数学扩展概述
在《经济2.0》的主体章节中，我们使用文字、图表与示意图来阐释经济关系。虽然偶尔会使用简单的代数表达式、方程（例如预算约束线和等成本线的表达式）和函数符号（例如用\(Y=f(X)\)表示生产函数），并通过线性近似计算斜率，但我们力求将所需的数学基础降至最低。
为满足数学功底较好的学生的需求，本书在部分章节设置了数学扩展。这些扩展内容将运用更为复杂的数学工具，对章节主体模型进行深化与延伸（也有少数扩展在不使用数学工具的情况下，对章节主题进行了更深入的探讨）。
具体而言，扩展部分通常需要读者具备一定的微积分知识。“微积分”是一套重要的数学分析方法，在17世纪时由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分别独立创立（有关二人之间的争论，可参阅本文最后一节）。
我们将大量运用其中的微分方法，以探究函数取值如何随着一个或多个变量取值的变化而变化。偶尔我们也会使用积分方法，用来计算曲线下的面积。
即便不阅读任何扩展部分，你也能完全理解本教材中的经济模型。但这些扩展部分将使你更为深入地理解模型运作机制，同时了解经济学家如何运用数学工具使模型变得精确而清晰。每个扩展部分的开头均设有导读，说明这部分扩展的内容和所需预备知识，以便你决定是否阅读。
相比主体章节，大多数扩展部分会更多地运用代数和方程。如果你能熟练处理求解方程、绘制函数图像，阅读这些内容将会更加轻松（如果不熟练，这也为你提供了很好的练习机会）。如果某些扩展部分需要特定数学知识（例如微积分），导读中会明确说明。
许多扩展部分的结尾附有相关数学方法的延伸阅读推荐。多数节选自马尔科姆·彭伯顿与尼古拉斯·劳合著的《经济学家的数学：入门教材》，2015年第4版或2023年第5版，曼彻斯特大学出版社（Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook , 4th ed., 2015 or 5th ed., 2023, Manchester: Manchester University Press）。
符号使用惯例
单变量函数
| \(y = f(x)\) | 单变量函数 (\(x\)为自变量，\(y\)为因变量) |
| \(\dfrac{dy}{dx}\) | \(f(x)\)的一阶导数 |
| \(f'( x)\) | 一阶导数的另一种记法 |
| \(\dfrac{d^2 y}{dx^2}\) | \(f(x)\)的二阶导数 |
| \(f''( x)\) | 二阶导数的另一种记法 |
积分
| \(y = f(x)\) | 单变量函数 (\(x\)为自变量，\(y\)为因变量) |
| \(\int f(x) \, dx\) | \(f(x)\)的不定积分 |
| \(\int _a^b f(x) \, dx\) | \(f(x)\)从\(a\)到\(b\)的定积分 |
双变量函数
| \(y=f (x,\ z)\) | 二元函数 (\(x\)和\(z\)为自变量，\(y\)为因变量) |
| \(\dfrac{\partial f}{\partial x} \text{ or }\dfrac{\partial y}{\partial x}\) | \(f\)对\(x\)的偏导数 (视\(z\)为常数) |
| \(\dfrac{\partial f}{\partial z}\text{ or }\dfrac{\partial y}{\partial z}\) | \(f\)对\(z\)的偏导数 (视\(x\)为常数) |
| \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}\) | \(f\)对\(x\)的二阶偏导数 (视\(z\)为常数) |
| \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}\) | \(f\)对\(z\)的二阶偏导数 (视\(x\)为常数) |
| \(\dfrac{\partial}{\partial z}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)\) | 混合偏导数；先对\(x\)求偏导，再对\(z\)求偏导 |
| \(\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)\) | 混合偏导数；先对\(z\)求偏导，再对\(x\)求偏导 |
| \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z} \text{ or }\dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial x}\) | \(\dfrac{\partial}{\partial z}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)\) 与 \(\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)\) 相等时的混合偏导数 |
谁发明了微积分？
科学史上最负盛名的一场论战，莫过于艾萨克·牛顿爵士与戈特弗里德·威廉·冯·莱布尼茨之间围绕微积分发明权所展开的争论。
艾萨克·牛顿
戈弗雷·内勒爵士绘制，维基百科/维基共享资源。
艾萨克·牛顿爵士（1642—1726）是英国数学家与物理学家，被公认为有史以来最具影响力的科学家之一。他的贡献不仅限于发明微积分，还包括发现万有引力定律、奠定经典力学基础、在光学理论取得重大突破，并提出了冷却定律。作为经历了三位君主在位统治的皇家铸币局主管，牛顿创立了现代金本位制，该制度在此后近两百年间成为国际货币体系的核心。
牛顿早在1666年的手稿中就已开始使用微积分方法，并将其系统应用于1687年出版的名著《自然哲学的数学原理》。他于1671年完成了微积分专著《流数法》，但该书迟至1736年才得以出版。
戈特弗里德·威廉·冯·莱布尼茨
安德烈亚斯·沙伊茨绘制，维基百科/维基共享资源。
戈特弗里德·威廉·冯·莱布尼茨（1646—1716）是德国数学家与哲学家。1675年，他运用积分方法求出曲线下面积，并引入了沿用至今的积分符号\(\int\)与微分符号\(d\)。在哲学上，他致力于阐释“乐观主义”原则，认为上帝创造了一切可能世界中最好的一个，但其相关著作《神义论》（Theodicy）却作为被嘲弄的对象被伏尔泰写进了他的小说《老实人》之中。
牛顿的支持者曾指责莱布尼茨在微积分研究中存在剽窃行为。莱布尼茨晚年声誉衰落，最终在贫困中离世。然而，后世学者逐渐重新确认了他在数学与哲学上的卓越贡献。
现代史学研究已普遍采纳这一观点：牛顿与莱布尼茨在大致相同的时期各自独立创立了微积分。
