无法重新达到原工资15美元时的效用水平。
- 工资下降虽然会降低自由支配时间的机会成本，但如果没有无差异曲线信息，我们无法确定工作时长会如何变化。它可能增加，也可能减少，具体取决于收入效应和替代效应的相对大小。
练习3.7 佐伊的问题：电影票涨价
在练习3.4中，你已经基于佐伊的预算（240英镑）以及电影票和外出聚会的价格（分别为10英镑和16英镑），确定了她在社交与娱乐活动上的最优选择。下图展示了她的预算约束线和一组可能的无差异曲线——在这一偏好下，她的最优选择为点A，即购买13张电影票和进行7次外出聚会。
假设她发现伦敦的电影票比英国其他地区更贵，价格为15英镑而不是10英镑。价格上涨使预算约束线围绕点（0，15）旋转——她仍然可以负担点（0，15）（即15次外出聚会），但如果将全部预算都用于购买电影票，她现在只能购买16张电影票。
- 佐伊的边际转换率如何变化？购买电影票的机会成本是增加还是减少了？
- 佐伊的购买力如何变化？她能够负担更多还是更少的社交与娱乐活动？
- 现在，C点是她的效用最大化选择。她的效用水平和电影票购买数量发生了怎样的变化？
- 请复制该图并绘制一条与IC2相切、斜率与原预算约束线相同的辅助线（标记切点为B点），以分解价格变动的收入效应与替代效应。
- 从A点移动到B点体现了收入效应：价格上涨降低了佐伊的购买力，相当于她的可支配收入减少了。这对她购买的电影票数量产生了何种影响？
- 从B点移动到C点体现了替代效应：即在新的效用水平下，电影票机会成本变化所带来的影响。这对她购买的电影票数量产生了何种影响？
- 你能解释为什么在佐伊和卡里姆的案例中，替代效应的影响方向一致，而收入效应的方向却相反吗？
扩展3.7 收入效应和替代效应的数理分析
在本节的核心部分，我们通过图示法对暑假期间的受约束选择问题进行了分析，并将工资变动的影响分解为收入效应与替代效应。此处，我们将运用扩展3.5所述的微积分方法求解这一问题，并使用数学工具分析工资或收入变动的影响。最后，我们还将介绍一种数值方法，用于将工资变动分解为收入效应和替代效应。
在本节的受约束选择问题中，你需要决定将70天暑假中的多少天用于工作。你的目标是在可行集内选择最优的消费水平\(c\)和自由支配时间\(t\)，以实现效用最大化。
为避免与微积分中的微分符号混淆，我们在此使用\(t\)表示自由支配时间，而不是\(d\)。
你的工资率为\(w\)，你可能还拥有一些非工工资收入\(I\)。
暑假期间的受约束选择问题
现在，你需要在约束条件\(c=w(70 - t) + I\)下选择\(t\)和\(c\)，以最大化\(u(t,c)\)。
我们假设你的偏好可以由以下效用函数表示：
\[u(t, c) = t(c+600)\]即使在数理分析中，绘制图示仍然有助于理解其经济学含义。图E3.4展示了在该效用函数下，当工资从96美元提高至150美元时，如何将收入效应与替代效应进行分解。虽然该效用函数与图3.13b中使用的效用函数不同（因此无差异曲线的形状和具体数值略有差异），但探讨的问题本质上是相似的。
图E3.4 工资从96美元升至150美元时，自由支配时间将由38天（A点）缩减至37天（D点）。
在图E3.4中，初始工资为96美元/天，并且没有非工资收入。此时你将选择点A，该点所对应的消费与自由支配时间组合实现了效用最大化。当工资上升至150美元时，最优选择移至点D。从图中可以看出，工资上涨的总效应是自由支配时间的小幅减少，并且这一变化可以分解为正向的收入效应和负向的替代效应。
我们现在通过数理方法证明这些结果。我们将：
- 求解该效用函数的受约束选择问题；
- 分析\(w\)和\(I\)变化对最优选择的影响；
- 计算在\(I=0\)时，工资从96美元增加到150美元对自由支配时间的影响；
- 将自由支配时间的变化进一步分解为收入效应和替代效应。
求解受约束选择问题
请记住，你的最优选择位于预算约束线上满足条件MRS = MRT的点。MRS为边际效用之比：
\[\text{MRS} = \left| \frac{\partial u}{\partial t} \left/ \frac{\partial u}{\partial c} \right.\right| = \frac{c+600}{t}\]而MRT等于工资\(w\)（可行边界斜率的绝对值）。因此，最优选择点\((t^*,\ c^*)\)满足以下联立方程组：
\[\begin{align} \frac{c+600}{t}&=w \\ c&=w(70-t)+I \end{align}\]使用第二个方程代替第一个方程中的\(c\)并求解\(t\)，可得：
\[t^*=35+\frac{I+600}{2w}\]将其回代至第一个方程可确定\(c^*\):
\[c^*=wt^*-600=35w+\frac{I-600}{2}\]为便于后续计算，需注意你在最优选择点处获得的效用水平为\(u=(c^*+600)t^*\)。根据联立方程的第一个方程\(c^*+600=wt^*\)，可将效用水平表示为仅包含 \(t^*\)的表达式：
\[\begin{align} u=w{t^*}^2 \end{align}\]\(w\)和\(I\)变化对最优选择的影响
上述方程表明，最优解\((t^*,\ c^*)\)——消费\(c\)与自由支配时间\(t\)的效用最大化组合——是工资 \(w\)与非工资收入\(I\)的函数。为分析\(w\)变动的影响，我们可以在保持\(I\)不变的情况下对\(w\)求偏导数。同理，在分析\(I\)变动的影响时，我们也可以采用类似的方法。
\(w\)上涨时：
首先考虑对自由支配时间的影响:
\[\begin{align*} t^*(w, I)&= 35 + \frac{I+600}{2w} \\ \Rightarrow \frac{\partial t^*}{\partial w}&= - \frac{I+600}{2w^2} \end{align*}\]偏导数的符号表明工资\(w\)的微小（无限小）提高对\(t^*\)的影响方向。在这个例子中，对于所有\(w\)和 \(I\>0\)的值，偏导数始终取值为负。由此可推断，对于该效用函数，任何程度的工资上涨都将减少自由支配时间。
对消费的影响：
\[\begin{align} c^{*}(w, I) &= 35w + \frac{I - 600}{2} \\ \Rightarrow \frac{\partial c^{*}}{\partial w} &= 35 \end{align}\]此偏导数对所有\(w\) 和\(I\)恒为正，因此工资上涨总会引起消费水平的提高。
\(I\)提高时：
同理将最优解对\(I\)求偏导：
\[\begin{align} t^{*}(w, I) &= 35 + \frac{I + 600}{2w} \Rightarrow \frac{\partial t}{\partial I} = \frac{1}{2w} > 0 \\ c^{*}(w, I) &= 35w + \frac{I - 600}{2} \Rightarrow \frac{\partial c}{\partial I} = \frac{1}{2} \end{align}\]对于所有\(I\)和\(w>0\)的取值，偏导数取值始终为正，因此非工资收入增加将同时提升自由支配时间与消费水平。
这些结论的一般性如何？
上述偏导数表达式仅适用于我们所假设的特定效用函数。但对于大多数符合常理的效用函数而言，收入增加通常会同时提升消费与自由支配时间，而工资上涨通常也会提升消费水平。然而，工资变动对自由支配时间的影响则取决于收入效应与替代效应之间的相对大小。
当\(I=0\)且工资从96美元升至150美元时自由支配时间的变化
在初始情况下，\(w=96\)，\(I=0\)。将该数值代入上述方程并求解，我们可以得到这一情形下的最优选择，对应图E3.4的A点：
\[t_A=35+600/192 = 38.125 \text{ 且 } c_A=35\times 96-300=3,060\]工资上涨后, \(w=150\)，\(I=0\)。最优选择为D点：
\[t_D=35+600/300 = 37 \text{ 且 } c_D=35\times 150-300=4,950\]工资上涨对自由支配时间的总效应是使自由支配时间从38.125天降至37天。
分解工资上涨对自由支配时间的总效应
工资上涨的总效应是使得自由支配时间减少：
\[t_D-t_A=37-38.125=-1.125\]我们将按照以下4个步骤对总效应进行分解：
1. 工资上涨后，你的效用水平是多少？
工资上涨后，你的最优选择位于点D，其中\(t_D= 37\)。你的效用水平为：
\[u_D=150t_D^2=205,350\]这对应图E3.4中通过D点的无差异曲线的效用水平。
2. 收入需要变化多少，才能产生与工资上涨相同的效用变化？
假设工资保持\(w=96\)不变，但是非工资收入从0增至\(J\)。此时最优自由支配时间为：
\[t=35+\frac{J+600}{192} \text {对应效用水平为} u=96t^2\]为达到与工资上涨情况下相同的效用水平（即图中的C点），需满足：
\[t_C=35+\frac{J+600}{192} \text {对应效用水平为} u_C=96t_C^2=u_D=150t_D^2.\]将上述\(t_C\)和\(t_D\)的表达式代入方程\(96t_C^2=150t_D^2\)，我们可以求解出\(J\)的值。首先请注意（由于数字是经过精心设计的）我们可以简化这个等式：
\[\begin{gather*} 96t_C^2=150t_D^2 \Rightarrow 16t_C^2=25t_D^2 \Rightarrow (4t_C)^2 = (5t_D)^2 \\ \text {因此：} \ 4t_C = 5t_D \end{gather*}\]（另一个可能的代数解，\(4t_C = -5t_D\)，没有经济学意义）代入\(t_C\)和\(t_D\)的表达式，并求解出\(J\)：
\[\begin{align*} 4 \left (35+\frac{J+600}{192}\right)&= 5\times 37 \\ \Rightarrow J&= 1,560 \end{align*}\]因此，当工资水平维持在96美元不变时，非工资收入需增加1,560美元才能达到与工资上涨至150美元时相同的效用水平。
3. 计算收入效应的大小
工资上涨的收入效应是指通过非工资收入增加（即获得额外收入\(J\) =1,560美元）来实现同等效用水平时，自由支配时间所发生的变化。这对应着A点与C点之间自由支配时间的变动：
\[\begin{gather*} t_A=38.125 \text{且} t_C = 35 + \frac{600+J}{192} =46.25 \\ \Rightarrow \text{收入效应}= t_C-t_A = 8.125 \end{gather*}\]因此，如果仅仅考虑时薪从96美元升至150美元的收入效应，你将选择增加8.125天的自由支配时间。
4. 计算替代效应的大小
然而，自由支配时间机会成本的上升将产生替代效应，这也会影响你的选择。随着拥有自由支配时间的成本升高，你会用消费替代部分自由支配时间。
由于工资上涨的总效应是收入效应与替代效应之和，并且我们已知总效应和收入效应的大小，因此可以很容易地推导出替代效应的大小：
| 总效应 | \(t_D-t_A\) | = 37 − 38.125 = −1.125 |
| 收入效应 | \(t_C -t_A\) | = 46.25 − 38.125 = +8.125 |
| 替代效应 | \(t_D -t_C\) | = −1.125 − 8.125 = −9.25 |
替代效应是指在保持效用不变的前提下，工资变动对自由支配时间选择的影响。
收入效应与替代效应对自由支配时间的影响方向相反
在我们的例子中，收入效应为正（工资上涨会增加自由支配时间），而替代效应为负。这一结论适用于绝大多数符合常理的效用函数。工资上涨对自由支配时间的总效应是正向还是负向的则取决于两种效应的相对大小。
前文已证明，对于效用函数\(u(t, c) = t(c+600)\)，工资上涨总会减少自由支配时间：\(\frac{\partial t^*}{\partial w}=-\frac{I+600}{2w^2}<0\)。但对于其他效用函数，我们将得到不同的结论。例如，如果\(u(t, c) = t(c-200)\)：
\[\begin{equation*} \frac{\partial t^*}{\partial w} = -\frac{I -200}{2w^2} \begin{cases} < 0 & \text{若} \ I > 200 \\ = 0 & \text{若} \ I = 200 \\ > 0 & \text{若} \ I < 200 \end{cases} \end{equation*}\]此时，当非工资收入\(I\)较低时，正向的收入效应占主导地位；而当\(I\)较高时，负向的替代效应占主导地位。
练习E3.5 收入效应与替代效应
假设你朋友的效用函数为\(u(t,c) = tc\)，其预算约束为\(c = w(24-t) + I\)。
- 当工资为16美元且\(I\)=160美元时，你的朋友会选择多少自由支配时间呢？此时对应的消费水平是多少？
- 当工资上涨至25美元，收入保持160美元不变时，你的朋友会选择多少小时用于自由支配呢？此时对应的消费水平是多少？
- 计算工资上涨对应的收入效应与替代效应（以自由支配时间的小时数衡量）。
延伸阅读: 马尔科姆·彭伯顿和尼古拉斯·劳的《经济学家需要掌握的数学：一本入门教材》14.1、17.1及17.3节。Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
