第8单元 供给和需求：有许多买家和卖家的市场

扩展8.6 供给与需求的变动

如果我们知道某一市场的需求曲线和供给曲线，就可以通过联立两个方程求解 \(P\) 和 \(Q\) 来找到竞争性均衡的价格与数量。设需求曲线为 \(Q = D(P)\)，供给曲线为 \(Q = S(P)\)，则均衡价格满足需求等于供给：

\[D(P)=S(P)\]

如果能求解这个方程得到价格 \(P\)，再代回供给曲线或需求曲线，就可以得到相应的均衡数量。但当其中一个函数发生变化时，情况会如何？

为了用数学方式描述需求或供给冲击，我们会在供给和需求曲线中引入参数，用以表示价格之外影响商品市场的因素。分析参数变化如何影响均衡变化，在经济学中称为比较静态分析。

线性供给与需求

首先考虑在练习 E8.2 中分析的情形，即市场供给函数和市场需求函数都是线性的：

\[D(P)=a-bP, \quad S(P)=c+dP\]

其中 \(a,\ b,\ c,\ d\) 是常数。假设它们都是正数，且 \(a>c\)，这可以保证市场存在唯一的正均衡价格\(P^*\) 和正均衡数量\(Q^*\)：

\[P^*=\frac{a-c}{b+d} \quad Q^*= a-bP^* = \frac{ad+bc}{b+d}\]

需求冲击

假设该市场发生了一个正向的需求冲击，即在任意价格水平下，需求量都增加了。我们可以将这个冲击表示为参数 \(a\) 的增加；从图形上看，这相当于需求曲线向右平行移动。这与本节正文图 8.14 中帽子市场的需求冲击类似，不同之处在于这里曲线的斜率不变。

一种分析方法是：当需求曲线变为\(D(P)=a+\Delta a - bP\)（供给曲线不变，且\(\Delta a > 0\)表示\(a\)的增加）时，求解新均衡，并将新均衡价格和数量与原均衡进行比较。

但分析参数变化对价格和数量的影响时，更简便的方法是将均衡价格 \(P^*\) 和均衡数量 \(Q^*\) 视为参数的函数，并对变化的参数求偏导。对于 \(a\) 的增加：

\[P^*=\frac{a-c}{b+d} \Rightarrow \frac{\partial P^*}{\partial a}= \frac{1}{b+d}\]

导数为正，因此\(a\)的增加将导致\(P^*\)上升。类似的：\(\frac{\partial Q^*}{\partial a}= \frac{d}{b+d}>0\)，说明\(Q^*\)也会上升。

当然，这些导数反映的是参数 \(a\) 发生非常小的变动时的影响。但由于这些导数在所有均衡点上都为正，我们可以推断，不论 \(a\) 的增加是大是小，均衡价格与数量都会上升。

此外，\(\frac{\partial Q^*}{\partial a}\)小于1，因此均衡数量的增幅小于\(a\)的增幅。\(a\)的增幅表明，若价格保持不变，需求量将上升的数量。但由于价格 \(P^*\) 上升，消费者购买的数量少于价格不变情况下的数量。

在本例中，通过需求曲线向外移动的图形分析可直观得出相同结论。但在其他经济模型中，图形法可能难以确保涵盖所有可能性，而代数方法能系统地分析所有可能情形。

非线性情形

如果需求曲线和供给曲线是非线性的，可能难以找到均衡价格和数量的显式解。但仍可以对某条曲线发生移动的冲击进行建模，并推导该冲击对均衡的影响。在面包市场示例中，我们用图形方式做过这项分析。现在我们用代数方法做同样的事情。

我们将面包的需求曲线表示为\(Q=D(P,a)\)，供给曲线表示为\(Q=S(P,c)\)。引入参数\(a\)和\(c\)后，即可对曲线移动（需求冲击和供给冲击）进行建模。

首先考虑需求曲线。需求量仍随价格 \(P\) 的上升而减少，但同时也取决于表示消费者偏好的参数 \(a\)。较高的 \(a\) 表示消费者更喜欢面包，因此在任意价格水平下需求量更大；而较低的 \(a\) 表示在每个价格下面包需求量较小。需求对\(P\)和 \(a\) 的依赖关系可以用以下偏导数描述：

\[\frac{\partial D}{\partial P} < 0; \quad \frac{\partial D}{\partial a} > 0\]

然后，正向需求冲击可表现为\(a\)的增加。其效果是提高各价格水平下的需求量。在\((Q,P)\)空间中绘制需求曲线时，该曲线对应固定的\(a\)值。\(a\)的增加会使需求曲线向右移动。同理，\(a\)的减少代表负向需求冲击，并使曲线向左移动。

同理，参数\(c\)的变化会导致供给曲线移动。我们可以将\(c\)视为代表技术的参数。\(c\)的上升表示技术进步，这会降低生产面包的边际成本，因此意味着在任何价格下面包店都会供应更多面包。因此，两个偏导数均为正：

\[\frac{\partial S}{\partial P} > 0; \quad \frac{\partial S}{\partial c} > 0\]

当 \(c\) 增加时，供给曲线向右移动。

对于任意给定的\(a\)和\(c\)，在\((Q,P)\)空间中，需求曲线向下倾斜，供给曲线向上倾斜。因此，最多存在一个均衡价格\(P^*\)及其对应的均衡数量\(Q^*\)。

在线性供给和需求的示例中，我们已知供给函数和需求函数的具体形式，因此能够根据参数显式解出均衡价格和数量。而在当前情况下，这无法实现。但我们知道，均衡价格\(P^*\)（如果存在）满足：

\[D(P^*, a)=S(P^*, c)\]

而对应的均衡数量为：

\[Q^*= S(P^*, c)\]

这两个方程隐式地确定了\(P^*\)和\(Q^*\)。它们依赖于两个参数\(a\) 和 \(c\)，因此可以将它们视为参数的函数：

\[P^* = P^*(a, c), \quad Q^* = Q^*(a, c)\]

现在，我们可以利用已知的\(P^*\)和\(Q^*\)的性质，分析当\(a\)或\(c\)变化时它们的变动。具体而言，可使用隐函数求导法，推导它们对\(a\)和\(c\)的偏导数表达式。

首先考虑参数\(a\)的变化（需求冲击）。对均衡方程关于\(a\)求导，需注意\(P^*\)依赖于\(a\)：

\[\begin{align*} D(P^*, a)&=S(P^*, c) \\ \Rightarrow \frac{\partial D}{\partial P} \frac{\partial P^*}{\partial a}+ \frac{\partial D}{\partial a}&=\frac{\partial S}{\partial P} \frac{\partial P^*}{\partial a} \end{align*}\]

整理该方程，可将\(\partial P^*/\partial a\)表示为其他偏导数的函数：

\[\frac{\partial P^*}{\partial a} =\frac{\frac{\partial D}{\partial a}} {\frac{\partial S}{\partial P}-\frac {\partial D}{\partial P} }.\]

该分数的分母为正，因为已知\(\partial S/\partial P > 0\)且\(\partial D/\partial P < 0\)。根据前文对需求函数的设定，分子也为正。因此可得\(\partial P^*/\partial a > 0\)。这意味着正向需求冲击（\(a\)增加）会导致均衡价格上升。

为求出\(\partial Q^*/\partial a\)，可利用方程：

\[Q^*=S(P^*, c)\]

同样需注意\(P^*\)是\(a\)的函数。对\(a\)求导：

\[\frac{\partial Q^*}{\partial a} =\frac{\partial S}{\partial P^*} \frac{\partial P^*}{\partial a}\]

由此表达式可知，由于\(\partial S/\partial P^*> 0\)且已证得\(\partial P^*/\partial a>0\)，故\(\partial Q^*/\partial a>0\)亦成立。因此，正向需求冲击（\(a\)增加）会导致均衡价格和均衡数量均上升，而负向需求冲击则产生相反的结果。

这一结论具有普适性。我们已证明，只要供给函数和需求函数具备标准性质（即需求曲线向下倾斜、供给曲线向上倾斜），无论其具体形式如何，需求冲击（在每个价格下都增加需求的冲击）对均衡价格和数量的定性影响，均与帽子市场案例中通过图形法得出的结果一致。

完成练习 E8.5，对供给冲击进行相同的分析。

延伸阅读：马尔科姆·彭伯顿和尼古拉斯·劳的《经济学家需要掌握的数学：一本入门教材》 15.1节（关于隐函数求导），15.2节以及15.3节的前两段（关于比较静态分析）。 Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.