第5单元 博弈规则：谁得到什么，以及为什么
5.7 情形2：“要么接受要么拒绝”的合同
考虑安吉拉和布鲁诺的另一种情形。和情形1一样，布鲁诺拥有安吉拉耕种以生产谷物的土地。但在情形2中，政府通过由法庭审理裁决且由警察负责执行的各项法律，保护安吉拉不被强迫劳动，同时保护布鲁诺作为土地所有者的财产权。此外，法律系统将执行布鲁诺和安吉拉之间的合同。安吉拉的权利改善了她的替代选项：她在与布鲁诺的关系中拥有更大的结构性权力。
我们将考虑布鲁诺可以向安吉拉提供的两种合同：雇佣合同和租赁合同。这两种合同，都是“要么接受要么拒绝”的提议：安吉拉可以接受或拒绝。安吉拉有权说不，如果布鲁诺使用暴力或威胁使用暴力迫使安吉拉接受他的提议，他将受到政府的惩罚。他们的情况类似于最后通牒博弈中的自利玩家，布鲁诺是提议者，安吉拉是回应者。
契约及相关制度
契约是书面或口头协议，旨在通过法律强制执行。要使契约有效，双方必须自愿达成协议，且均需有所付出。例如，如果房屋所有者与油漆工签订合同，油漆工将被要求为房屋涂漆，而房屋所有者则被要求在合理的时间内（如合同中所规定）支付约定的费用。
契约在经济中发挥核心作用。解释各国经济增长历史差异的关键因素之一，是其制度在以低成本保障财产权和执行契约方面能力的差异。有效的契约执行需要一个运作良好的司法机构（即法院系统），该机构能够在合理的时间内解决案件，并且对公众来说是可预测和可及的。
第6单元和第9单元更详细地讨论了雇佣合同以及贷款人和借款人之间的合同。它们将研究一种重要情况，其中契约是不完全的，即合同没有涵盖对相关各方来说重要的所有事情，例如，雇员的工作努力程度，或借款人用所借资金承担的风险。在此，我们简化假设，假定安吉拉无法调整她的工作努力程度。
雇佣合同
在雇佣合同中，布鲁诺可以规定安吉拉的工作时长以及她将获得的工资（以蒲式耳谷物计）。这是一个“要么接受要么拒绝”的提议，因此她没有要求不同雇佣条款的选项。如果她拒绝，她将离开布鲁诺的土地并寻找其他工作。她的保留选项是她从这个备选方案中获得的效用。安吉拉在情形2中的保留选项比在情形1中好得多：她在其他地方找到工作的效用高于她试图反抗或逃跑时所能期望的效用。
图5.13显示了情形2中安吉拉的保留无差异曲线。它是IC2，位于代表她作为被强迫劳动者的无差异曲线IC1之上。
布鲁诺需要做出的决策与情形1中的相似：安吉拉应该工作多少小时，以及她应该获得多少谷物（这次作为工资）。不同之处在于她的替代选项更好。除非布鲁诺提供的合同能给安吉拉带来至少与IC2所示一样多的效用，否则她将拒绝。
图5.13 布鲁诺的雇佣合同提议。
安吉拉的保留无差异曲线
布鲁诺如何选择工资
布鲁诺将在IC2上选择一个配置
布鲁诺在MRS=MRT时利润最大
同样，布鲁诺将在安吉拉的保留无差异曲线上选择一个配置，其中安吉拉在保留无差异曲线上的MRS等于谷物生产的MRT。他提供一份合同，支付23蒲式耳换取8小时的工作。安吉拉生产了46蒲式耳谷物，因此布鲁诺也获得了23蒲式耳——比情形1中的少，因为安吉拉的替代选项更好。
布鲁诺在情形1和情形2中选择的工作时长是相同的，也与安吉拉作为独立农民时的选择相同。这之所以发生，是因为在我们的模型中，安吉拉的每一条无差异曲线在给定工作时长处的MRS都是相同的。如果她有不同的偏好，这种情况就不会发生。但无论是由安吉拉还是布鲁诺选择工作时长，他们总是在MRS=MRT的点上达到最优。
总剩余
- 贸易利得，从交换中获得的收益（gains from trade, gains from exchange）
- 交易各方相较于未交易情形时获得的收益。
- 总剩余（joint surplus）
- 联合剩余是指所有参与经济互动的个体所获得的经济租金总和。
当经济互动能为双方带来相较于其保留选项而言的潜在收益时，人们会自愿参与经济互动。换句话说，经济互动带来了经济租金或交换收益。在安吉拉和布鲁诺的互动中，存在经济租金：布鲁诺的保留选项是0蒲式耳谷物，而安吉拉通过耕种布鲁诺的土地能生产的谷物数量大于能给她带来保留效用的谷物数量。图5.13中可获得的经济租金总额是可行边界与安吉拉的保留无差异曲线之间的垂直距离。这部分额外的谷物就是互动带来的潜在总剩余。
当布鲁诺向安吉拉提供雇佣合同时，他会设定她的工作时长，使得MRS等于MRT。这是总剩余（垂直距离）最大化的点，为23蒲式耳。
通过设定工资，布鲁诺决定23蒲式耳的总剩余在他和安吉拉之间的分配，即他们各自获得多少经济租金。例如，他可以选择平分，自己拿11.5蒲式耳，给安吉拉34.5蒲式耳的工资（23蒲式耳用于她的保留效用，加上11.5蒲式耳的经济租金）。
由于安吉拉的经济租金为零，你可能会疑惑她是否真的愿意参与。但我们知道，如果她得到的稍微多一点，她就会愿意参与。为了避免反复说“安吉拉的工资是23蒲式耳谷物加上一点点”，我们假设如果她能获得她的保留效用，她就愿意参与。这是经济模型中的一个常见假设。
然而，布鲁诺是自利的，他想最大化自己的经济租金。而且他可以提出“要么接受要么拒绝”的提议——所以他拥有全部的议价能力。他将工资设定得尽可能低，在配置L，安吉拉只得到她的保留效用。安吉拉的经济租金为零，而布鲁诺获得了全部的总剩余：23蒲式耳的经济租金。
租赁合同
如果布鲁诺不是雇佣安吉拉，而是向她提供一份租赁合同：布鲁诺规定安吉拉必须支付的土地租金，并让她自己决定如何使用土地，会发生什么呢？
在这种情况下，看起来布鲁诺对安吉拉的权力减弱了。合同不允许他决定安吉拉的工作量。但布鲁诺仍然可以提出“要么接受要么拒绝”的提议，而且和之前一样，如果他能确保安吉拉获得的效用不超过她的保留效用，他的收益将最大化。
从图5.13中我们知道，在保留无差异曲线上的所有配置中，当安吉拉工作8小时时，布鲁诺获得的谷物最多。因此，他希望配置是L点，在雇佣合同下，他可以获得23蒲式耳谷物。
也许令人惊讶，他可以通过设定土地租金为23蒲式耳，在租赁合同下实现与雇佣合同完全相同的结果。图5.14展示了安吉拉此时面临的情况。她可以自由选择工作时长。虚线表示她能消费的谷物数量——比她生产的少23蒲式耳，具体取决于她选择的工作时长。她能达到的最高无差异曲线是IC2，这条曲线刚好与她的谷物消费边界在L点相切。
图5.14 安吉拉在租赁合同下的工作时长选择。
如果安吉拉必须支付23蒲式耳的土地租金，她最好的选择是工作8小时，并消费23蒲式耳谷物（L点）。这样她能获得保留效用，因此她愿意接受布鲁诺的提议。（任何其他的工作时长都会使她的效用低于保留效用。）布鲁诺为自己和安吉拉达成的结果与雇佣合同下的结果完全相同。
情形2中的经济租金与效率
在“要么接受要么拒绝”合同下，配置是L点，安吉拉有16小时的自由支配时间，她和布鲁诺都获得23蒲式耳谷物。与情形1相比，安吉拉拥有更好的外部选项，因此她的境况变好了：她的工作时长没有变，但收入提高了。
布鲁诺的经济租金低于情形1中的经济租金，因为情形1的博弈规则允许他使用暴力手段。尽管结果对安吉拉更有利，因为她拥有更多的结构性权力，但她仍然获得零经济租金，因为布鲁诺通过提出“要么接受要么拒绝”的提议，掌握了所有的议价能力。
帕累托标准无法对两个情形的结果进行排序：安吉拉在配置L处境况更好，而布鲁诺在情形1的配置D境况更好。这两种配置都是帕累托有效的。在配置L，没有任何改变能让布鲁诺或安吉拉的境况变得更好，而不让另一方的境况变差。为了理解这一点，我们可以使用与上一节中关于配置D相同的论证。
但是，如果你认为配置D的结果不公平，你可能会认为配置L，其中谷物在两人之间平均分配，应该被优先考虑。
考虑到规范双方互动的制度和结果的帕累托效率，安吉拉无法通过谈判将她的境况改善到超过配置L的境况。她提出的任何替代合同都会使布鲁诺的境况变差。
| 安吉拉的自由支配时间小时数 | 16 | |
| 安吉拉的谷物蒲式耳数 | 23 | |
| 布鲁诺的谷物蒲式耳数 | 23 | |
| 安吉拉的经济租金（蒲式耳） | 0 | 她得到的效用与最佳替代方案（在别处工作）相同。 |
| 布鲁诺的经济租金（蒲式耳） | 23 | 其最佳替代选项的效用是0（如果她拒绝他的提议）。 |
图5.15 情形2的结果。
问题5.4 选择正确的表述（多选题）
图5.13展示了安吉拉被强迫为布鲁诺工作（情形1）和安吉拉可以选择接受或拒绝布鲁诺的合同（情形2）时的结果。基于这些信息，阅读以下陈述并选择正确的选项：
- 布鲁诺的保留选项是一无所获。根据合同，布鲁诺获得全部剩余：超出能让安吉拉愿意去工作所需报酬的金额。所以这是他的经济租金。
- 布鲁诺在情形1中境况更好，而安吉拉在情形2中境况更好。
- 根据合同，布鲁诺提供的配置是安吉拉勉强愿意接受的。她在配置L和她的保留选项之间无差异，因此她的经济租金为零。
- 安吉拉在两种情况下的工作时长相同。
与情形1的强制劳动规则相比，情形2的博弈规则使安吉拉的境况更好，而布鲁诺的境况则更差。当然，在基准情形中，安吉拉的境况比情形1或情形2都要好，因为她拥有土地，可以消费自己生产的所有谷物。
扩展5.7 租赁合同的结果
在本节的正文中，我们证明了，布鲁诺向安吉拉提供雇佣合同时最偏好的结果，也可以通过提供租赁合同来实现。继续扩展5.4和5.5的分析，我们现在直接分析租赁合同，将其视为安吉拉和布鲁诺都面临的受约束选择问题，使用微积分来求解。我们同时考虑一般情况以及扩展5.5中讨论的示例。
土地所有者布鲁诺希望最大化他获得的谷物数量，而安吉拉的偏好和技术与扩展5.5（独立农民的情形）中相同。布鲁诺向安吉拉提供一份租赁合同，根据该合同，她支付租金\(c_0\)，以换取耕种土地的权利。
安吉拉的偏好由拟线性效用函数\(u(t, c) = v(t) + c\)表示，其中\(t\)代表她每天的自由支配时间小时数，\(c\)代表她每天消费的谷物蒲式耳数量，函数\(v\)是递增且凹的。她只在合同提供的效用至少达到她的保留效用水平（用\(u_0\)表示）时，才会接受合同。
生产谷物的可行边界\(y = g(24 - t)\)告诉我们，给定安吉拉的自由支配时间，她能生产多少蒲式耳谷物（\(y\)）。与之前一样，生产函数\(g(24 - t)\)是递增且凹的。但由于她需要支付租金，这不再是她的消费可行边界。
为了分析将会发生什么，我们首先确定如果安吉拉接受带有租金\(c_0\)的合同，她会选择工作多少小时。然后，我们将考虑合同提供的效用是否足够使她接受。最后，我们将确定布鲁诺在提供合同时设定的租金。
如果安吉拉接受合同，她支付给土地所有者布鲁诺租金\(c_0\)后，剩余可供消费的谷物数量为\(y - c_0\)。她会选择工作多少小时呢？她的受约束选择问题几乎与独立农民的情况相同，只是她的消费可行边界现在变为：
\[c= g(24-t) -c_0\]佃农的受约束选择问题
在约束条件 \(c = g(24 - t) - c_0\)下，选择 \(t\) 和 \(c\) 以最大化 \(u(t,\ c)\)。
我们将通过找到MRS和MRT来求解这个问题。由于\(c_0\)是常数（无论安吉拉如何选择，她都需要支付相同数量的租金），可行边界的斜率与之前相同：
\[MRT=g'(24-t)\]她的偏好没有改变，并且由于偏好是拟线性的，所以不依赖于她的消费\(c\)。她的无差异曲线的斜率为：
\[MRS=v'(t)\]因此，一阶条件与她是独立农民时相同：
\[v'(t) = g'(24-t)\]她将选择与之前相同的自由支配时间量，并生产相同数量的谷物。她对\(t\)的选择不依赖于租金\(c_0\)。但她的消费
\[c= g(24-t) -c_0\]将会更低。
发生这种情况的原因是，由于她的拟线性偏好，支付租金和降低消费并不影响她在消费和自由支配时间之间的MRS。
拟线性使得租赁合同相对容易分析。但我们可以使用本扩展中描述的方法来求解其他效用函数的问题。在扩展5.9中，我们将计算柯布—道格拉斯（Cobb–Douglas）效用函数情况下的MRS和MRT。MRS既依赖于\(c\)也依赖于\(t\)。因此，在这种情况下，向布鲁诺支付租金会影响安吉拉的自由支配时间和消费。
如果她有不同的偏好，支付租金可能使她更愿意放弃自由支配时间来提高消费。在这种情况下，她作为佃农选择的自由支配时间将与她作为独立农民时的选择不同。
我们将用\(t^*\)和\(c^*\)表示安吉拉在签订合同时将拥有的特定\(t\)和\(c\)值，即上述两个方程的解。那么，她将在且仅在合同至少提供她保留效用\(u_0\)时才接受合同，即：
\[u(t^*, \ c^*)\geq u_0, \text{ 或等价地 } u(t^*, \ g(24-t^*)-c_0)\geq u_0\]布鲁诺在提供合同时会设定什么水平的租金\(c_0\)？他只关心从安吉拉那里获得的谷物数量；他希望最大化租金，但同时也要确保安吉拉接受合同。因此，他也需要求解一个受约束选择问题。
土地所有者的受约束选择问题
在约束条件\(u(t^*, g(24 - t^*) - c_0) \geq u_0\)（其中\(t^*\)是安吉拉选择的自由支配时间水平）下，选择\(c_0\)以最大化\(c_0\)。
为了选择租金水平，布鲁诺需要预判安吉拉的行动，以及她在接受合同的条件下将获得的效用水平。然而这很简单，因为安吉拉有拟线性偏好，所以\(t^*\)不依赖于租金\(c_0\)。
在土地所有者的问题中只有一个变量需要考虑：\(c_0\)。布鲁诺希望\(c_0\)尽可能高。通过检查约束条件，并记住安吉拉的效用随消费增加而增加，这意味着她的效用必须尽可能低。因此，他应该选择\(c_0\)使得她仅获得她的保留效用。他的最佳选择是满足以下条件的\(c_0\)值：
\[u(t^*, \ g(24-t^*)-c_0)= u_0 \Rightarrow v(t^*)+g(24-t^*)-c_0=u_0 \Rightarrow c_0=g(24-t^*)-u_0\]我们使用一般函数\(v\)和\(g\)进行的分析为我们提供了一组方程，用于描述当安吉拉和布鲁诺都做到最好时，安吉拉的自由支配时间和消费以及布鲁诺的收入。现在我们将回到扩展5.5中使用的示例，我们可以完全求解这些方程。
一个示例
假设与之前（独立农民的情形）一样，安吉拉有拟线性效用函数\(u(t, c) = 4\sqrt{t} + c\)和生产函数\(y = 2\sqrt{2h}\)，其中\(y\)是产出，\(h\)是工作小时数。假设她的保留效用水平\(u_0\)是21。
当她需要支付租金时，她的可行边界方程为：
\[\begin{align*} c = 2\sqrt{2(24-t)} -c_0 \end{align*}\]根据上面的分析（但如果你愿意，可以再次验证）知道，她的MRS、MRT和自由支配时间的选择与之前相同：
\[MRS=MRT \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{48-2t}}=\frac{2}{\sqrt{t}} \Rightarrow t^*=16\]但相应的消费水平是：
\[\begin{align*} c^*=2\sqrt{2(24-t^*)} -c_0=8-c_0 \end{align*}\]且她的效用是：
\[\begin{align*} v(t^*)+c^*= 4\sqrt{16} + 8-c_0 = 24-c_0 \end{align*}\]布鲁诺对租金的最佳选择是给安吉拉她的保留效用。因此，它满足：
\[24-c_0=21 \Rightarrow c_0=3\]图E5.5显示了此示例的解。它相当于本节正文中的图5.14。配置A是安吉拉作为独立农民的选择，其中\(t = 16\)且\(c = 8\)。它是生产可行边界上MRS = MRT的点。并且它在她的保留无差异曲线上。
图E5.5 租赁合同下的结果。
作为佃农，她的消费可行边界因支付租金而向下移动。她选择该边界上MRS = MRT的点；由于她的偏好是拟线性的，她仍然选择\(t=16\)。布鲁诺通过设定租金使她获得保留效用，从而最大化自己的租金收入。他选择的租金是3蒲式耳谷物；这使安吉拉的可行边界向下移动，因此她能达到的最佳状态是位于其保留无差异曲线上的L点。
练习E5.3 土地所有者的问题
（注：本练习是练习E5.2中示例的延续。在开始本练习之前，您可能希望先解决练习E5.2中的示例。）
假设安吉拉的朋友现在是佃农，且其保留效用为200蒲式耳谷物。
- 假设土地所有者想要最大化他能向她收取的租金。土地所有者应该向她收取多少租金？
- 使用类似于图E5.5的图（其中\(t = 1,…,24\)）来绘制你的答案。
延伸阅读：马尔科姆·彭伯顿和尼古拉斯·劳的《经济学家需要掌握的数学：一本入门教材》的17.1节—17.3节。Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
