第9单元 借贷双方与财富差异
9.10 不平等：贷款人、借款人以及被排除在信贷市场之外的人
构建块
关于基尼系数的详细介绍及其计算方法，请参阅5.12节。
- 基尼系数（Gini coefficient）
- 衡量收入或财富等数量不平等程度的指标，取值从0（完全平等）到1（表示所有收入或财富集中于单一个体）。它是人口中任意两个人之间收入（其他数量类似）平均差异与平均收入之比的一半。除小规模人口外，可以通过洛伦兹曲线图来计算基尼系数的近似值。 参见：洛伦兹曲线。
基尼系数可用于评估借贷人和放贷人之间，以及借贷人内部的不平等程度。
Translation query: please provide a translation for “Lorenz curve” (the secondary definition linked in the pop-up above).
设想一个经济体，其中包含一位放贷人和五位自雇人士，每位自雇人士均向放贷人贷款\(L\)，用于资助其小企业的发展。假设每位自雇人士通过销售商品获得的收入为 \((1 + R)L\)，大于贷款金额，其中\(R\)代表利润率。
在年末，借贷人以利率\(r\)偿还贷款本息。为简化分析，我们假设无违约情况。即使考虑违约概率（如昌巴尔案例研究），主要结论依然成立，但数学推导过程将变得更加复杂。在贷款偿还后：
- 放贷人从每笔贷款中获得的净收益为\(rL\)。
- 借贷人的净收益为 \((R - r)L\)。
- 每笔贷款的总净收益为 \(I = RL\)。
- 放贷人在总净收益\(I\)中所占份额为 \(s = \frac{r}{R}\)。
- 借贷人在总净收益\(I\)中所占份额为 \(1 - s\)。
例如，当\(r = 0.10\)，\(R = 0.15\)时，放贷人从每笔贷款中获得的净收益在总净收益中所占份额为 \(s=\frac{r}{R}=\frac{0.10}{0.15}=\frac{2}{3}\)，借贷人所占份额则为 \(\text{1} – \text{s} = \frac{1}{3}\)。
在本节的所有计算中，我们均假设利率足够高，确保放贷人的总收益始终高于借贷人。
我们可以用基尼系数来衡量该经济体中的不平等程度。基尼系数衡量的是所有个体之间收入差异的平均值，与平均收入之间的比值。（这些差异始终以正值表示。）其计算公式如下：
\[g = \frac{1}{2} \times \frac{\text {每对个体间收入差异的平均值}}{\text {平均收入}}\]基尼系数的取值范围介于 0 到 1 之间。当所有个体的收入完全相等（即完全平等）时，基尼系数为 0。随着不平等程度的加剧，平均收入差异也越大，基尼系数则越接近于1。在极端情况下，如果经济中的所有收入都集中在一人手中，则该系数为1。
本案例选取了六个个体。理论上，我们可以绘制类似于图5.29（包含四个个体）的网络图：以圆圈代表个体，以连接圆圈的线条代表个体间的收入差异。然而，随着个体数量的增加，线条数量会迅速增加。因此，为了更清晰地展示个体信息，我们采用表格形式，如图9.19a所示。
表格上半部分展示了个体的收入情况，以\(I\)为单位，代表每笔业务的净收入。放贷人从五笔业务中分别获得占比s的收入分成，总计5\(s\)；每位借贷人分得\(1-s\)。因此整个经济体的总收入为5，平均收入为\(\frac{5}{6}\)。
表格下半部分展示了一种计算平均收入差的方法。首行展示了放贷人与每位借贷人之间的收入差——均为\(6s - 1\)。
对于规模为\(n\)的群体，个体间收入差总和为(\(\frac{1}{2}n(n-1)\))。
表格第二行显示了1号借贷人与其他四位借贷人之间的收入差（均为零）；1号借贷人与放贷人之间的收入差已在第一行计算。随着表格逐行向下，每次需要计算的差值数量递减1。因此，对于一个包含 6 人的群体，总共需要计算15个收入差值。
最后，将所有差值相加再除以 15，即可得到平均收入差为 (\((6s-1)/3\))。
| 收入 | 放贷人 | 1号借贷人 | 2号借贷人 | 3号借贷人 | 4号借贷人 | 5号借贷人 | 总收入 = 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 收入差 |
5s | 1 − s | 1 − s | 1 − s | 1 − s | 1 − s | 平均收入 = 5/6 |
| 6s − 1 | 6s − 1 | 6s − 1 | 6s − 1 | 6s − 1 | 放贷人 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1号借贷人 | |||
| 0 | 0 | 0 | 2号借贷人 | ||||
| 0 | 0 | 3号借贷人 | |||||
| 0 | 4号借贷人 | ||||||
| 5号借贷人 | |||||||
| 总收入差 = 5(6s − 1) 平均收入差 = 5(6s − 1)/15 = (6s − 1)/3 |
|||||||
图9.19a 个体收入和收入差值。
注：所有收入均以\(I\)为单位，代表每笔业务的净收入。
基尼系数可由平均差值和平均收入计算得出。根据前述公式：
\[g = \frac{1}{2} \times \frac{6s - 1}{3} \div \frac{5}{6}\]对其进行简化，可得：
\[g = \frac{6s - 1}{5}\]例如，若\(r = 0.10\)且\(R = 0.15\)（如前文所述），则放贷人的收入份额为 (\(s=\frac{2}{3}\))，此时基尼系数为0.6。如果提高利率，借贷人的收入份额将提高，导致不平等程度加剧。
信贷排斥将导致基尼系数升高
在前面的章节中，我们已经阐述了为什么部分潜在借贷人（如缺乏抵押品或自有资金以支持项目融资者）即使愿意承担相应利率，仍可能被信贷市场完全排斥。这种信贷排斥现象将如何基尼系数？
图 9.19b 展示了当4号和5号借贷人受到信贷排斥，从而失去收入来源的情况（假设放贷人依然拥有最高收入，满足 (\(s\geq\frac{1}{4}\))。与信贷市场未发生排斥时相比：
- 经济整体收入和平均收入均有所下降。
- 放贷人的收入降低，缩小了其与能够获得贷款的借贷人之间的收入差。
- 然而，能够获得贷款的借贷人与受到信贷排斥的借贷人之间也出现了不平等现象。
| 收入 | 放贷人 | 1号借贷人 | 2号借贷人 | 3号借贷人 | 4号借贷人 | 5号借贷人 | 总收入 = 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 收入差 |
3s | 1 − s | 1 − s | 1 − s | 0 | 0 | 平均收入 = 1/2 |
| 4s − 1 | 4s − 1 | 4s − 1 | 3s | 3s | 放贷人 | ||
| 0 | 0 | 1 − s | 1 − s | 1号借贷人 | |||
| 0 | 1 − s | 1 − s | 2号借贷人 | ||||
| 1 − s | 1 − s | 3号借贷人 | |||||
| 0 | 4号借贷人 | ||||||
| 5号借贷人 | |||||||
| 总收入差 = 3(4s − 1) + 2 × 3s + 6(1 − s) = 12s + 3 平均收入差 = (12s + 3)/15 = (4s + 1)/5 |
|||||||
图9.19b 当4号和5号借贷人受到信贷排斥时的总收入和收入差。
根据表中的表达式，可计算基尼系数：
\[g = \frac{4s + 1}{5}\]例如，当 \(s=\frac{2}{3}\)时，基尼系数从0.6上升至0.73，表明排斥现象加剧了经济不平等程度。通过分析基尼系数\(g\)的表达式可以验证，对于任何\(s<1\)的情况，排斥现象都会导致基尼系数升高。
问题9.15 选择正确的表述（多选题）
考虑以下四种情景，模拟一个包含六个个体（一位放贷人和五位借贷人）的经济体，基尼系数的计算方法如图 9.19a 所示。
- 情景A：利率（\(r\)）为10%，利润率（\(R\)）为15%，不存在信贷市场排斥现象。
- 情景B：利率（\(r\)）为10%，利润率（\(R\)）为15%，两位借贷人受到信贷市场排斥（如图 9.19b所示）。
- 情景C：利率（\(r\)）为5%，利润率（\(R\)）为10%，不存在信贷市场排斥现象。
- 情景D：利率（\(r\)）为5%，利润率（\(R\)）为10%，两位借贷人受到信贷市场排斥。
请根据以上信息，阅读以下表述并选择正确选项。
- 放贷人的收入份额为0.05/0.10 = 0.5，基尼系数为(6(0.5) - 1)/5 = 0.4。
- 情景D的基尼系数为 (4(0.5) + 1)/5 = 0.6，与情景 A相同。
- 情景C的基尼系数为0.4，而情景A和情景D的基尼系数为0.6，情景D的基尼系数为0.73。
- 情景C的基尼系数为0.4，而情景D的基尼系数0.6。
