第10单元 市场机制的成败：私人决策的社会影响
10.2 污染的外部效应：私人成本与社会成本，私人收益与社会收益
- 外部成本、负外部性、外部不经济（external cost, negative externality, external diseconomy）
- 负外部效应指某一经济决策对他人产生的消极影响，决策者未将这一影响考虑在内。它可以描述为外部成本，负外部性或外部不经济。 参见：外部效应。
- 边际私人成本（marginal private cost，MPC）
- 生产者生产额外一单位产出的成本。为了强调它不包括生产给他人带来的外部成本，称为边际私人成本（而不是简单地称为边际成本）。 参见：边际外部成本，边际社会成本。
- 边际社会成本（marginal social cost，MSC）
- 边际社会成本是生产一单位额外产出的成本总和，包括生产者的成本（边际私人成本）以及给其他人带来的成本（边际外部成本）：边际社会成本=边际私人成本+边际外部成本。
- 边际外部成本（marginal external cost，MEC）
- 边际外部成本是指生产者之外的其他人因额外一单位产出所遭受的损失（如果有多人受到影响，则为这些成本的总和）。边际社会成本是边际外部成本和生产者承担的边际私人成本之和：边际社会成本=边际私人成本+边际外部成本。
我们首先以一个类似于马提尼克岛和瓜德罗普岛农药污染的案例为起点，诊断问题成因和制定解决方案。在这类案例中，商品生产造成了外部成本——污染。我们将以一座虚构的加勒比海小岛为背景进行建模，假设岛上使用一种名为“杀象灵”（Weevokil）的虚构农药种植香蕉，但这种农药污染了沿海水域，导致鱼类大量死亡。在该模型中，我们假设“杀象灵”并不会直接危害当地居民的健康，因此唯一的外部成本是农药使用对渔民生计的冲击。
- 外部效应，外部性（external effect，externality）
- 外部效应发生在某人的决策对他人带来利益或成本，而这些利益或成本未被决策者考虑在内时。外部效应也称为外部性。
这种现象被称为外部效应（有时也称为外部性），因为污染不会影响决定农药使用量的种植园主，却会影响并未参与决策过程的渔民。我们不妨设想：如果有一家公司同时拥有香蕉种植园和渔场，并通过雇佣渔民和销售渔获盈利，那么公司所有者在决定杀虫剂使用量时就会考虑其对下游的影响，在香蕉生意的盈利与渔业买卖的损失之间进行权衡。种植园与渔场的共同所有权能够实现外部效应的内部化；而当二者分属不同所有者时，外部性问题便会出现。
图10.1展示了使用“杀象灵”种植香蕉的边际成本。回忆一下，边际成本指的是增加一单位产出（此处为一吨香蕉）所带来的额外成本。
种植园主的边际成本被标注为边际私人成本（MPC）。该曲线向上倾斜，是因为随着土地利用强度的提高，每多生产一吨香蕉需要使用更多农药，导致边际成本上升。结合对图10.1的分析，我们可以进一步比较边际私人成本与边际社会成本（MSC）——后者还包含了渔民因水域受“杀象灵”污染而承担的成本。
图10.1 使用“杀象灵”种植香蕉的边际成本。
边际私人成本
边际外部成本
边际社会成本
总外部成本
由于香蕉生产存在负外部效应（即存在边际外部成本），因此香蕉生产的边际社会成本高于边际私人成本。当产量较低、“杀象灵”使用量较少时，外部损害也较小；但随着产量增加，外部损害将迅速加剧。
关于竞争性市场中企业为何会在边际成本等于市场价格时进行生产，详见8.4节的相关解释。
为了简化分析，我们假设大部分香蕉用于出口，并且全球香蕉市场是竞争性的，市场价格为每吨400美元。为了实现利润最大化，种植园主将选择产量，使得其边际成本（即边际私人成本）等于市场价格400美元。
图10.2表明，种植园的总产量将为80,000吨（A点）。图中的阴影区域表示渔业部门承担的总外部成本。尽管80,000吨产量能够使香蕉种植者的利润最大化，但由于未考虑这一外部成本，此时的产量水平并不是帕累托有效的结果。
图10.2 种植园主选择的香蕉产量。
为了理解这一观点，我们可以设想：如果种植园少生产1吨香蕉，会发生什么？渔民将获得275美元的收益，因为他们不再需要承受因生产第80,000吨香蕉造成的捕鱼收入损失。同时种植园主几乎不会有任何损失：虽然收入将减少400美元，但成本也会几乎同等下降，因为在80,000吨的产量下，边际私人成本同样为400美元。
因此，如果渔民能以某种方式将275美元收益中的一部分支付给种植园主，那么当香蕉产量降至79,999吨时，双方境况都能得到改善。
按照类似的逻辑，我们可以推导出：进一步减少产量可以使双方都获益更多。如果香蕉产量减少1吨，渔民获得的收益就是那1吨产量对应的边际外部成本（MEC），而种植园的损失则是原本可以从这吨香蕉中获得的盈余，即市场价格减去边际私人成本\(（P – \text{MPC}）\)。只要边际外部成本（MEC）大于种植园损失的剩余利润\(（P – \text{MPC}）\)，那么就有可能通过种植园减产和渔民向种植园支付一定收益，使双方的境况同时改善。
具体应该将产量减少到多少呢？根据上文推导：
\[\text{如果} P < \text{MEC + MPC，减少产量}\]由于MEC与MPC之和就是生产香蕉的边际社会成本（MSC），因此这一条件也可以等价地表示为：
\[\text{如果} P < \text{MSC，减少产量}\]帕累托有效（即无法在不使任何一方境况变得更差的前提下改善某一方处境）的产量水平是38,000吨（对应图10.2中的B点），此时：
\[\text{香蕉价格, } P = \text{生产的边际社会成本, MSC}\]在这一产量水平上，虽然渔业收入仍然受到污染的影响，但渔民愿意为减少污染而支付的最大金额已经不足以激励种植园主进一步减少产量。如果产量低于38,000吨，香蕉的边际社会成本（MSC）将低于其价格（\(P > \text{MSC}\)），此时反而应该增加产量。
小结：
- 种植园主将选择生产80,000吨香蕉，此时\(P=\text{MPC}\)。
- 帕累托有效的最优产量是38,000吨，此时\(P=\text{MSC}\)。
- 边际社会收益（marginal social benefit, MSB）
- No definition available.
香蕉的价格反映了消费者在全球市场上愿意为香蕉支付的金额，我们可以将其视为香蕉生产的边际社会收益（MSB）。因此，帕累托效率的实现条件是边际社会收益=边际社会成本（MSB=MSC）。
帕累托效率的实现条件
当且仅当生产与消费某种商品的边际社会成本等于边际社会收益，这一商品的资源配置才实现了帕累托效率。
在这一水平上，多生产一单位商品将使社会中部分成员承担的成本超过其他成员获得的价值；类似地，少生产一单位商品将使部分成员收益减少，超出其他成员因此减少的损失。
如果一家企业同时拥有种植园和渔场，那么其私人成本将包含农药对鱼类资源的影响。该企业将会选择生产38,000吨香蕉，此时其边际私人成本为400美元。
由“杀象灵”这类污染物所引发的负外部效应，有时被称为环境溢出效应。使用污染物能够带来私人收益，但同时也通过破坏环境给依赖环境资源的其他企业或家庭带来了外部成本。从社会整体来看，这是一种市场失灵现象：与帕累托有效的资源配置相比，污染物被过度使用，与之相关的商品（如本例中的香蕉）也被过度生产。
问题10.1 选择正确答案（多选）
一家工厂建在夜班护士的宿舍旁，每天生产120台机器人。由于生产过程噪声较大，护士们经常抱怨睡眠受到干扰。根据以上信息，请阅读下列陈述并选择正确的选项：
- 边际私人成本指的是工厂每多生产一台机器人所产生的成本，而不是总成本。
- 该陈述描述了边际外部成本。边际社会成本是多生产一台机器人给工厂和护士带来的总成本，即：MSC = MPC + MEC。
- 边际外部成本是工厂每多生产一台机器人给护士带来的噪音成本。
- 总外部成本是生产所有机器人过程中产生的边际外部成本之和，即机器人生产给护士带来的总成本。
扩展10.2 污染的外部效应
本扩展内容进一步解释了正文部分推导过程所依托的基本模型。借助微积分工具和拟线性假设，我们将从种植园主利润和渔民偏好中推导出边际成本，并论证种植园主的私人产量选择无法实现帕累托效率。
第二部分将这些结论进行了推广（数学推导更为复杂）。在拟线性假设成立的情形下，帕累托有效的产量水平是唯一的；而在不假设拟线性的情形下，可能存在多个帕累托有效的产量水平，具体取决于双方的收入状况。但无论是哪种情况，私人决策都无法实现帕累托效率；并且通过调整产量并进行货币转移支付，双方境况都可以得以改善。
图E10.1（图10.2的复现）展示了香蕉生产活动的边际私人成本与边际社会成本曲线。当种植园主仅基于私人成本来确定产量时，市场均衡点位于A点，此时并未实现帕累托效率。而在B点，香蕉的边际社会成本等于国际市场价格，该点对应了帕累托有效的状态。
图E10.1 种植园主关于香蕉产量的选择。
这是分析外部效应时的一种广泛使用的方法，尤其适用于理解污染等环境问题。不过这种方法高度依赖于一个关键前提，即那些受污染影响的企业或消费者具有拟线性偏好。
关于拟线性偏好的详细讨论，请参阅第5单元（特别是扩展5.4）。如前所述，拟线性偏好是一个有效的简化假设，因为它使我们能够用货币收入来度量效用（收益与成本）。拟线性效用函数的一般形式为：
\[u(m, x)=m+f(x)\]其中，\(x\)代表某种商品（也可以是对效用存在负面影响的“有害品”），\(m\)代表个人用于购买其他商品的收入。该函数是关于变量\(m\)的线性函数，并具有一个重要特性：商品\(x\)的边际效用与收入水平无关：
\[\frac{\partial u}{\partial x}=f'(x)\]换言之，由于收入的边际效用恒为1，个人在收入与商品\(x\)之间的边际替代率（MRS）仅取决于\(x\)的数量，而与收入水平无关。
举例来说，如果\(x\)表示某城镇的空气污染程度，并且所有居民拥有相同的拟线性效用函数，那么每单位污染对居民的边际效用将为负值，但居民在污染与收入之间的边际替代率不会因其贫富差异而有所不同。然而，这一假设在现实中是值得质疑的：我们有理由相信，富人更愿意为改善空气质量而放弃一部分收入。
“杀象灵”模型中的偏好、利润与帕累托效率
在我们的“杀象灵”模型中，我们实际上采用了拟线性偏好的设定，假设种植园主和渔民只关心“杀象灵”对香蕉种植和捕鱼利润的影响。对于这两类群体，他们的效用仅取决于最终获得的货币净收益，因此我们可以将他们的收益表示为拟线性形式。
首先来思考渔民究竟关心哪些因素。他们的生计依赖于捕鱼获得的利润，而这又会受到香蕉种植所带来的污染的影响。我们可以将渔民的效用函数记作两部分之和：一部分与香蕉产量𝑄有关，另一部分则与其无关：
\[u(m_f, Q)=m_f -C_e(Q)\]其中，\(C_{e}(Q)\)表示香蕉种植园对渔民造成的成本，即香蕉生产所带来的外部成本；\(m_f\)表示渔民的其他收入，包括所有与\(Q\)无关的净收入。我们假设\(C^{\prime}_e(Q)>0\)，这意味着随着\(Q\)的增加，渔民的效用会下降，换句话说，对渔民而言，香蕉是一种“有害品”。
为了简化分析，我们假设岛上只有一位种植园主，由其单独决定香蕉的产量\(Q\)。请注意，由于香蕉以国际市场价格\(P^W\)出售，种植园主是价格接受者而非垄断者，因此这一假设不会影响分析结果，只是省去了分别求解各个种植园的利润最大化产量再加总的步骤。我们用\(C_{p}(Q)\)表示种植园生产香蕉的私人成本。与前文类似，我们也引入其他收入项\(m_p\)，代表种植园主获得的所有其他净收入。种植园主的总收益函数可以表示为：
\[y(m_p, Q)= m_p + (P^W Q-C_p(Q))\]接下来，我们可以将模型中的各个要素与图E10.1中的情形进行对应。国际市场上香蕉价格\(P^W\)为400美元。种植园主种植香蕉的边际私人成本为：
\[\text{MPC} = C^{\prime}_p(Q)\]图中MPC曲线随着\(Q\)的增加而上升，对应的数学性质为\(C_p''(Q) > 0\)。香蕉生产的边际外部成本，即渔民承担的边际成本为：
\[\text{MEC} = C^{\prime}_e(Q)\]香蕉生产的边际社会成本则为上述二者之和：
\[\text{MSC}=\text{MPC}+\text{MEC} = C^{\prime}_p(Q) + C^{\prime}_e(Q)\]因此，图中MSC曲线位于MPC曲线之上。我们还假设MEC也随\(Q\)增加而上升\(C_e''(Q)>0\)，因此MSC曲线呈上升趋势且比MPC曲线更为陡峭。
香蕉产量的私人决策并非帕累托有效
种植园主会选择使自身利润最大化的香蕉产量\(Q\)。对其收益函数求导并令导数等于零，可得利润最大化的产量\(Q_p\)，这一产量将满足如下一阶条件：
\[\begin{align*} \frac{\partial y}{\partial Q} = P^W-C^{\prime}_p(Q)&=0\\ \Rightarrow P^W&=C^{\prime}_p(Q_p) \end{align*}\]这对应着图E10.1中的A点。在该点，边际私人成本等于国际市场价格\(P^W\)，也即香蕉种植的边际社会收益。进一步检验二阶条件，由于\(-C_p''(Q)<0\)，可以确认A点确实是利润最大化点。
在本节正文部分的分析中，我们已经论证过，A点对应的产量水平\(Q=Q_p\)并非帕累托有效，因为在该点处仍然存在实现帕累托改进的可能性。我们可借助数学方法进一步说明：假设产量出现微量（无穷小）增加，此时种植园主相应的利润变化为：
\[\frac{\partial y}{\partial Q} = P - C^{\prime}_p(Q_p)\]该式表明（在产量出现微量变动的情况下）利润变化为零。然而，对渔民来说，其效用变化为：
\[\frac{\partial u}{\partial Q} = - C^{\prime}_e(Q_p) < 0\]反过来，如果\(Q\)出现微量减少，影响效应的方向逆转，渔民的境况将改善\(C^{\prime}_e(Q_p)>0\)，而种植园主的收益仍保持不变。如果渔民愿意向种植园主支付一笔金额\(\tau\)（收入转移），以换取产出\(Q\)的小幅减少，且支付金额满足\(0<\tau< C^{\prime}_e(Q_p)\)，那么，双方处境都会改善：
- 种植园主获得的收益=\(\tau\)
- 渔民获得的收益=\(C^{\prime}_e(Q_p)- \tau\)
如果我们将同样的分析思路应用于B点的情形，即边际社会成本等于价格\(C^{\prime}_p(Q) +C^{\prime}_e(Q) = P^W\)，则可以发现当产量\(Q\)发生微小变化时，一方增加的收益恰好等于给另一方带来的损失。因此，获益方无法通过转移支付来补偿损失方，同时使自己处境更好。这表明该点达到了帕累托有效的状态。
需要注意的是，无论是上述数学推导，还是正文中基于图示的分析，都建立在拟线性偏好的假设上。如果没有这一假设，渔民在接受或支付转移支付时，其承受的边际外部成本也会随之改变，进而导致边际社会成本曲线位置发生变化。此时图示分析方法将无法帮助我们识别帕累托有效的资源配置状态。
练习E10.1 比较私人决策与帕累托有效的结果
某高端玩具制造商的成本函数为：\(C(Q) = 2Q^2 + 2Q + 5\)，其中𝑄表示玩具的产量。玩具生产会带来环境污染，污染成本为：\(\frac{1}{6}Q^3 + \frac{1}{2}Q^2\)。高端玩具的国际市场价格为每件50美元。
- 制造商会选择生产多少单位的玩具？请在该产量水平下，分别计算制造商获得的利润及其造成的环境污染成本。
- 请绘制一张图，描绘玩具生产的边际私人成本、边际外部成本和边际社会成本曲线。
- 哪一产量水平是帕累托有效的？请说明理由。
- 假设有一位关心环境污染的慈善家愿意向制造商支付一定金额，使其愿意将产量减少至帕累托效率水平。请问她需要支付多少金额才能完全补偿制造商的损失？在这种情况下，环境污染成本将降低多少？
寻找帕累托有效的资源配置
如果在不使任何人境况变得更糟的情况下，至少有一人境况可以变得更好，那么这种资源配置就是帕累托有效的。寻找帕累托有效的资源配置的一种通用方法是考察在保持其他人效用水平不变的前提下，能否通过重新分配商品使某个人的效用提高。此时，能够最大化该个体效用的资源配置状态便是帕累托有效的。
在我们的模型中，每个人关心的只有两件事：某种特定商品或“有害品”的数量，以及其他收入。因此，重新配置资源就意味着在受影响群体之间重新分配这两种事物。
具体而言，我们考虑是否可以在维持一方收益不变的情形下，通过调整香蕉产量并在渔民与种植园主之间进行收入转移，使另一方（渔民或香蕉种植者）的收益最大化。为了回答这个问题，我们可以求解以下有约束选择问题。其中，\(\tau\)表示渔民向种植园主支付的货币转移金额。需要注意的是，\(\tau\)也可能取值为负，这意味着由种植园主向渔民支付补偿。
帕累托效率问题：拟线性情形
选择\(\tau\)和\(Q\)，以最大化目标函数：\(m_f^0 - \tau - C_e(Q)\)，约束条件为：\(\tau + P^W Q-C_p(Q)=y_0\)。
求解这一优化问题的目的是：在种植园主收益给定（\(y_0\)）的前提下，求出能够使渔民效用（\(u\)）最大化的\(\tau\)和𝑄的取值。在这里，\(m^0_f\)表示当𝑄和\(\tau\)均为零时渔民的收入水平，也就是不进行香蕉生产时渔民的收入。同时，为简化推导，我们假设种植园主在这一情形下没有任何其他收入（这一假设不会影响最终结论）。
如果我们在\(y_0\)所有可能的取值下重复求解这一优化问题，就能得到所有帕累托有效的资源配置状态。使用代入法可以简化求解过程。首先，将约束条件整理为：
\[\tau =y_0 - P^W Q + C_p(Q)\]将其代入渔民的效用函数，可以得到只与\(Q\)有关的目标函数（即我们希望最大化的函数）：
\[u=m_f^0 - y_0 +P^WQ - C_p(Q) - C_e(Q)\]对\(Q\)求导，得到一阶条件：
\[\begin{align*} \frac{du}{dQ} = P^W - C^{\prime}_p(Q) - C^{\prime}_e(Q) &= 0 \\ \Rightarrow C^{\prime}_p(Q) + C^{\prime}_e(Q)& = P^W \end{align*}\]该一阶条件表明，在任意帕累托有效的资源配置下， \(Q\)必须满足：
\[\text{MPC} + \text{MEC} = P^W\]也就是说，边际社会成本等于边际社会收益。在我们对成本函数的假设下，你可以自行验证其二阶条件同样成立。因此帕累托有效的\(Q\)值是唯一的，即为图E10.1中B点对应的产量，我们记作\(Q^*\)。
那么，所需的转移支付\(\tau\)应该是多少呢？将帕累托有效的产量\(Q^*\)代回到之前的约束式中，可以得到：
\[\tau^* =y_0 - P^WQ^* + C_p(Q^*)\text{ or equivalently } y_0 =\tau^* + P^W Q^* - C_p(Q^*)\]因此，所需的转移支付必须确保在\(Q=Q^*\)的产量水平下，种植园主从香蕉种植中获得的利润与这笔转移支付的加总额恰好等于预设的收益水平\(y_0\)。转移支付的具体金额取决于\(y_0\)，可能是正值，也可能是负值。
总结来说，在本模型中，帕累托有效的香蕉产量必须是\(Q=Q^*\)，该产量水平与个体获得的其他收入无关。并且也不受种植园主预设的收益水平\(y_0\)的影响。任何特定的\(y_0\)都可以通过渔民与种植园主之间的转移支付实现。
换句话说，收入水平并不影响香蕉生产的帕累托效率（尽管收入对于相关各方都非常重要）。这一性质正是拟线性偏好假设所带来的直接结果。每个人都只关心自身货币收益的最大化，而香蕉生产的边际成本不会随着收入变化而改变。
你可能会好奇，为什么我们将帕累托效率问题表述为“在给定种植园主收益水平的前提下最大化渔民效用”，而不是反过来？实际上，如果在给定渔民效用水平的前提下最大化种植园主的收益，最终得到的结论将完全一致。
帕累托改进
我们可以利用这一方法来分析：如何从任何特定的初始资源配置出发，达到一个帕累托有效的配置，使每个人的境况都得以改善。
假设初始配置是种植园主自主选择的产量（图E10.1中的A点， \(Q=Q_p\)）。此时，种植园主的收益为：
\[y_0= P^W Q_p - C_p(Q_p)\]针对这一\(y_0\)值，求解有约束的选择问题，我们可以发现：如果将香蕉产量减少至\(Q^*\)，并且由渔民向种植园主支付一笔补偿（补偿额恰好等于种植园主因减产而损失的利润），那么就可以在不降低种植园主收益的前提下，使渔民的处境得到最大程度的改善。这既是帕累托有效的资源配置结果，也是一个帕累托改进的方式。
另一种情形是，设想如果没有“杀象灵”，香蕉根本无法种植；而农药的使用又必须得到渔民的同意。在没有达成协议的情况下，种植园主的收益为零。此时，设\(y_0=0\)，求解同样的最优化问题可得：\(Q=Q^*\)，\(\tau^*= - (P^W Q^*-C_p(Q^*))\)。这意味着种植园主在生产Q^*^单位香蕉后，将其全部利润转移给渔民。这同样是一个帕累托有效的资源配置状态，并且是一种帕累托改进方式。
在这两个例子中，种植园主的收益水平并未改变。但通过设定一个（相比初始状态）更高的\(y_0\)值，我们就可以找到使双方境况都得到严格改善的帕累托有效配置结果。
如果偏好不是拟线性？
虽然“帕累托有效产量唯一”这一结论依赖于拟线性偏好的假设，但即使在更一般的情况下，种植园主依据私人利益选择的产量\(Q\)通常也无法实现帕累托效率。在更一般的模型中，假设渔民的效用函数为：
\[u(m_f, Q) \text{，其中} \frac{\partial u}{\partial m_f}>0 \text{且} \frac{\partial u}{\partial Q} < 0\]和之前一样，香蕉生产造成的边际外部成本可以表示为\(-\frac{\partial u}{\partial Q}\)，即\(Q\)每增加一个单位，给渔民造成的边际效用损失。但在一般情况下，它将是与\(m_f\) 和\(Q\)都相关的函数：
\[\text{MEC} = -\frac{\partial u}{\partial Q}(m_f, Q)\]换句话说，边际外部成本可能随着渔民其他收入水平的高低而有所变化。
那么，这种变化对我们的分析有何影响？前文介绍的寻找帕累托有效配置的方法本身是通用的——即使偏好不是拟线性的，该方法依然适用。此时，对应的受约束选择问题如下方专栏所示。
帕累托效率问题：一般情形
选择\(\tau\)和\(Q\)，以最大化渔民的效用函数：\(u(m_f^0 - \tau, Q)\)，约束条件为：\(\tau + P^W Q-C_p(Q)=y_0\)。
与之前类似，我们仍可以使用代入法求解该问题，但在求导步骤上需要更加谨慎。将\(\tau =y_0 - P^W Q + C_p(Q)\)代入渔民的效用函数后，可以将目标函数写为：
\[u(m_f, Q) \text{，其中} m_f= m_f^0 - y_0 +P^W Q - C_p(Q)\]需要注意的是，在这里，效用函数𝑢的两个自变量都与\(Q\)相关。对目标函数求导（并对第一个自变量应用链式法则），可得一阶条件：
\[\begin{align*} \frac{du}{dQ} =\frac{\partial u}{\partial m_f}\frac{dm_f}{dQ}+ \frac{\partial u}{\partial Q}&= 0 \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial m_f}(P^W - C^{\prime}_p(Q)) + \frac{\partial u}{\partial Q}&= 0 \end{align*}\]同样，帕累托有效的配置\((Q,\tau)\)必须满足上述一阶条件，并且转移支付\(\tau =y_0 - P^W Q + C_p(Q)\)。但请记住，在这个一般情形下，一阶条件中的偏导数与\(Q\)和\(m_f\)均相关。因此，此时帕累托有效的产量\(Q\)和转移支付\(\tau\)都会随我们设定的\(y_0\)值而发生变化。
综上所述，对于不同的\(y_0\)值，存在着一组不同的帕累托有效配置\((Q,\tau)\)。
在第5单元，安吉拉与布鲁诺互动的模型也出现了类似的结果。当安吉拉在谷物与自由支配时间之间的偏好具有拟线性特征时，只存在唯一的帕累托有效的自由支配时间水平（满足条件MRS=MRT），而且该水平与她实际获得多少谷物无关。但在扩展5.9中，我们论证了如果安吉拉的偏好不是拟线性的，就会存在一系列不同的帕累托有效配置，对应着不同的谷物-自由支配时间组合。
即便存在多个帕累托有效配置，我们仍可以利用前文推导的公式证明：种植园主私人所选择的香蕉产量\(Q\)并不是帕累托有效的。在\(Q=Q_p\)时，有：
\[P^W=C^{\prime}_p(Q) \Rightarrow \frac{dm_f}{dQ}=0\]因此，此时目标函数的导数为：
\[\frac{du}{dQ} =\frac{\partial u}{\partial Q} <0\]这表明，在\(Q=Q_p\)时，帕累托效率的一阶条件无法成立。种植园主在决策时只考虑自身利润，并未考虑其行为对渔民造成的负面影响。
进一步，通过分析其二阶导数，我们还可以得出结论：种植园主选择的产量\(Q_p\)总是偏高的。你可以自行验证，只要边际外部成本随着产量\(Q\)增加而上升（如拟线性模型中的假设），那么在\(Q_p\)点必有：\(\frac{d^2u}{dQ^2}<0\)。而且，由于\(Q_p\)处\(\frac{du}{dQ}\)<0，要使帕累托效率的一阶条件成立，就必须减少产量。
