第5单元 博弈规则：谁得到什么，以及为什么

扩展5.9 帕累托效率曲线

安吉拉和布鲁诺之间的互动产生了许多可行的配置；例如，我们考虑了布鲁诺能够使用强迫手段的配置，以及他在能够提出“要么接受要么拒绝”的合同时选择的配置，在这个合同中安吉拉可以耕种土地，但需以生产的部分谷物作为租金支付给布鲁诺。在本扩展中，我们通过数学方法计算帕累托有效配置的集合：即帕累托效率曲线。

帕累托有效，帕累托效率（Pareto efficient，Pareto efficiency）

如果不存在替代的可行配置在不使任何人境况变坏的情况下，使至少一个人变得更好，那么这种配置是帕累托有效的。

如果某个配置不被任何配置帕累托占优，即不存在替代的可行配置在不使任何人境况变坏的情况下，使至少一个人变得更好，那么这个配置是帕累托有效的。为了确定安吉拉和布鲁诺之间的帕累托有效配置，我们首先考虑他们的偏好，即什么会让他们境况变好。

如之前的扩展所述，安吉拉的偏好由拟线性效用函数\(u(t, c) = v(t) + c\)表示，其中\(t\)表示她每天的自由支配时间小时数，\(c\)是她的谷物消费，函数\(v\)是递增且凹的。生产谷物的可行边界是\(y = g(24 - t)\)，其中\(y\)是生产量，\(g\)是递增且凹的生产函数。

布鲁诺的偏好非常简单。他只关心他收到的谷物数量，我们称之为\(b\)。\(b\)的值越高，布鲁诺的境况就越好。

安吉拉和布鲁诺互动的可能结果是：布鲁诺获得\(b\)蒲式耳谷物，安吉拉获得\(c\)蒲式耳谷物和\(t\)小时自由支配时间。给定生产技术，所有潜在配置\((b, c, t)\)必须满足：

\[c+b \leq g(24-t)\]

这些是谷物总消费量小于或等于生产量的配置。我们还假设\(c \geq 0\)和\(b \geq 0\)。

找到帕累托有效配置的一种方法是说：“假设我们选取一个配置，其中布鲁诺获得谷物数量\(b \geq 0\)。那么，在布鲁诺的谷物数量给定的情况下，当且仅当安吉拉的境况尽可能好时，该配置是帕累托有效的。”

为了使安吉拉在布鲁诺获得\(b\)时境况尽可能好，她必须消费剩余的所有谷物：\(c + b = g(24 - t)\)。因此，我们可以通过求解受约束选择问题找到帕累托有效配置。

我们通过代入法解决这个问题。将\(c = g(24 - t) - b\)代入目标\(u(t, c) = v(t) + c\)，我们只需：

\[\text{选择 }t \text{ 以最大化 }v(t) + g(24-t) -b\]

然后，对\(t\)求导并令导数为零，得到一阶条件：

\[v'(t) =g'(24-t)\]

一阶条件是我们在扩展5.5中讨论过的。\(v\)和\(g\)是凹函数的假设，意味着它最多有一个解。我们假设存在一个解；因此，消费由\(c = g(24 - t) - b\)给出。

\[c=g(24-t)-b\]

记住，\(v'(t) = \text{MRS}\)和\(\text{MRT} = g'(24-t)\)；一阶条件是熟悉的等式\(\text{MRT} = \text{MRS}\)。

我们求解的问题是，如果布鲁诺要求租金为\(b\)，安吉拉可以为自己选择\(c\)和\(t\)时会解决的问题。在这里我们已证明，为所有可能的\(b\)的取值求解这个问题，可得帕累托有效配置的集合。

总的来说，配置\((b, c, t)\)是帕累托有效的，当且仅当\(\text{MRS} = \text{MRT}\)，且\(c + b = g(24 - t)\)。

绘制帕累托效率曲线

上述分析表明，对于\(b\)（布鲁诺的谷物）的每个可能值，安吉拉都有对应的结果\((c, t)\)，使得分配\((b, c, t)\)是帕累托有效的。对于\(b\)在0和\(g(24 - t)\)之间的每个值，可以通过对应的\((c, t)\)来绘制显示整个帕累托配置集合的帕累托效率曲线。

图E5.6显示了扩展5.5和5.7中示例的生产可行边界和安吉拉的无差异曲线，其中\(u(t, c) = 4\sqrt{t} + c\)且\(g(24 - t) = 2\sqrt{2(24 - t)}\)。

效用函数是拟线性的，所以我们知道对于给定的\(t\)值，所有无差异曲线都有相同的斜率。这意味着（如之前的扩展所示），一阶条件的解是\(t = 16\)——无论\(c\)和\(b\)的值是多少。因此，所有帕累托有效的配置位于\(t = 16\)的垂直线上，总产量是8蒲式耳谷物。

为了找到所有帕累托有效的配置，我们首先考虑当布鲁诺的份额 \(b=0\) 时的情况：它位于垂直线上安吉拉消费所有产出谷物的点，也就是点 P₁，此时 \(c=8\)。如果布鲁诺得到一小部分，比如说 \(b=1\)，我们就沿着垂直线向下移动到 \(c=7\) 的点。随着布鲁诺的份额增加，我们继续向下移动，安吉拉得到的谷物减少。在点P₂，布鲁诺的份额是3，安吉拉的份额是5。帕累托效率曲线在点 P₀ 结束，此时 \(b=8\) 且 \(c=0\)（安吉拉的消费量不能为负）。帕累托效率曲线是 P₁ 和P₀ 之间的所有点。

当偏好不是拟线性的时候

我们之前对拟线性的假设简化了本单元中所有情况的分析。但是，对于安吉拉的效用不是拟线性的情况，我们可以使用相同的方法。这时，我们会发现帕累托效率曲线确实是一条曲线，而不是一条垂直线。

为了说明这一点，我们确定了一种情形的帕累托效率曲线，其中安吉拉的效用函数具有柯布—道格拉斯形式：

\[u(t,\ c) = t^{\alpha} c^{1- \alpha}\]

且生产函数是递增且凹的函数 \(f(h)=(48h-h^2)/40\)，其中 \(h\) 是工作小时数，因此生产的可行边界是 \(y=g(24-t)\)，即：

\[y=\frac{(576-t^2)}{40}\]

图E5.7 显示了此示例中的一些无差异曲线和可行边界。为了简化以下计算中的数字，我们选择\(\alpha = \frac{8}{13}\)。

我们在这三条无差异曲线上标记了斜率与可行边界斜率相同的点。这些点在每条曲线上对应不同的 \(t\) 值，而在图 E5.6 的拟线性情况中，它们出现在相同的 \(t\) 值处。

为了计算MRS，我们使用扩展 3.3 中的公式：

\[\text{MRS} = \frac{\partial u}{\partial t} \left/ \frac{\partial u}{\partial c} \right. = \frac{\alpha c}{(1-\alpha)t}\]

安吉拉自由支配时间与谷物生产之间的MRT，与往常一样，是向下倾斜的可行边界斜率的绝对值：

\[\text{MRT} = -\frac{dy}{dt} = \frac{t}{20}\]

如上所述，帕累托有效配置\((b, c, t)\)的集合可以通过求解以下问题找到：

\[\text{选择 } t \text{ 和 } c \text{ 以最大化 } u(t,\ c) \text{，约束条件为 } c+b=g(24-t)\]

并且解满足相同的两个条件（一阶条件和约束）：

\[MRT=MRS \text{ 且 } c+b=g(24-t)\]

在本例中的特定函数下，这两个方程为：

\[\frac{t}{20} = \frac{\alpha c}{(1-\alpha)t} \text{ 和 } c+b=\frac{576-t^2}{40}\]

如上文所述，假设 \(\alpha = \frac{8}{13}\)，一阶条件可以重新整理为：

\[c=\frac{t^2}{32}\]

这是帕累托效率曲线的方程——即帕累托有效配置的集合。它告诉我们 \(c\) 是 \(t\) 的二次函数，通过原点，并且在 \(t > 0\) 时递增。

为了理解这里发生的情况，将这条曲线（图 E5.8 中向上倾斜的线）与可行边界（向下倾斜的线）一起绘制是有帮助的。为了简化图形，我们没有绘制安吉拉的无差异曲线。但如果我们绘制了，那么在向上倾斜的线上的每个 \(t\) 值处，无差异曲线的斜率（MRS）都与可行边界的斜率（MRT）相同。

P₁点是两条线相交的点，是 \(b=0\) 情况下两个方程的解。你可以验证，在这种情况下，\(t=16\) 且 \(c=8\)。安吉拉有 8 小时的自由支配时间，生产并消费 8 蒲式耳谷物；布鲁诺什么也得不到。可行边界下方的帕累托效率曲线上的每个点都满足一阶条件的解，其中生产的谷物量（在可行边界上）在他们之间分配。例如，在 P₂ 点，安吉拉有 10 小时的自由支配时间，生产 11.9 蒲式耳谷物；她得到 3.13 蒲式耳，布鲁诺得到 8.78 蒲式耳（保留两位小数）。

在 P₀ 点（原点），安吉拉没有自由支配时间；她生产大量谷物但不消费。当然，这种极端结果不可能发生，因为安吉拉将无法生存。但如果真的发生了，它是帕累托有效的。